专题01 空间向量与立体几何 9大题型期中专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量与立体几何 全面重难点9大题型专练 （题型速览＋9大题型训练） 9大必考题型概览 题型01 空间向量及其线性运算 题型02 空间向量的数量积运算（★重点） 题型03 空间向量的基地概念及辨析 题型04 用基地表示向量（★重点） 题型05 空间向量基本定理及其应用（★重点） 题型06 空间直角坐标系（★难点） 题型07 空间向量基本运算坐标表示 题型08 用空间向量研究直线，平面的位置关系（★重点） 题型09 用空间向量研究距离，夹角的位置关系（★难点） 题型01 空间向量及其线性运算 1．在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用向量共面定理即可判断得出结论. 【详解】对于A，，因此三个向量共面； 对于B，，因此三个向量共面； 对于C，若，，共面，则存在实数， 使得，故， 这与题干向量，，不共面矛盾， 故，，不共面； 对于D，，因此三个向量共面. 3．空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量减法法则化简，再结合三角形中位线对应的向量线性关系运算即可得到结果． 【详解】根据向量减法的三角形法则，可得， 因为分别是的中点， 所以为的中位线，由中位线性质得， 将上述结果代入原式计算：． 4．如图所示的几何体是一个平行六面体，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法法则计算即可 【详解】. 5．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 6．（多选）对于空间一点，下列命题中正确的是（     ） A．若，则，，，C四点共面 B．若，则，，，四点共面 C．若，则，，三点共线 D．若，则是线段的中点 【答案】BC 【详解】对于A，由，则，，，C四点不共面，故A错误； 对于B，由，则，，共面，则，，，四点共面，故B正确； 对于C，由，则，，三点共线，故C正确； 对于D，由，则，即，则，，三点共线，且是线段的中点，故D错误． 7．（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】BC 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 8．（多选）如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由平行六面体的性质，，． ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 题型02 空间向量的数量积运算 9．如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，先证明平面，得出在平面内的投影向量为，即是在上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 10．已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量与的夹角为钝角， 则，且与不反向， 即，解得，且， 所以结合各选项，的值可以是． 11．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故在上的投影向量. 12．已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】因为，的夹角为，所以， 所以， 所以. 13．已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，，利用向量的数量积运算可得，代入所求式子结合二次函数求最值. 【详解】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，， 所以，可得， 所以， 当时，的最小值. 故选：D. 14．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，根据向量模的定义可知，故A正确； 对于B，，等号左边运算结果是数字，等号右边在向量的运算中无定义，所以不成立，故B错误； 对于C，等号左边， 等号右边，二者只有在时相等，其余情况不相等，故C错误； 对于D，根据数量积运算律，，故D正确. 15．（多选）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量运算，线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用，对各个选项进行推理判断. 【详解】连接正方形对角线交于，则是、的中点， 在A选项中，，其中，又是中点，是中点， 是的中位线，故， 因此整理可得：与选项表达式不符，A错误， 在B选项中，由中位线性质得，又平面， 平面，可得平面，B正确， 在C选项中，由平面，平面，得， 正方形对角线互相垂直，故，，平面， 所以平面，平面，故，C正确， 在D选项中，由平面，平面， 可得平面平面，两平面交线为， 点到平面的距离等于点到交线的距离， ，，故，到直线的距离等于的长度， ，因此点到平面的距离为，D正确.    16．在正四面体中，，分别是，的中点，若 ， 则_______________． 【答案】 【分析】利用三角形中位线化简向量，结合正四面体棱长相等、棱夹角为的特点，先由已知数量积求出棱长的平方；再借助向量中点公式拆分目标向量，展开数量积运算求值. 【详解】因为分别是的中点，由三角形中位线性质得：. 设正四面体的棱长为，正四面体从同一顶点出发的两条棱的夹角为，因此：, 代入已知，得：，因为，所以，即正四面体的棱长为2. 拆分目标向量 ：，，计算点积得 17．如图，在三棱锥中，，则_______． 【答案】/ 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为 18．在如图直三棱柱中，，则______． 【答案】0 【详解】由题可知，， 所以 . 19．已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 【答案】 【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 题型03 空间向量的基地概念及辨析 20．若是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ） A．，， B．，， C． ，， D． ，， 【答案】D 【分析】根据空间基底的定义，三个向量能作为基底的充要条件是它们不共面；对A、B、C选项，通过向量线性运算找到线性关系式，证明三向量共面；D选项用反证法设线性组合，推出方程组无解，证明向量不共面． 【详解】对于A，，所以，，是共面向量，A错误； 对于B，，所以，，是共面向量，B错误； 对于C，，所以，，是共面向量，C错误； 对于D，假设，整理得， 因为不共面，所以，方程组无解， 所以，，不是共面向量，D正确． 21．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，也是空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于选项A，因为，故共面，不能作为基底，故A错误； 对于选项B，因为，故，，共面，不能作为基底，故B错误； 对于选项C，因为，故共面，不能作为基底，故C错误； 对于选项D，假设共面，则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，所以不能由线性表示，故矛盾. 所以不共面， 可以作为基底，故D正确. 22．下列命题中错误的是（     ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】A 【分析】通过举反例判断选项A错误，结合空间向量基底的定义逐一验证选项B、C、D的正确性，选出错误命题. 【详解】对选项A：空间中垂直于同一向量的两个向量不一定平行，举反例：取 ， 满足 ，但 与 不平行，故 A 错误； 对选项 B ：根据空间向量基底的定义，能构成空间基底的三个向量必须是不共面的非零向量， 因此若三个非零向量不能构成空间基底，则必定共面，故 B 正确； 对选项 C ：若两个非零向量 与任何一个向量都不能构成空间基底，说明 与任意向量均共面， 若 不共线，则存在与它们不共面的向量可构成基底，与题设矛盾，故 共线，C正确； 对选项D：假设 共面，则存在实数 ，使得 ， 可知 共面，与 是空间向量基底矛盾， 因此 也可构成空间向量的一个基底，D正确. 23．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由，则不可以构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，由不存在，使得，则可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，由，则不可以构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，由，则不可以构成空间的一个基底，故D错误． 24．（多选）在空间直角坐标系中，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．对于非零向量，若，则 C．零向量与任意向量数量积为0 D．空间任意三个向量都可以作为空间向量一组基底 【答案】ABC 【详解】对于A，在空间直角坐标系中，若，，则，故A正确； 对于B，对于非零向量，若，则，故B正确； 对于C，由数量积的坐标表示，设任意向量，则，故C正确； 对于D，空间向量的一组基底由三个不共面（线性无关）的向量组成，任意三个向量可能共面或含零向量，不能都作为一组基底，故D错误． 25．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于B，假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 该式显然不成立，所以向量，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于C，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，解得 ， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底； 对于D，若，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，该方程组无解， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底． 26．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【详解】对于A，当，不共线时，满足，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，即，三点共线，C正确； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定共面， 则存在实数，使得，于是，此方程组无解， 即不共面，因此也是空间的一个基底，D正确. 27．下列选项中，正确的是___________ ①.若两条不同直线，的方向向量为，，则 ②.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④.若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使 【答案】①②④ 【分析】根据直线的方向向量可判定①，根据三角形重心的性质可判定②，根据空间向量的共面定理及基底的定义可判定③、④. 【详解】对于①，由于两直线不同，所以两直线平行时其对应方向向量也平行， 反之当两直线的方向向量平行时可知两直线也平行，即①正确； 对于②，由， 则有， 即，则，故、、三向量共面， 取中点，则有， 同理取中点，，所以为的重心，即②正确； 对于③，由， 由空间向量的共面定理可知，三个向量共面，故③错误； 对于④，由空间向量的共面定理可知，存在实数、， 使得，即， 所以存在不全为0的实数，使得，故④正确. 故答案为：①②④. 28．在空间向量中，能作为基底的一组向量是________： ①，，； ②，，； ③，，． 【答案】②③ 【分析】逐一分析①②③，检查是否共面，分析即可得答案. 【详解】对于①：， 所以共面，不能作为空间向量中的基底，故①错误； 对于②：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故②正确； 对于③：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故③正确； 故答案为：②③ 29．已知是空间的一个基底，若，则_________． 【答案】0 【分析】根据基底向量不能共面，得出系数均为0； 【详解】是空间的一个基底， 为不共面向量． 又， ， ． 故答案为：0. 【点睛】本题考查基底向量的定义，理解基底向量不能共面是解题的关键. 题型04 用基地表示向量 30．如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 【答案】 / 【分析】利用空间向量基本定理将用线性表示，对照求出的值即得. 【详解】因点为与的交点，则, 于是 ，则， 故. 31．已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 【答案】1 【分析】通过空间向量的线性运算将用表示，对比系数求出的值后计算和. 【详解】如图所示，在正方体中， 由，且为的中点，可得. 又，代入上式得： ， 因为，所以，， 因此.    32．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面经过点，与分别交于点，若，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】设，，利用基底表示，再根据 求出，最后利用空间向量基本定理列方程组求解. 【详解】设， 因为， 所以， ， 因为四点共面，所以 又，所以， 则 根据空间向量基本定理，有，得． 33．已知在正方体中，，若，则______． 【答案】 【详解】在正方体中，， 因此，故. 34．（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 选项A：根据空间向量加法的法则，， 在平行六面体中，，， 所以 ，A正确； 选项B：因为为 的中点，所以 ，又 ， 所以 ，B正确； 选项C：， 因为 为 的中点，所以 ， 又 ，，所以 ， 这与选项中的 不符，C错误； 选项D：， 因为 ，。， 所以 ， 这与选项中的 不符，D错误. 35．（多选）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理，及线性运算即可判断A；根据空间向量数量积的运算性质，及模长公式求解即可判断B，C；根据投影向量的定义求解即可判断D． 【详解】对于A，由点，分别是边和的中点，则，， 又，且点在线段上，则，则， 所以，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，即，且，，两两的夹角都为， 则， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D正确． 36．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量中点公式，把拆成，再将用基底线性表示，合并化简得到的表达式． 【详解】 连接， 因为点为的中点，， 所以， 即． 37．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 结合知，. 题型05 空间向量基本定理及其应用 38．若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【详解】对于A选项，不妨设，则， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，A不符合要求； 对于B选项，， 设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，B不符合要求； 对于C选项，， 故、、三点共线，C符合要求； 对于D选项，设，即， 因为、、是不共面的向量，则，矛盾，D不符合要求. 39．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用空间向量基本定理可得出关于、、的两个表达式，结合空间向量基本定理可得出的值. 【详解】因为，则，所以. 因为四边形为平行四边形，所以， 所以. 因为为上的点，设，即，即， 又因为为上的点，设，即，即， 因为 ， 因为、、不共面，所以， 上述三个等式全加得. 40．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 41．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 42．（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 43．（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 44．（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【分析】根据空间基底的定义和性质对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 45．如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 46．是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. 题型06 空间直角坐标系 47．在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先利用、确定平面的一个法向量，再由平面得与该法向量垂直，从而得到的关系，任取一组满足条件的数即可. 【详解】由得 向量满足所以是平面的一个法向量. 又在平面内，所以与垂直，即因此 例如取，可得一个符合题意的点 答案不唯一，任取满足的均可. 48．空间直角坐标系中，向量，，，将向量表示为，则有序实数组等于__________． 【答案】 【详解】由题意，， 则，，，解得． 49．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【详解】根据投影向量公式，向量在向量上的投影向量为， ，， 所以投影向量为. 50．已知空间向量，，向量在向量上的投影数量为________． 【答案】/ 【详解】可知，， 则向量在向量上的投影数量为. 51．（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 52．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【详解】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 53．（多选）在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】把正四面体补全为正方体，根据正方体的性质，结合三角形重心坐标公式进行求解即可. 【详解】由正四面体对棱相等，补全为如图所示的正方体，易知． 由对称性可知，点还有可能落在图中点处，因四面体为正四面体， 所以是正三角形，取的重心为点． 由正三角形性质可得 因为点与点关于点对称， 设， 则根据中点坐标公式可得，， 所以． 故选：BC 54．不重合的两点与在某一坐标平面内的射影点相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为两点的值不同，在平面上的射影不受值影响， 只有在平面上射影可以相同，将两点向平面投影，纵坐标化为， 可得，即， 所以. 55．已知正八棱锥，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正八边形的中心为点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】设正八边形的中心为点， 因为八棱锥为正八棱锥，则底面， 因为八边形为正八边形，所以，故， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设， 则、、、， 设，则， 则，，，， 设， 即， 整理可得，解得， 故. 56．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 57．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 题型07 空间向量基本运算坐标表示 58．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若向量不能构成空间向量的一个基底， 则，代入得， 即，解得， 故. 59．已知，若（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】，，， 又，所以， 解得. 60．已知空间中三点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 故 61．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接代入投影向量公式计算即可. 【详解】因为空间向量，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 62．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若向量，夹角为锐角，则 【答案】BD 【详解】由，得，所以，解得，故A错误. 当时，，所以， 所以，故B正确. 当时，， ，所以C错误. 向量，的方向不可能相同，且向量，夹角为锐角， 所以，所以， 解得.故D正确. 63．（多选）给出下列命题，其中不正确的有（    ） A．设是空间的一个基底，若，则 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若三个非零空间向量满足，则 D．已知直线过点，是的方向向量，则点到的距离为 【答案】BCD 【分析】由空间基底线性无关的定义直接判断选项A；假设线性组合为零向量，推出存在非零解，故向量组共面，不能作基底，判断选项B；举空间反例，说明垂直于同一向量的两向量未必平行，判断选项C；利用勾股定理，先求在方向向量上投影长度，再用向量模长平方减去投影平方开根号得到距离，判断选项D． 【详解】已知三个向量线性无关，，则系数必须全为0，故A正确； 设，整理得， 已知是基底，则，存在非零解，则三个向量线性相关、共面， 不能作为向量基底，故B错误； 空间中，垂直于同一个向量的两个向量不一定平行，如沿轴方向，沿轴方向， 沿轴方向，满足，但并不平行，故C错误； 向量， 则在方向向量上投影长度为， 故，故D错误． 64．（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 65．已知，点在轴上，且，点的坐标_________ . 【答案】 【分析】根据空间中两点间距离即可求解. 【详解】设， 由，得， 解得， 所以点的坐标为. 66．已知向量，，则________ 【答案】 【分析】代入向量数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】已知向量，，则， 所以. 67．若向量，则________． 【答案】 【详解】. 68．已知向量，，若，则______． 【答案】 【详解】已知向量，，， 则，解得． 题型08 用空间向量研究直线，平面的位置关系 69．如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，由中位线以及线面平行的判定定理可得平面， 再由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理即可求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接，由四边形是平行四边形，得， 在线段上取点，使得，由 ，得， 且为的中点，连接，则 ， 由平面 平面，得平面， 又平面 平面，所以平面平面， 又平面平面 ，平面平面 ，所以，所以． 70．棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点P的轨迹所围成图形的面积为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量的垂直关系可得点满足的方程，根据方程可得点的轨迹，进而利用面积公式求解即可. 【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， , , 由于,故，即， 由于经过点,其中分别为的中点， 因此的轨迹为平面，故点轨迹为四边形， 由于,, 故四边形的面积为。 71．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______． 【答案】 【详解】由题可知，两个平面平行则它们的法向量必定平行，即， 若两个非零向量平行，则对应坐标成比例，故，解得. 72．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 【答案】1 【分析】借助空间向量性质计算即可得. 【详解】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得. 73．在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 【答案】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，， ，设，， 由，得，即，化简得. 正方体内切球球心为正方体中心，半径， 点满足. 设球心在平面的投影为， 则在平面上到直线的距离. 即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径. 轨迹长度为. 74．已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 75．（多选）已知空间中三点，，，则（     ） A． B．与同向的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】ACD 【分析】根据向量的模及单位向量的定义判断AB选项的正误；根据法向量定义判断C选项正误；根据投影向量的概念判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，，故A选项正确； 对于B选项，，与同向的单位向量是，故B选项错误； 对于C选项，，由于与共面且不共线， ，， 所以是平面的一个法向量，故C选项正确； 对于D选项，，， 在上的投影向量的模为，故D选项正确. 76．（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，O为BD的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，通过向量点积是否为0，验证线线垂直、线面垂直，判断A、B选项，求解平面法向量，利用线面角公式算出直线与平面夹角，验证C选项，运用点到平面的向量距离公式计算到平面距离，对比选项数值判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，，，. 选项A， ，，，即，故A正确； 选项B，，，则，且，，平面，所以平面，故B正确； 选项C，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为，则，所以，故C正确； 选项D，由B选项可知，平面，，所以平面的法向量为，，，， 点到平面的距离，故D错误. 77．（多选）已知向量，，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．与一定不共线 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，所以A正确； 对于B，由，得，所以B不正确； 对于C，若存在使得，则，则，，， 又，，不可能同时成立，所以与一定不共线，所以C正确； 对于D，由得，所以，所以D正确． 78．（多选）如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 【答案】ABD 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：    设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 79．（多选）如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 【答案】ABD 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意得，，，；二面角的平面角为，，故. 对选项A，，与方向一致，又且，由线面平行判定定理得，故A正确. 对选项B，由，，，得平面， 又，故平面，故B正确. 对选项C，，平面的法向量为， 因为与法向量不平行，故不垂直于，C错误. 对选项D，，，即，故D正确. 80．已知向量，，若与垂直，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，若与垂直， 所以，所以， 所以． 81．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，已知过与平面平行的平面为，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直于一个平面的直线也垂直于这个平面的平行平面可知，求出平面的法向量，即可得到平面的法向量． 【详解】由题意可知，设棱长为3，可得， 因为，，则，； 则，； 设为平面的法向量， 则，则，解得； 令可得； 因为平面与平面平行，故也是平面的法向量． 题型09 用空间向量研究距离，夹角的位置关系 82．正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，所在射线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 不妨设，则，，，. 所以，. 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 83．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段长度判断出和是直角三角形，分别在面和面内作出垂直于二面角的棱的线，以为基底表示出，从而利用向量模长公式求出的长． 【详解】已知，，，由勾股定理， 可得，同理， 在面内过作于点，面内过作于点， 在中，， 因为，所以， 在中，同理可得，， 所以， 二面角的大小为，即，所以， ，因此. 84．在正方体中，、分别是、的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】设，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 设异面直线与所成角为，则.. 85．在直三棱柱中，，，．若该直三棱柱外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过余弦定理判断底面三角形为直角三角形，结合外接球表面积求出直三棱柱的高，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以，即，为直角三角形， 其外接圆圆心为中点，半径. 设直三棱柱的高为，直三棱柱外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点， 所以外接球半径满足. 由外接球表面积，得，则，解得. 以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则. . 设平面的法向量为， 则，即，令，则，即. 设直线与平面所成角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 86．（多选）在正方体中，点分别是底面和侧面的中心，则下列说法正确的是（ ） A．平面 B．平面 C．与平面夹角的余弦值为 D．平面平面 【答案】AB 【分析】本题以正方体为载体，综合考查线面垂直、线面平行、线面角、面面垂直的判定，适合用空间向量法求解，核心是建立坐标系，利用向量判定位置关系、计算线面角. 【详解】设正方体棱长为 1，由题中坐标系得： ， 是底面的中心，则，是侧面的中心，则. 选项 A：， ，故， 又，所以平面，A 正确. 选项 B：，平面的一个法向量可取， ，即， 又不在平面内，因此平面，B 正确. 选项 C：设平面的一个法向量为，， 则，令，求得它的一个法向量. 设与平面所成角为，，， 则，C 错误. 选项 D：由 A 知是平面的一个法向量； 设平面的一个法向量为，， 则，令，则平面的一个法向量为， ，两个法向量不垂直，两平面不垂直，D 错误. 87．（多选）如图所示，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（     ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．与平面所成角的正弦值为 D．到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐项求解判断即可. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以A正确； ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 所以B错误； ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 所以平面的一个法向量为. 又， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为， 所以C正确； 因为，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 所以平面的一个法向量为. 又， 所以到平面的距离为， 所以D正确. 88．（多选）把边长为，中心为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，线段，上的点，满足，，则折纸后（    ） A． B．的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【分析】直接建立空间直角坐标系，用向量的方法计算线段的长度可判断A；用向量方法计算可判断B，用向量的方法计算点到面的距离可判断C；用向量的方法计算线面角可判断D. 【详解】原正方形边长为，对角线长为，故. 由直二面角性质，，且， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 各点坐标为：. 因为，所以， 由，得. 选项A： ​， 所以. ， 所以，A正确； 选项B：向量，， ， 所以​，B错误； 选项C：设平面的法向量为，，， 所以，即， 令，， 因为，， 所以点到平面的距离， 因此点到平面的距离为，C正确； 选项D： 因为平面在坐标平面内，，所以取平面的一个法向量为， 又，设直线与平面所成的角为， 则， 因为，且，所以. 因此直线与平面所成的角为，D正确. 89．（多选）在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 【答案】ABD 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，求得点满足，结合的坐标，可判定A正确；连接，证得平面，得到的三边即为点的轨迹，求得轨迹长度，可判定B正确；求得平面的一个法向量，结合向量的距离公式，可判定C错误；根据，证得平面，可判定D正确. 【详解】由题意知：直三棱柱中，，， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 则， 设点，则， 由，则，即， 对于A，当点为的中点时，此时点的坐标为，满足， 所以当点为的中点时，，所以A正确； 对于B，连接，可得， 所以， 所以，即， 因为，且平面，所以平面， 则的三边即为点的轨迹， 又因为，， ， 所以的周长为，即点的轨迹长度为，所以B正确； 对于C，假设存在点，使得点到平面的距离为， 由， 设平面的法向量为，则， 取，因为， 当时，；当时，可得， 当时，， 所以点到平面的距离为； 当时，点到平面的距离为， 令，解得，假设不成立， 所以不存在点，使得点到平面的距离为，所以C错误； 对于D，任意点平面，此时，所以， 因为，可得， 又因为平面，所以都有平面，所以D正确. 90．已知的顶点坐标分别为，则边上的高为___________． 【答案】 【分析】先计算向量的坐标、模长及数量积，再利用空间中点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离，即为AB边上的高. 【详解】由题可得，，则，，， AB边上的高即为点C到直线AB的距离d，根据空间点到直线的距离的向量公式： . 91．如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】在直三棱柱中，，. 如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 所以. 设异面直线和所成角为， 则， 异面直线和所成角的余弦值为. 92．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 93．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，， ．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】(1)因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. (2)直线在平面内，理由：在底面中，过作 ，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则 且，使得， 即, 则有 ，解得 ，故. 所以直线平面 (3) 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则 ，即 ， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 94．如图，在正方体中，E为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)连接，设，连接， 因为是正方体，所以是正方形，则是的中点， 因为E为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解； （2）用等体积法求到平面的距离，设与平面所成角为，则，计算得到所求. 【详解】（1）略 （2）， E为的中点，底面，， ， ， ， ， ， 三角形是等腰三角形，底边， 底边高：， ， ， ， 设与平面所成角为， 直线上点到平面距离为，线段， ， 直线与平面所成角正弦值为. 95．如图，在六面体中，四边形是正方形，平面平面，平面，． (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的正弦值． 【答案】(1)连结， 因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，因为平面，所以平面， 平面，所以， 又因为底面是正方形，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以. (2) 【分析】（1）首先证明，再根据垂直关系的转化证明平面，即可证明线线垂直； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量为，则，， 即，令，， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知是平面的一个法向量，, 设平面和平面的夹角为， 则, 所以. 96．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，平面，为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，底面是正方形，即， 故以点为原点，以为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 故，， 因为，则，故． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据垂直关系的向量求法证明即可. （2）求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为（）， 所以，直线与平面所成角的正弦值为 ． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 全面重难点9大题型专练 （题型速览＋9大题型训练） 9大必考题型概览 题型01 空间向量及其线性运算 题型02 空间向量的数量积运算（★重点） 题型03 空间向量的基地概念及辨析 题型04 用基地表示向量（★重点） 题型05 空间向量基本定理及其应用（★重点） 题型06 空间直角坐标系（★难点） 题型07 空间向量基本运算坐标表示 题型08 用空间向量研究直线，平面的位置关系（★重点） 题型09 用空间向量研究距离，夹角的位置关系（★难点） 题型01 空间向量及其线性运算 1．在四面体中，（    ） A． B． C． D． 2．若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（     ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体是一个平行六面体，则（     ）    A． B． C． D． 5．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 6．（多选）对于空间一点，下列命题中正确的是（     ） A．若，则，，，C四点共面 B．若，则，，，四点共面 C．若，则，，三点共线 D．若，则是线段的中点 7．（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 8．（多选）如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 题型02 空间向量的数量积运算 9．如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 11．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 12．已知空间向量，的夹角为，且，，则为（   ） A．4 B． C．8 D． 13．已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 15．（多选）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 16．在正四面体中，，分别是，的中点，若 ， 则_______________． 17．如图，在三棱锥中，，则_______． 18．在如图直三棱柱中，，则______． 19．已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 题型03 空间向量的基地概念及辨析 20．若是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ） A．，， B．，， C． ，， D． ，， 21．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，也是空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 22．下列命题中错误的是（     ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 23．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 24．（多选）在空间直角坐标系中，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．对于非零向量，若，则 C．零向量与任意向量数量积为0 D．空间任意三个向量都可以作为空间向量一组基底 25．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 26．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．若空间向量满足，则 C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 27．下列选项中，正确的是___________ ①.若两条不同直线，的方向向量为，，则 ②.若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 ③.若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 ④.若空间向量，、共面，则存在不全为0的实数，，使 28．在空间向量中，能作为基底的一组向量是________： ①，，； ②，，； ③，，． 29．已知是空间的一个基底，若，则_________． 题型04 用基地表示向量 30．如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 31．已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 32．如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面经过点，与分别交于点，若，则的值为___________． 33．已知在正方体中，，若，则______． 34．（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 35．（多选）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 36．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A． B． C． D． 37．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 题型05 空间向量基本定理及其应用 38．若、、是不共面的向量，，，，则一定共线的三个点是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 39．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 40．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 41．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 42．（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 43．（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 44．（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 45．如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 46．是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 题型06 空间直角坐标系 47．在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标________． 48．空间直角坐标系中，向量，，，将向量表示为，则有序实数组等于__________． 49．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________. 50．已知空间向量，，向量在向量上的投影数量为________． 51．（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 52．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 53．（多选）在正四面体中，点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 54．不重合的两点与在某一坐标平面内的射影点相同，则（    ） A． B． C． D． 55．已知正八棱锥，设，，，则（ ） A． B． C． D． 56．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 57．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 题型07 空间向量基本运算坐标表示 58．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 59．已知，若（  ） A．1 B． C．2 D． 60．已知空间中三点，，，则（     ） A． B． C． D． 61．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 62．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若向量，夹角为锐角，则 63．（多选）给出下列命题，其中不正确的有（    ） A．设是空间的一个基底，若，则 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若三个非零空间向量满足，则 D．已知直线过点，是的方向向量，则点到的距离为 64．（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 65．已知，点在轴上，且，点的坐标_________ . 66．已知向量，，则________ 67．若向量，则________． 68．已知向量，，若，则______． 题型08 用空间向量研究直线，平面的位置关系 69．如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 70．棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点P的轨迹所围成图形的面积为________． 71．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______． 72．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 73．在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 74．已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 75．（多选）已知空间中三点，，，则（     ） A． B．与同向的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 76．（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，O为BD的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．到平面的距离为 77．（多选）已知向量，，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．与一定不共线 D．若，则 78．（多选）如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 79．（多选）如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 80．已知向量，，若与垂直，则（ ）. A． B． C． D． 81．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，已知过与平面平行的平面为，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 题型09 用空间向量研究距离，夹角的位置关系 82．正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 83．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（     ） A． B． C． D． 84．在正方体中，、分别是、的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 85．在直三棱柱中，，，．若该直三棱柱外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 86．（多选）在正方体中，点分别是底面和侧面的中心，则下列说法正确的是（ ） A．平面 B．平面 C．与平面夹角的余弦值为 D．平面平面 87．（多选）如图所示，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（     ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．与平面所成角的正弦值为 D．到平面的距离为 88．（多选）把边长为，中心为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，线段，上的点，满足，，则折纸后（    ） A． B．的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成的角为 89．（多选）在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 90．已知的顶点坐标分别为，则边上的高为___________． 91．如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 92．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 93．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，， ．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 94．如图，在正方体中，E为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 95．如图，在六面体中，四边形是正方形，平面平面，平面，． (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的正弦值． 96．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，平面，为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $