专题01 点线面位置关系13大题型（期中专项训练）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题01 点线面位置关系 基础·固本强基 题型 1：空间线、面位置关系命题判断 题型 2：异面直线所成角（向量法） 题型 3：四点共面、共面向量定理 题型 4：简单距离计算（点到平面、线到平面距离） 提升·进阶突破 题型 5：线面平行证明（解答题高频） 题型 6：线面垂直证明 题型 7：面面平行 / 面面垂直证明 题型 8：线面角（向量法求角） 题型 9：二面角（平面与平面夹角） 题型 10：截面问题 拔高·压轴破难 题型 11：动点参数问题（存在性、有解） 题型 12：外接球问题（棱锥、棱柱外接球） 题型 13：.最值问题（角度最值、距离最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1：空间线、面位置关系命题判断 模型：借助正方体 / 长方体举反例，判断线线、线面、面面平行、垂直命题真假；辨析充分必要条件。 核心易错 线面平行≠直线和平面内所有直线平行； 面面平行判定条件遗漏 “两条相交直线”。 1．（期中安徽）已知直线a与两个不同的平面α，β，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（期中安徽）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（期中，河南）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 4．（期中，福建）在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（    ） A．PN与为异面直线 B．与MN所成的角为 C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则点轨迹长度为 5．（期中安徽）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（    ） A．当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B．三棱锥中，点P到面的距离为定值 C．过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D．直线与面所成角的正弦值的范围为 6．（期中，安徽）已知正方体的棱长为2，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．当为棱的中点时，平面 B．与不垂直 C．四面体的体积为 D．平面 7．（期中，福建）如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 B．点运动时，四棱锥的外接球半径为定值 C．当时，异面直线与所成的角余弦值为 D．半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为 8．（期中，安徽）如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．无论点的位置，总有平面 B．存在点使得平面 C．若是的中点，则到平面的距离为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则 9．（期中，安徽）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时， C．当时，长度的最小值为 D．当时，存在点，使得与平面所成的角为 10（期中，福建）已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（   ） A．若是的中点，则平面 B．若是的中点，则平面 C．的最大值是 D．的最小值为 题型 2：异面直线所成角（向量法） 模型：建系写出方向向量，套夹角公式；异面角取范围，结果取绝对值。 核心易错：向量夹角可能是异面角的补角，最后必须取余弦的绝对值。 1．（期中，安徽）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型 3：四点共面、共面向量定理 模型：四点共面向量可以被另外两个向量线性表示；系数满足关系。 核心易错：分清向量共面≠点共线。 1（期中，安徽）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 题型 4：简单距离计算（点到平面、线到平面距离） 模型：线面平行时，线到面距离等价线上任意一点到平面距离；。 核心易错：直线不平行平面不能转化点面距离；法向量必须是平面法向量。 1．（期中，河南）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2（期中，安徽）如图，直三棱柱中，，点，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面的距离. 3（期中，福建）如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 提升·进阶突破 题型 5：线面平行证明（解答题高频） 模型 ① 线线平行线面平行：中位线、平行四边形； ② 面面平行线面平行。 1（期中，福建）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2（期中，安徽）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型 6：线面垂直证明 模型：一条直线垂直平面内两条相交直线线面垂直；面面垂直性质定理。 核心易错：一定要强调两条直线相交。 1（期中，河南）如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，使得平面平面．如图2．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型 7：面面平行 / 面面垂直证明 模型 面面垂直：一个平面过另一个平面的一条垂线； 面面平行：一个平面内两条相交直线分别平行另一平面。 核心易错：面面垂直性质定理使用前提：交线明确，直线垂直交线。 1期中，安徽）如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求该几何体的体积． 2（期中，安徽）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 3（期中，安徽）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，且满足. (1)求四棱锥的高； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面夹角的正弦值. 题型 8：线面角（向量法求角） 模型：直线方向向量，平面法向量；线面角。 核心易错：线面角不是向量夹角！是向量夹角的余角，公式用，不是。 1（期中，河南）如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． (1)求证：； (2)求直线MN与平面所成角的正弦值． 2（期中，河南）如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 3（期中，安徽）如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 4（期中，福建）如图，在四面体中，平面分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 5（期中，福建）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是上的点，且.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角正弦值. 题型 9：二面角（平面与平面夹角） 模型：求出两个平面法向量，计算法向量夹角； 看清二面角是锐角还是钝角，平面夹角只取。 1（期中，福建）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 题型 10：截面问题 模型：找棱上交点连线得到截面；求截面多边形形状、面积。 1（期中，福建）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2（期中，福建）已知正方体的棱长为4， 是的中点，是的中点，在正方体内部有一片区域，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____    拔高·压轴破难 题型 11：动点参数问题（存在性、有解） 模型：棱上动点设参数，写出点坐标；条件转化为关于的方程，判断解是否在区间。 考法细分 是否存在点使得线面平行 / 垂直； 是否存在点满足二面角 / 线面角为指定值。 1（期中，河南）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 2（期中，安徽）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．    (1)棱上是否存在点，使得平面，并证明； (2)若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 题型 12：外接球问题（棱锥、棱柱外接球） 模型 有面面垂直：找两个面外接圆圆心，作垂线交点为球心； 可以补成长方体模型； 利用。 1．（期中，安徽）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. (1)求证：； (2)（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 2（期中，河南）如图1，在平行四边形中，，，为的中点.将沿折起，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求三棱锥的外接球的半径. 题型 13：.最值问题（角度最值、距离最值） 【模型】认“基本初等函数”→ 直接套增减性结论，不做变形。 【步骤】① 定定义域；② 拆成一次/二次/反比例/对勾/根式；③ 逐个套增减结论。 【易错】二次函数在 R 上不单调，须写对称轴分区间；反比例有两条分支，不能说“在定义域上”递减。 模型：引入参数，得到三角函数 / 二次函数，求值域、最值； 1．（期中，安徽）已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． $专题01 点线面位置关系 基础·固本强基 题型 1：空间线、面位置关系命题判断 题型 2：异面直线所成角（向量法） 题型 3：四点共面、共面向量定理 题型 4：简单距离计算（点到平面、线到平面距离） 提升·进阶突破 题型 5：线面平行证明（解答题高频） 题型 6：线面垂直证明 题型 7：面面平行 / 面面垂直证明 题型 8：线面角（向量法求角） 题型 9：二面角（平面与平面夹角） 题型 10：截面问题 拔高·压轴破难 题型 11：动点参数问题（存在性、有解） 题型 12：外接球问题（棱锥、棱柱外接球） 题型 13：.最值问题（角度最值、距离最值） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1：空间线、面位置关系命题判断 模型：借助正方体 / 长方体举反例，判断线线、线面、面面平行、垂直命题真假；辨析充分必要条件。 核心易错 线面平行≠直线和平面内所有直线平行； 面面平行判定条件遗漏 “两条相交直线”。 1．（期中安徽）已知直线a与两个不同的平面α，β，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】在正方体中，举反例即可判断ABC，利用面面平行以及线面垂直的性质即可求解D. 【详解】对于A，比如在正方体中，平面，平面，但平面与平面不平行，故A错误， 对于B，正方体中，平面平面，平面，但平面，故B错误， 对于C，正方体中，平面平面，且平面，但平面，故C错误， 对于D ， 由于，故存在平面，使得，且，又，所以，因此，故D正确， 故选：D 2．（期中安徽）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，，则，那么，故A正确； B.若，，，则，故B错误； C.若，，则，或，又，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误； D.若，，，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误. 故选：A 3．（期中，河南）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 【答案】AC 【分析】对于A，当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于B，当时，由得，所以点P在线段上；对于C，当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 4．（期中，福建）在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（    ） A．PN与为异面直线 B．与MN所成的角为 C．平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据异面直线定义可判断A正确，作与平行的直线，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断B正确，作出截面形状可知平面截该正方体所得截面形状为正六边形，可得C错误，利用向量共线定理可找出点轨迹为线段，求出其长度可得结果，即D正确. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取中点为，连，，如下图所示：由正方体性质可知，又， 所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如上图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，因为为的中点，所以， 由可知， 即，因此可知，共线， 所以点轨迹为过点且与平行的线段， 取的中点为，连接，取的中点， 连接，如下图所示： 由正方体性质易知，，又为的中位线， 所以，； 因此点轨迹即为线段，且， 所以点轨迹长度为，可得正确. 故选：ABD 5．（期中安徽）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（    ） A．当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B．三棱锥中，点P到面的距离为定值 C．过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D．直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算可判断A；计算平面的法向量为，根据点到平面的距离公式可判断B；确定截面为，计算面积可判断C；根据线面角的向量求法可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， ，，， 对A：，，故， 所以异面直线与BD所成角为，故A错误； 对B：设平面的法向量为，则， 取，则，，得到， 又，则点P到面的距离为，故B正确； 对C：如图所示，连接，则， 平面，平面，故平面，同理平面， ，平面，故平面平面， 故截面即为等边三角形，面积为，故C正确； 对D：设直线与面所成角为， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 6．（期中，安徽）已知正方体的棱长为2，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（   ） A．当为棱的中点时，平面 B．与不垂直 C．四面体的体积为 D．平面 【答案】AB 【分析】选项A，取的中点，连，易得四边形是平行四边形，从而得到，根据线面平行的判定定理得到平面；选项B，在中，利用勾股定理的逆定理得到 ，则与不垂直，又 ，则与不垂直，选项C，只有当为中点时，可求出；选项D，利用线面垂直的判定定理证明平面，若平面，则，显然与不平行，从而得到结论． 【详解】选项A，如图，取的中点，连，易证，故四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，A正确； 选项B，，在中，，，， ，，与不垂直， ，与显然不垂直，B正确； 选项C，只有当为中点时，， C错误； 选项D，，，，平面，平面， 平面，平面，，同理可得， ，平面，若平面，则， 显然与不平行，故D错误． 故选：AB． 7．（期中，福建）如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 B．点运动时，四棱锥的外接球半径为定值 C．当时，异面直线与所成的角余弦值为 D．半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【分析】根据面面垂直、线面垂直判断A选项，根据外接球球心到顶点距离相等判断B选项，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断C，D两项. 【详解】对于A，因为半圆面平面，平面平面， 平面，四边形是正方形，则，故平面， 又平面，所以，， 由为直径，可得，因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以三棱锥的四个面都是直角三角形，因为点运动时，点到平面的最大距离为， 所以，故A正确； 对于B， 设半圆圆心为，正方形中心为，则，因为正方形的中心到四个顶点的距离为， 当运动时，， 故是四棱锥的外接球球心，球的半径为定值，故B错误； 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，易得，所以点，， 所以， 则，故C正确； 对于D，设，则，， 平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为： ，即得， 即，则，故或， 即满足条件的点有两个，不唯一，故D错误. 故选：AC. 8．（期中，安徽）如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．无论点的位置，总有平面 B．存在点使得平面 C．若是的中点，则到平面的距离为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则 【答案】ACD 【分析】由，可判断A；由与不垂直，可判断B；将点到平面的距离转换成点到直线的距离即可判断C，设，结合线面角的定义列出等式求解即可. 【详解】对于A，因为，又平面并且平面， 所以平面，故A正确； 对于B，在正方体中易知，与不垂直，故B不正确； 对于C，正方体中易知，，不在平面内，在平面内， 所以平行平面，所以到平面的距离即为到平面的距离， 在正方体中，易知平面平面，且相交于， 所以到平面的距离即为到的距离，又因为点是的中点， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离，设距离为， 又，，解得，故C正确； 对于D，设，所以， 计算可得， 所以点到直线的距离为， 根据三角形相似可得点到直线的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦为， 所以，故D正确． 故选：ACD. 9．（期中，安徽）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时， C．当时，长度的最小值为 D．当时，存在点，使得与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】对于A，确定点在线段上，得到可判断；对于B，确定平面，可判断；对于C，确定三点共线，线段在中，可得到点为中点时，最小，即可判断；对于D，由，结合，求得范围，即可判断. 【详解】 对于A，当时，，即点在线段上，则，又平面，平面，平面，A正确 对于B，平面，且平面，， ， 又平面，且相交，平面，又平面，，B正确 对于C，当时，，即，即三点共线，线段在中，因为，所以当点为中点时，最小，此时，，C错误 对于D，点在平面上的射影为点，所以与平面所成的角为，，又，所以，所以，又，所以，D错误 故选：AB 10（期中，福建）已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（   ） A．若是的中点，则平面 B．若是的中点，则平面 C．的最大值是 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对选项A，根据是的中点，取中点，通过证明四边形是平行四边形即可证明；对选项B，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，证明即可；对选项C，根据可知，与重合时，最大；对选项D，设出，坐标，则可知坐标，故，，由可知，代入数量积的坐标运算可转化为的取值范围，利用三角换元即可求解. 【详解】是的中点，，，，∴是的中点. 连接交于点如图所示. ，∴四边形是平行四边形，. 又平面，平面，平面，故A正确； 以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点， 那么，，，， 而平面的一个法向量.， 不是平面的法向量，故B错误； 当与重合时，最大，为，故C正确； 设，，则， ，，， ，， 设，，， 故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系、求线段长度最小值及数量积最小值的方法，解题关键是建立空间直角坐标系将几何问题转化为代数问题，考查学生转化能力、数形结合能力和计算能力，属于压轴题. 题型 2：异面直线所成角（向量法） 模型：建系写出方向向量，套夹角公式；异面角取范围，结果取绝对值。 核心易错：向量夹角可能是异面角的补角，最后必须取余弦的绝对值。 1．（期中，安徽）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用.求出线线角的余弦值. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 题型 3：四点共面、共面向量定理 模型：四点共面向量可以被另外两个向量线性表示；系数满足关系。 核心易错：分清向量共面≠点共线。 1（期中，安徽）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面， 而、不共线，则存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：D. 题型 4：简单距离计算（点到平面、线到平面距离） 模型：线面平行时，线到面距离等价线上任意一点到平面距离；。 核心易错：直线不平行平面不能转化点面距离；法向量必须是平面法向量。 1．（期中，河南）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 2（期中，安徽）如图，直三棱柱中，，点，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面的距离. 【答案】(1) 证明：因为为直三棱柱，所以， 又因为和分别为和的中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 则， 可得， 设平面的法向量为， ， 取，则，所以， 又因为向量，所以点D到平面A1FC1的距离， 因为，分别为，的中点，可得直线平面， 所以直线与平面的距离即为点D到平面的距离， 故直线与平面的距离为.      3（期中，福建）如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； (2) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法计算即得. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，，又， 所以两两垂直， 故可以为原点，为轴的正方向建立如图的空间直角坐标系， 由、、、， 则、、， 设平面的法向量为， 则， 取，则、， 所以为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 提升·进阶突破 题型 5：线面平行证明（解答题高频） 模型 ① 线线平行线面平行：中位线、平行四边形； ② 面面平行线面平行。 1（期中，福建）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 连结，和分别是和的中点，所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连结，所以，继而，利用线面平行判断定理证明即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，，所以， 设平面与平面夹角为， 所以. 2（期中，安徽）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． (2)证明：由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 【分析】（1）由条件证明，同理可得，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）由（1）证明，根据线面平行判定定理证明平面，同理可得平面，再由面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）略 （2）略 题型 6：线面垂直证明 模型：一条直线垂直平面内两条相交直线线面垂直；面面垂直性质定理。 核心易错：一定要强调两条直线相交。 1（期中，河南）如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，使得平面平面．如图2．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 如图，连接，作出符合题意的图形，    因为， 所以，可得为正方形， 所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. (2) 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后由线面角的向量求法可得正弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意得， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，以为原点， 以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面的夹角为，得到. 题型 7：面面平行 / 面面垂直证明 模型 面面垂直：一个平面过另一个平面的一条垂线； 面面平行：一个平面内两条相交直线分别平行另一平面。 核心易错：面面垂直性质定理使用前提：交线明确，直线垂直交线。 1期中，安徽）如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求该几何体的体积． 【答案】(1) 取的中点，连接，因为是的中点， 所以，且， 因为和都垂直平面，所以， 所以，且，所以为平行四边形， 所以， 因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为,面,面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面； (2) 【分析】（1）利用线面垂直判断面面垂直； （2）将几何体分成两个三棱锥进行计算体积. 【详解】（1）略 （2）连接，设该几何体的体积为，则， ，所以， ， 所以. 2（期中，安徽）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【答案】(1) 连接，因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH，如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面． (2). 【分析】（1）分别由线线平行证明平面，平面，再由面面平行的判定定理即可得证； （2）结合图形，依次求得三棱锥的体积和三棱台的体积，即得被夹在平面AMN与平面DBEF之间的几何体的体积，作比计算即得. 【详解】（1）略 （2）设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为， 三棱台的体积为 ， 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 3（期中，安徽）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点在棱上，且满足. (1)求四棱锥的高； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 取中点，连接， 为等边三角形，且，，平面，                又平面，， 又，，、平面，平面， 平面，平面平面. (3) 【分析】（1）求出的面积，利用锥体体积公式可求出四棱锥的高； （2）取中点，连接，分析可知平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用.法可求得直线与平面夹角的正弦值. 【详解】（1）因为底面为矩形，，， 则， 设到底面的距离为， ，故四棱锥的高为. （2）略 （3）因为平面，底面为矩形，且， 如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，          则、、、、， 则，，， 设平面的一个法向量， ，取，得，          设直线与平面的夹角为， . 故直线与平面的夹角的正弦值为. 题型 8：线面角（向量法求角） 模型：直线方向向量，平面法向量；线面角。 核心易错：线面角不是向量夹角！是向量夹角的余角，公式用，不是。 1（期中，河南）如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． (1)求证：； (2)求直线MN与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， 则，∴，， ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴， 又，， ∴． (2) 【分析】(1)构建平行四边形使得平行于平面的一条直线即可. (2)构建空间直角坐标系利用.进行空间角的求解. 【详解】（1）略 （2）设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直． 以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，，，， ∴，∴， ∴，，． 设平面的法向量为， 则取，则，， ∴平面的一个法向量为． 设直线MN与平面所成的角为θ，则 ， 即直线MN与平面所成角的正弦值为. 2（期中，河南）如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) 因为，为的中点，所以，     因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，             又平面，所以； (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以，             由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，     设平面的一个法向量， 则即，解得，，所以，             所以点到平面的距离.        （3）由（2）得，，     设平面的一个法向量，则即 令，解得，，所以，             由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 3（期中，安徽）如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) 因为，所以， 因为平面，在平面内， 所以， 因为，又都在平面内， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. (2). 【分析】（1）由，得到平面，即可求证； （2）建系，求得直线方向向量、平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面平面， 所以平面，在平面内， 所以， 因为，， 所以. 又由（1）知，，两两垂直， 所以以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为， 所以. 4（期中，福建）如图，在四面体中，平面分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明： 因为分别为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. (2). 【分析】（1）由和线面平行判定定理即可证明； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用即可计算求解. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，即. 因为平面平面，所以， 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，    则， 所以. 设平面的一个法向量， 则即不妨设，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5（期中，福建）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是上的点，且.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角正弦值. 【答案】(1) 连接，交于点，连接，如图：    因为底面为正方形，所以为中点，又为中点， 所以，平面，平面， 所以平面. (2) 因为平面，底面为正方形， 所以两两垂直. 故可以为原点建立如图空间直角坐标系. 不妨设，则，，，，. 因为为中点，所以. 因为在上，且，所以. 所以，，，. 因为，. 所以，，又平面，， 所以平面. (3) 【分析】（1）构造线线平行，利用线线平行证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系。利用.证明线面垂直. （3）利用.求二面角的三角函数值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得，平面的一个法向量为； 设平面的法向量为， 则， 令，可得. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以. 题型 9：二面角（平面与平面夹角） 模型：求出两个平面法向量，计算法向量夹角； 看清二面角是锐角还是钝角，平面夹角只取。 1（期中，福建）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，，，， 又，，，； ，，四边形为平行四边形，， 即图（2）中，，又，，， ，，平面，平面， 平面，， ，平面，平面. (2)存在，点位于线段靠近点的三等分点，理由如下： 由（1）得：平面，又，两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：（舍）或，， 当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 【分析】（1）利用勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略 （2）略 题型 10：截面问题 模型：找棱上交点连线得到截面；求截面多边形形状、面积。 1（期中，福建）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解判断①；作出截面并求出面积判断②；利用线面角的向量法列式求出范围判断③即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ,设，则 ，即，， 设平面的法向量为，则，取，得， 对于①，到平面的距离，①正确； 对于②，连接，在中，，面，面， 则面，同理面，而平面， 因此平面平面，即过点且平行于面的平面被正方体 截得的多边形为正，其边长为，面积为，②正确； 对于③，设直线与平面所成角为，则 ，由，得，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，③错误. 故选：C 2（期中，福建）已知正方体的棱长为4， 是的中点，是的中点，在正方体内部有一片区域，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____    【答案】 【分析】利用正方体的正六边形截面来确定最大值即可求解. 【详解】    由图中取各棱中点连成的正六边形，是正方体中的一个截面， 由于,在正六边形中，必相交， 可知平面平面， 此时平面，与重合时，则满足平面， 此时截面六边形的面积是最大的，即区域就是六边形， 由正方体的棱长为，可知正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为， 故答案为：. 拔高·压轴破难 题型 11：动点参数问题（存在性、有解） 模型：棱上动点设参数，写出点坐标；条件转化为关于的方程，判断解是否在区间。 考法细分 是否存在点使得线面平行 / 垂直； 是否存在点满足二面角 / 线面角为指定值。 1（期中，河南）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 2（期中，安徽）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．    (1)棱上是否存在点，使得平面，并证明； (2)若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 为的中点时，平面， 证明如下： 取的中点，连接．因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为中点，为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面 所以平面平面， 因为平面， 所以平面. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面平面，即可判定； （2）结合题意证明两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面，平面， 所以 因为四边形是边长为2的正方形， 所以 所以两两垂直， 因为四边形与都是直角梯形，， 所以， 故以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系．    ， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 所以 所以点到平面的距离为. （ii），得， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为 题型 12：外接球问题（棱锥、棱柱外接球） 模型 有面面垂直：找两个面外接圆圆心，作垂线交点为球心； 可以补成长方体模型； 利用。 1．（期中，安徽）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. (1)求证：； (2)（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 【答案】(1) 在长方形中，，M为DC的中点，则， 平面平面，平面平面，且， 由，得，则平面，又平面， 所以. (2)（i）E在线段三等分点且靠近D1点时；（ii） 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解；（ii）求出外接球的球心，进而求出半径即可得其体积. 【详解】（1）略 （2）（i）过点M作平面的垂线，并以此线为z轴，以直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则， ， 由点E是线段上的一动点，设， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 解得，点E是线段靠近D1的三等分点， 所以点E是线段靠近D1的三等分点时，二面角的余弦值为. （ii）由（i）知，，则点，线段的中点， 由，得的外心为中点，因此三棱锥的外接球球心 在过垂直于平面的直线上，设三棱锥外接球的球心为O， 由，得，解得， 因此三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 2（期中，河南）如图1，在平行四边形中，，，为的中点.将沿折起，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求三棱锥的外接球的半径. 【答案】(1) 连接，由题意得为等边三角形，则， 在中，，，， ， 由，，，则，故. 又，则，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)存在， (3) 【分析】（1）证明平面即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用.进行求解； （3）取中点，设三棱锥的外接球的球心为，设，由进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图，以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以 . 化简得，解得（舍去）， 故存在，使直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，设三棱锥的外接球的球心为， 由知，点在过点且与平面垂直的直线上，设， 由得， 解得， 从而，即三棱锥的外接球的半径为. 题型 13：.最值问题（角度最值、距离最值） 【模型】认“基本初等函数”→ 直接套增减性结论，不做变形。 【步骤】① 定定义域；② 拆成一次/二次/反比例/对勾/根式；③ 逐个套增减结论。 【易错】二次函数在 R 上不单调，须写对称轴分区间；反比例有两条分支，不能说“在定义域上”递减。 模型：引入参数，得到三角函数 / 二次函数，求值域、最值； 1．（期中，安徽）已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上的一动点，则面积的取小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的性质得到平面，，然后根据，，得到的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可. 【详解】取中点，连接、、， 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，， 因为为中点，所以， 因为平面，所以， 因为，，所以，， 在直角三角形中，当时，最小，为， 当点和点重合时，最大，最大为4，所以， ，所以当时，的面积最小为. 故选：B 2．（期中，安徽）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1) 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． $