专题07 双曲线13大题型（期中专项训练）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题07 双曲线 基础·固本强基 题型 1 双曲线方程的识别与判定 题型 2 双曲线第一定义应用 题型 3 焦点三角形综合 题型 4 中档离心率求解 题型5 椭圆与双曲线共焦点综合问题 题型 6 直线与双曲线联立：韦达定理、弦长计算 题型 7 直线与双曲线：斜率之积、向量垂直 提升·进阶突破 题型 8 直线过定点问题 题型 9 点差法（中点弦问题） 题型 10 面积、比值、取值范围与最值综合 拔高·压轴破难 题型 11 向量条件转化双曲线几何综合压轴 题型 12 新定义双曲线 题型 13 多条件多选压轴综合 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 双曲线方程的识别与判定 【模型】 ①已知焦点、顶点、渐近线、过曲线上一点求双曲线标准方程； ②判断二元二次方程什么时候表示双曲线； ③与椭圆共焦点条件求双曲线参数。 【步骤】判断焦点在x轴还是y轴；利用条件列a,b,c方程组；求解写出标准式；方程表示双曲线：。 1．（期中，河南）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．6 2．（期中，河南）双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）若方程“”表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（期中，河南）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 题型 2 双曲线第一定义应用 【模型】双曲线上任一点P，；右支：；左支：。 【步骤】 ①看清点在左支还是右支； ②套用定义得到两条焦半径差为2a； ③结合已知线段长度求解焦半径。 1．（期中，福建）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 2．（期中，河南）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（    ） A． B．有最大值3 C．若点，则周长的最小值为12 D．的内心到轴的距离为1 提升·进阶突破 题型 3 焦点三角形综合 【模型】点P在双曲线上，已知，结合第一定义、余弦定理，求三角形面积、离心率。 面积公式：。 【步骤】 ①由定义两边平方； ②余弦定理：； ③联立求出，计算面积。 1．（期中，河南）设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 题型 4 中档离心率求解 【模型】给出角度、垂直、线段比例、向量条件，把几何条件转化为关于a,b,c齐次等式，两边同除得到关于e的一元二次方程。 【步骤】 ①翻译题干几何 / 向量条件； ②结合双曲线定义、余弦定理得到等式； ③全部化为a,b,c齐次式； 1．（期中，河南）记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（期中，福建）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）已知双曲线是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（期中，河南）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为________． 5．（期中，河南）双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为________. 题型5 椭圆与双曲线共焦点综合问题 【模型】椭圆、双曲线有相同焦点c；点为公共交点，同时满足椭圆定义、双曲线定义；求离心率关系式、离心率范围。 【步骤】 ①共焦点：两者半焦距c相等； ②分别写出椭圆、双曲线定义； ③联立得到焦半径； ④结合垂直、角度条件建立离心率关系。 1．（期中，福建）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是______. 题型 6 直线与双曲线联立：韦达定理、弦长计算 【模型】设直线方程，和双曲线联立；判别式、韦达定理；弦长公式。 【步骤】 ①设直线（注意斜率不存在讨论）； ②联立双曲线，整理一元二次方程； ③判别式； ④韦达定理，弦长公式； ⑤计算弦长。 1．（期中，河南）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（   ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的外接圆的面积为 D．过点作直线交于，两点，且，则 2．（期中，河南）已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 题型 7 直线与双曲线：斜率之积、向量垂直 【模型】直线交双曲线A,B，已知为定值，或者，求直线参数。 【步骤】 ①联立直线双曲线，写出韦达定理； ②；垂直等价； ③代入韦达，解方程求k,m。 1．（期中，河南）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 2．（期中，河南）已知双曲线的离心率是，焦距是6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 拔高·压轴破难 题型 8 直线过定点问题 【模型】直线与双曲线相交，给斜率条件、对称条件，证明直线恒过某定点。常见：点关于x轴对称B'，证明AB'过定点。 【步骤】 ①设直线，联立写出韦达定理； ②写出对称点坐标； ③写出目标直线方程； ④令参数系数为 0，求出定点。 1．（期中，河南）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 2．（期中，河南)已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 题型 9 点差法（中点弦问题） 【模型】A,B在双曲线上，M为AB中点，点差得到。 【步骤】 ①A,B代入双曲线方程，两式相减； ②因式分解，转化中点、斜率关系； ③求出直线斜率。 1．（期中，河南）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 2．（期中，河南）已知离心率为的双曲线经过点. (1)求的方程； (2)已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 题型 10 面积、比值、取值范围与最值综合 【模型】直线与双曲线相交，求三角形面积、面积比值、参数取值范围；结合基本不等式、函数单调性求最值。 【步骤】 ①联立直线双曲线，韦达定理； ②弦长公式、点到直线距离求面积； ③把目标写为关于k的函数； ④求值域、范围；注意直线与双曲线交于左支 / 右支对参数的约束。 1．（期中，安徽）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 2．（期中，安徽）已知双曲线的右焦点为，离心率为，过原点的直线与的左右两支分别交于两点，若，则的最小值为__________. 3．（期中，河南）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 4．（期中，河南）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. (1)求C的方程. (2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 拔高·压轴破难 题型 11 向量条件转化双曲线几何综合压轴 【模型】题干给出向量垂直、向量倍数关系，翻译成长度坐标条件，结合双曲线定义、余弦定理求离心率、参数。 【步骤】 ①向量条件翻译成线段长度、垂直； ②双曲线定义 + 余弦定理； ③齐次方程求离心率； 1．（期中，河南）已知是双曲线的左､右焦点，是左支上一点，是右支上一点，且，则双曲线的离心率为__________. 题型 12 新定义双曲线 【模型】不是标准，利用双曲线定义识别曲线；对勾函数图像本质双曲线，求渐近线、对称轴。 【步骤】 ①严格按照双曲线定义：到两定点距离差的绝对值等于定值； ②识别渐近线，求对称轴； 1．（期中，福建）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 2．（期中，安徽）设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， (1)求曲线的方程； (2)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． (3)人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 题型 13 多条件多选压轴综合 【模型】一道多选题融合：渐近线、定义、内切圆、直线相交、离心率、中点弦；举反例、代数计算结合。 【步骤】每个选项独立分析，概念题举正方体、特殊位置反例；计算类简单推演。 1．（期中，河南）已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若则方程C表示椭圆 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 2．（期中，河南）已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若则方程C表示椭圆 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 3．（期中，河南）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点满足，，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．与的面积的比值为 C．双曲线的渐近线方程为 D．与的内切圆半径之比为 4．（期中，河南）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（ ） A．C的离心率为2 B． C．的面积为 D．的周长为18 $专题07 双曲线 基础·固本强基 题型 1 双曲线方程的识别与判定 题型 2 双曲线第一定义应用 题型 3 焦点三角形综合 题型 4 中档离心率求解 题型5 椭圆与双曲线共焦点综合问题 题型 6 直线与双曲线联立：韦达定理、弦长计算 题型 7 直线与双曲线：斜率之积、向量垂直 提升·进阶突破 题型 8 直线过定点问题 题型 9 点差法（中点弦问题） 题型 10 面积、比值、取值范围与最值综合 拔高·压轴破难 题型 11 向量条件转化双曲线几何综合压轴 题型 12 新定义双曲线 题型 13 多条件多选压轴综合 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 双曲线方程的识别与判定 【模型】 ①已知焦点、顶点、渐近线、过曲线上一点求双曲线标准方程； ②判断二元二次方程什么时候表示双曲线； ③与椭圆共焦点条件求双曲线参数。 【步骤】判断焦点在x轴还是y轴；利用条件列a,b,c方程组；求解写出标准式；方程表示双曲线：。 1．（期中，河南）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】先求椭圆的焦点，再根据椭圆与双曲线有相同焦点列式求的值. 【详解】由题意知，双曲线的方程为，椭圆的标准方程为， 椭圆的焦点在x轴上，且，，所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以，且，解得. 故选：C 2．（期中，河南）双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出双曲线的方程，再代入点，求出标准方程，即可求出离心率. 【详解】根据题意，设双曲线的方程为， 又因为经过点，代入可得， 故标准方程为，故， ， ，故， 故选：. 3．（期中，安徽）若方程“”表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的表示方程，得出不等式，分类讨论求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】由方程表示双曲线，则满足， 当时，不等式即为，解得或； 当时，不等式为， 即为，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 4．（期中，河南）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【答案】ACD 【分析】由椭圆、双曲线标准方程的结构特点可判断AB，由焦距的概念可判断CD. 【详解】因为，但，即不是椭圆，故A错误； 当，即，或时，为双曲线，故B正确； 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 而的焦距为，故C错误； 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 与双曲线的焦距不相同，故D错误. 故选：ACD. 题型 2 双曲线第一定义应用 【模型】双曲线上任一点P，；右支：；左支：。 【步骤】 ①看清点在左支还是右支； ②套用定义得到两条焦半径差为2a； ③结合已知线段长度求解焦半径。 1．（期中，福建）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C 2．（期中，河南）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 3．（期中，安徽）已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（    ） A． B．有最大值3 C．若点，则周长的最小值为12 D．的内心到轴的距离为1 【答案】ACD 【分析】根据焦点坐标及a，b，c的关系，可求得b值，即可判断A的正误；根据双曲线定义及的范围，化简整理，即可判断B的正误；因为，代入周长表达式，化简计算，即可判断C的正误；根据内切圆的性质及题中数据，分析计算可得，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点，分析即可得判断D的正误. 【详解】选项A：由右焦点坐标可知，且，则， 所以，故A正确； 选项B：因为点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义知：， 所以， 因为 ，即， 所以有最大值2；故B错误； 选项C：因为， 所以，故C正确； 选项D：由双曲线方程知，设三角形内切圆与三边的切点分别为M，B，C，如图， 由几何关系可得，，， 所以， 又，所以， 所以，即点在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点. 又因为轴，所以到轴的距离为1，故D正确. 故选：ACD 提升·进阶突破 题型 3 焦点三角形综合 【模型】点P在双曲线上，已知，结合第一定义、余弦定理，求三角形面积、离心率。 面积公式：。 【步骤】 ①由定义两边平方； ②余弦定理：； ③联立求出，计算面积。 1．（期中，河南）设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的定义， 所以，， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以， 在中，， 即，即，所以. 故答案为： 题型 4 中档离心率求解 【模型】给出角度、垂直、线段比例、向量条件，把几何条件转化为关于a,b,c齐次等式，两边同除得到关于e的一元二次方程。 【步骤】 ①翻译题干几何 / 向量条件； ②结合双曲线定义、余弦定理得到等式； ③全部化为a,b,c齐次式； 1．（期中，河南）记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由椭圆和双曲线离心率计算公式即可求解. 【详解】由题意知，， 因为， 所以， 即，解得. 故选：B 2．（期中，福建）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解． 【详解】不妨设， 在△中，由余弦定理知，， 因为， 则， 两式联立得， 因为，， 整理得，化简得， 所以离心率． 故选：．    3．（期中，安徽）已知双曲线是其左右顶点，过点的直线交圆于点，交双曲线的右支于点，且则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，点是的中点，利用中点坐标公式，点分别在圆和双曲线上，计算可得，结合,进而根据离心率的公式即可求. 【详解】由题，双曲线的左右顶点为， 因为，点是的中点， 设，根据中点坐标公式， 因为点在圆上，所以代入得， 化简得：，又，即， 减去得，解得， 代入，得，解得， 因为点在双曲线上，代入双曲线方程：，化简得， 双曲线中，即， 离心率. 故选：B. 4．（期中，河南）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为________． 【答案】 【分析】依题设点，，利用，代入坐标计算可得，再由，化简后将结论代入可得，利用点是E的右支上的一点，建立关于的方程，求解即得离心率. 【详解】如图： 设点，则，，因 ，则， 由可得，解得（*）， 又，可得， 将（*）代入整理得，即. 又点是E的右支上的一点，故，将以上结论代入可得， 因代入可得，化简得， 两边同除以，可得，解得或，因，故，则. 故答案为： 5．（期中，河南）双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【分析】根据题意，双曲线右焦点，由，可得，又是等腰直角三角形，即，进而建立齐次方程，化简整理，即可求解. 【详解】由题意，点为双曲线的右焦点，所以， 将代入双曲线的方程，得， 又，所以， 又是等腰直角三角形，所以，所以，即， 又，即，所以，化简得， 解得或（舍），即双曲线C的离心率为. 故答案为： 题型5 椭圆与双曲线共焦点综合问题 【模型】椭圆、双曲线有相同焦点c；点为公共交点，同时满足椭圆定义、双曲线定义；求离心率关系式、离心率范围。 【步骤】 ①共焦点：两者半焦距c相等； ②分别写出椭圆、双曲线定义； ③联立得到焦半径； ④结合垂直、角度条件建立离心率关系。 1．（期中，福建）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得，，由得，从而可得，由的范围即可求的取值范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为:. 题型 6 直线与双曲线联立：韦达定理、弦长计算 【模型】设直线方程，和双曲线联立；判别式、韦达定理；弦长公式。 【步骤】 ①设直线（注意斜率不存在讨论）； ②联立双曲线，整理一元二次方程； ③判别式； ④韦达定理，弦长公式； ⑤计算弦长。 1．（期中，河南）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（   ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的外接圆的面积为 D．过点作直线交于，两点，且，则 【答案】ABD 【分析】由题设求得的重心的坐标为代入圆，结合，求得，进而得的焦距和渐近线方程，即可判断A、B；由题设得，令，，进而可求的外接圆的圆心，从而得半径、面积即可判断C；设直线，，，联立利用韦达定理结合求得，再利用弦长公式求得即可判断D. 【详解】由题意易得C，D两点的坐标为，， 又，所以的重心的坐标为， 记，则以线段为直径的圆的方程为， 所以，所以， 所以，所以的焦距为，， 故的渐近线方程为，故A、B均正确； 不妨令，， 又，所以线段的垂直平分线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为， 令，得，所以的外接圆的圆心为， 所以的外接圆的半径为， 所以的外接圆的面积为，故C错误； 由上面分析知的方程为，由题知直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立，整理得， 则，，，， 所以， 因为，所以， 所以， 即，整理得，即， 所以，故D正确.    故选：ABD. 2．（期中，河南）已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）（ii）或 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. 【详解】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 题型 7 直线与双曲线：斜率之积、向量垂直 【模型】直线交双曲线A,B，已知为定值，或者，求直线参数。 【步骤】 ①联立直线双曲线，写出韦达定理； ②；垂直等价； ③代入韦达，解方程求k,m。 1．（期中，河南）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合求得的值，进而即得直线方程. 【详解】（1）由题，可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或.    2．（期中，河南）已知双曲线的离心率是，焦距是6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. 【详解】（1）因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. （2）如图， 设，， 联立方程消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 拔高·压轴破难 题型 8 直线过定点问题 【模型】直线与双曲线相交，给斜率条件、对称条件，证明直线恒过某定点。常见：点关于x轴对称B'，证明AB'过定点。 【步骤】 ①设直线，联立写出韦达定理； ②写出对称点坐标； ③写出目标直线方程； ④令参数系数为 0，求出定点。 1．（期中，河南）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】(1) (2)证明：依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 【分析】（1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【详解】（1）设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． （2）略 2．（期中，河南)已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）根据双曲线定义求出，再设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得到方程，解出即可； （3）写出直线的方程，将其与双曲线方程联立，求出点坐标，写出直线方程，化简得到定点坐标. 【详解】（1）由双曲线经过点两点， 得，解得， 故的方程为． （2）因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． （3）由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点．      题型 9 点差法（中点弦问题） 【模型】A,B在双曲线上，M为AB中点，点差得到。 【步骤】 ①A,B代入双曲线方程，两式相减； ②因式分解，转化中点、斜率关系； ③求出直线斜率。 1．（期中，河南）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：ABD 2．（期中，河南）已知离心率为的双曲线经过点. (1)求的方程； (2)已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 所以为定值. 【分析】（1）根据离心率公式和将点代入方程，求解即可； （2）设，，代入方程，再利用斜率公式化简得证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以的方程为； （2）略 题型 10 面积、比值、取值范围与最值综合 【模型】直线与双曲线相交，求三角形面积、面积比值、参数取值范围；结合基本不等式、函数单调性求最值。 【步骤】 ①联立直线双曲线，韦达定理； ②弦长公式、点到直线距离求面积； ③把目标写为关于k的函数； ④求值域、范围；注意直线与双曲线交于左支 / 右支对参数的约束。 1．（期中，安徽）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，点是双曲线右支上一点，平分交轴于点．则下列结论正确的是（　　） A．双曲线的方程为 B．若，则的面积为 C．点的坐标为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】A：根据条件列出的方程组，解之可得双曲线的方程；B：根据双曲线的定义结合勾股定理可求的面积；C：先表示出，再根据角平分线定理可求得的坐标；D：根据选项C中的表示直接求得结果. 【详解】由题意得，联立，解得， 所以双曲线的方程为，故A正确； 在中，联立， 解得， 所以的面积为，故B正确； 由角平分线定理有，设，则，且， 所以， 同理可得，代入角平分线定理：，解得， 所以点的坐标为，故C错误； 若，则，故D正确． 故选：ABD． 2．（期中，安徽）已知双曲线的右焦点为，离心率为，过原点的直线与的左右两支分别交于两点，若，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】依题意，记双曲线的左焦点为，连结，如图， 由双曲线的对称性易得，又， 所以四边形是平行四边形，则， 因为双曲线，所以由双曲线的定义可得，则， 记，则， 又，所以，即，，则， 因为，所以， 在中，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时由于，当且仅当，即时，等号成立， 注意当时，，不满足题意，故， 所以当时，有解， 且由得，满足题意， 所以的最小值为. 故答案为：. . 3．（期中，河南）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解. （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与左支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求出范围. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 则到直线的距离为，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）设，由，消去得， 则，， 由直线与双曲线左支交于两点，得，解得， 所以的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离，设， 由，消去得，则， 则， 于是， 令，则， 所以的取值范围为． 4．（期中，河南）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. (1)求C的方程. (2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 【答案】(1) (2)（i）设l：，点，，. 由可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）15 【分析】（1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案. （2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案. 【详解】（1）由题意知解得 所以C的方程为. （2）（i）略 （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 拔高·压轴破难 题型 11 向量条件转化双曲线几何综合压轴 【模型】题干给出向量垂直、向量倍数关系，翻译成长度坐标条件，结合双曲线定义、余弦定理求离心率、参数。 【步骤】 ①向量条件翻译成线段长度、垂直； ②双曲线定义 + 余弦定理； ③齐次方程求离心率； 1．（期中，河南）已知是双曲线的左､右焦点，是左支上一点，是右支上一点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】采用设点法，根据向量共线比例得，再将其代入双曲线方得到的表示，再根据得，联立得到的另一种表示，从而得到关于的齐次方程，转化为离心率方程，解出即可. 【详解】如图所示，设， 则，． 因为，所以， 因为，在双曲线上，所以， 又因为，所以是以为直径的圆与的交点， 所以．又， 联立得， 所以，整理得， 解得或（，舍去），所以． 故答案为： 题型 12 新定义双曲线 【模型】不是标准，利用双曲线定义识别曲线；对勾函数图像本质双曲线，求渐近线、对称轴。 【步骤】 ①严格按照双曲线定义：到两定点距离差的绝对值等于定值； ②识别渐近线，求对称轴； 1．（期中，福建）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 【答案】AD 【分析】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断 选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支，所以存在点； 选项B：直线与一、三象限的曲线的渐近线不平行，故直线与曲线有交点； 选项C：结合图像，可知直线与曲线有两个交点，显然； 选项D：点到直线距离公式求得：，结合点是曲线上在第三象限内的一点，可求得：. 【详解】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断即可. 当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：（不存在）； 当，时，曲线：. 画出图形如图所示：    对于选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支， 所以存在曲线上的点，使得成立，故选项A正确； 对于选项B：一、三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线有交点，故选项B错误； 对于选项C：设过点的直线：，与曲线有两个交点，显然，故选项C错误； 对于选项D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 即，所以，故选项D正确. 2．（期中，安徽）设点在曲线上，在曲线上，且满足 ， (1)求曲线的方程； (2)利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． (3)人教版必修第一册92页，我们探究过函数的图象与性质．如图，轴和直线是它的渐近线，其图象不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．实质上，它也是圆锥曲线中的双曲线，试求出函数对称轴的方程． 【答案】(1) (2) 设方程上任意一点， 则 = ， 当时，， ， 当时，， ， 根据双曲线得定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线； (3)和 【分析】（1）根据题意将代入曲线即可； （2）根据设，分和两种情况，结合两点间距离公式可得，即可得结果； （3）根据题设定义及双曲线的性质，可得对称轴为直线和，再求出和，即可求解． 【详解】（1）将代入曲线可得， 即； （2）略 （3）函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知， 对称轴为直线和； 又，得，解得， 又，所以，得， 又， 所以对称轴的方程为和． 题型 13 多条件多选压轴综合 【模型】一道多选题融合：渐近线、定义、内切圆、直线相交、离心率、中点弦；举反例、代数计算结合。 【步骤】每个选项独立分析，概念题举正方体、特殊位置反例；计算类简单推演。 1．（期中，河南）已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若则方程C表示椭圆 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 【答案】BC 【分析】根据直线、椭圆、双曲线和抛物线的方程特征和要求列出关于的不等式，求解后逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若方程C表示椭圆，则由可得， 需使，解得且，故A错误； 对于B，当时，由可得， 则，，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 对于CD，由上分析，对于方程， 当时，表示焦点在y轴上的双曲线，当时表示椭圆， 当时，表示一个圆，当时，表示轴，当时，表示y轴， 当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确，D错误. 故选：BC. 2．（期中，河南）已知方程C：，则下列结论正确的是（    ） A．若则方程C表示椭圆 B．若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C．存在m，使方程C表示直线 D．存在m，使方程C表示抛物线 【答案】BC 【分析】根据直线、椭圆、双曲线和抛物线的方程特征和要求列出关于的不等式，求解后逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若方程C表示椭圆，则由可得， 需使，解得且，故A错误； 对于B，当时，由可得， 则，，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 对于CD，由上分析，对于方程， 当时，表示焦点在y轴上的双曲线，当时表示椭圆， 当时，表示一个圆，当时，表示轴，当时，表示y轴， 当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确，D错误. 故选：BC. 3．（期中，河南）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点满足，，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．与的面积的比值为 C．双曲线的渐近线方程为 D．与的内切圆半径之比为 【答案】ABC 【分析】根据向量关系和几何关系得，，然后利用双曲线定义得，，，进而利用勾股定理求得 ，，即可求解离心率和渐近线判断选项AC；利用求解判断B；结合选项B根据求值即可判断D. 【详解】由已知得，因为，，所以垂直平分， 所以，. 设，则，所以，所以， 所以，即. 在直角三角形中，，所以可得，离心率， 所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以A，C均正确. ，B正确. 设与的内切圆半径分别为，， 则 ，假设，可以推出，矛盾， 所以，D错误.    故选：ABC 4．（期中，河南）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（ ） A．C的离心率为2 B． C．的面积为 D．的周长为18 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程可得，由，可得，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设在第一象限，由双曲线可得， 则，由于，得，， 由于，， 所以， 故，可得，故， 而，故， 由，得，所以的离心率； 由以上分析可知，在中，，，， 故， 的周长为． 故选：ABD $