2.4 单摆 同步练-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

高中物理人教版选择性必修第一册 2.4 单摆 同步练 【基础训练：对点层练】 知识点一 单摆的回复力 1．单摆 (1)组成：由细绳和物体组成。 (2)条件： ①悬挂物体的绳子的伸缩和质量可以忽略不计。 ②绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作质点。 (3)若单摆的摆角小于5°，单摆的摆动可近似看成简谐运动。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 针对训练图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细绳处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　) A．摆球受到重力、拉力、回复力四个力的作用 B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零 C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D．摆球在B点处，速度最大，细绳拉力也最大 知识点二 单摆的周期 1．在摆角很小的情况下，单摆的周期与小球质量和摆角无关，与单摆摆长有关。单摆的周期大小与摆长的二次方根成正比，即T∝。 2．周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T跟摆长L的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 3．弹簧振子的周期公式 公式：T＝2π。 针对训练 如图所示，长度为L的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h<L。A、B、P、O在同一竖直平面内。小球第一次从A点到B点所用时间为t1，小球第一次从B点到C点所用时间为t2，已知t1＝2t2，OA、PC与OB之间的夹角很小。则OP的长度为(　　) A.L B.L C.L D.L 【能力提升：同步检测】 考试时间： 75分钟 试卷分值：100分 姓名： 班级： 考号： 成绩： 一、单项选择题（共计8题，每小题4分，共计32分） 1.关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是(　　) A．经过平衡位置时所受的回复力不为零 B．经过平衡位置时所受的合力为零 C．回复力是重力和摆线拉力的合力 D．回复力是重力沿圆弧切线方向的分力 2.一摆钟由甲地移到乙地后，发现走时变快了，其变快的原因及调整的方法是(　　) A.g甲>g乙，将摆长缩短 B.g甲>g乙，将摆长放长 C.g甲<g乙，将摆长缩短 D.g甲<g乙，将摆长放长 3.如图所示为一直径为1 cm、质量分布均匀的小球在一不可伸长的细线的拴接下做简谐运动过程中的x－t图像，当地的重力加速度g＝π2 m/s2，则拴接小球细线的长度为(　　) A．24 cm B．24.5 cm C．28 cm D．36cm 4.如图所示，几个摆长相同的单摆，在不同条件下的周期分别为、、、，则下列关于周期大小关系的判断正确的是（ ）。 A. B. C. D. 5.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　) A．周期不变，振幅不变 B．周期改变，振幅变大 C．周期改变，振幅不变 D．周期不变，振幅变小 6.如图所示，为一小球做简谐运动的示意图，其中O点为平衡位置，A、B为最大位移处，M、N点为关于O点对称的两点。下列说法正确的是(　　) A.小球在O点时所受合外力为0 B.小球在O点所受的合外力就是回复力 C.小球在A、B点受重力和回复力 D.小球在M点、N点的回复力大小相等 7.如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。不计空气阻力，则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是(　　) A乙先到，然后甲到，丙最后到 B．丙先到，然后甲、乙同时到 C．甲、乙、丙同时到 D．丙先到，然后乙到，甲最后到 8.如图1所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图2所示。不计空气阻力，取。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ）。 A. 单摆的位移随时间变化的关系式为 B. 单摆的摆长约为 C. 从到的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大 D. 从到的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大 二、多项选择题（共计4题，每小题5分，选对但不全得3分，错选不得分，共计20分） 9.图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图象如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法正确的是(　　) 图1 A.t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T<4 s B.t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＝4 s C.t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＞4 s D.t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A＝10 cm 10.惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦力做功所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是(　　) A.当摆钟不准时需要上下调整圆盘的位置 B.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移 C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 11.如图1所示，挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小幅度地摆动，即可用来拆卸混凝土建筑。大铁球可视为单摆模型，它对应的振动图像如图2所示，重力加速度取，则下列说法正确的是（ ）。 A. 单摆振动的周期是 B. 时，摆球的速度最大 C. 摆球的质量增大，周期变小 D. 该单摆的摆长约为 12.将一单摆向左拉至水平标志线上，由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是(　　) A．这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒 B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3∶2 C．摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径减小，摆线张力变大 D．摆球经过最低点时，角速度变大，做圆周运动的半径减小，摆线张力不变 三、填空题（共计1题，第13题9分，共计9分） 13.如图甲所示，一小球在半径很大的光滑圆弧曲面AOB之间做简谐运动，取向右偏离平衡位置的位移方向为正方向，小球在曲面A、B间运动的x－t图像如图乙所示。取g＝π2 m/s2求： (1)小球振动的周期为 s，频率f Hz； (2)圆弧曲面的半径R m。 四、解答题（共计3题，第14题10分，第15题14分，第16题15分，共计39分） 14.一个摆长为2 m的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成50次全振动所用的时间为142 s。 (1)求当地的重力加速度g； (2)若把该单摆拿到月球上去，已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2，则该单摆振动周期是多少？(结果均保留两位小数) 15.一个在地球表面上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，现将此单摆移至某一行星表面上，其简谐运动图像如图乙所示。取π2＝10，地球表面重力加速度g1取10 m/s2，求： (1)此单摆的摆长； (2)在地球上将摆长缩短到原摆长的，则此单摆的频率是多少？ (3)该行星表面重力加速度g2。 16.如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝ m/s，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求： (1)单摆的摆长l；(2)摆球的质量m；(3)摆线拉力的最小值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修第一册 2.4 单摆 同步练 （解析版） 【基础训练：对点层练】 知识点一 单摆的回复力 1．单摆 (1)组成：由细绳和物体组成。 (2)条件： ①悬挂物体的绳子的伸缩和质量可以忽略不计。 ②绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作质点。 (3)若单摆的摆角小于5°，单摆的摆动可近似看成简谐运动。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 针对训练图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细绳处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　) A．摆球受到重力、拉力、回复力四个力的作用 B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零 C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D．摆球在B点处，速度最大，细绳拉力也最大 答案　D 解析　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细绳的拉力最大，D正确，B、C错误。 知识点二 单摆的周期 1．在摆角很小的情况下，单摆的周期与小球质量和摆角无关，与单摆摆长有关。单摆的周期大小与摆长的二次方根成正比，即T∝。 2．周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T跟摆长L的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 3．弹簧振子的周期公式 公式：T＝2π。 针对训练 如图所示，长度为L的轻绳上端固定在O点，下端系一小球(小球可以看成质点)。在O点正下方的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C(图中未标出)是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，h<L。A、B、P、O在同一竖直平面内。小球第一次从A点到B点所用时间为t1，小球第一次从B点到C点所用时间为t2，已知t1＝2t2，OA、PC与OB之间的夹角很小。则OP的长度为(　　) A.L B.L C.L D.L 答案　B 解析　由于OA、PC与OB之间的夹角很小，所以小球从A点到B点和从B点到C点的运动都可以看作是单摆运动，根据单摆周期公式T＝2π有t1＝×2π，t2＝×2π，t1＝2t2，所以PB＝L，OP＝L－PB＝L，选项A、C、D错误，B正确。 【能力提升：同步检测】 考试时间： 75分钟 试卷分值：100分 姓名： 班级： 考号： 成绩： 一、单项选择题（共计8题，每小题4分，共计32分） 1.关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是(　　) A．经过平衡位置时所受的回复力不为零 B．经过平衡位置时所受的合力为零 C．回复力是重力和摆线拉力的合力 D．回复力是重力沿圆弧切线方向的分力 答案　D 解析　经过平衡位置时回复力为零，但是合力不为零，合力指向圆心提供向心力，故A、B错误；单摆做简谐运动时回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故C错误，D正确。 2.一摆钟由甲地移到乙地后，发现走时变快了，其变快的原因及调整的方法是(　　) A.g甲>g乙，将摆长缩短 B.g甲>g乙，将摆长放长 C.g甲<g乙，将摆长缩短 D.g甲<g乙，将摆长放长 答案　D 解析　根据单摆的周期公式T＝2π，知摆钟变快，则周期变小，说明乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度，即g乙>g甲，为了增大周期，可以增大摆长，D正确。 3.如图所示为一直径为1 cm、质量分布均匀的小球在一不可伸长的细线的拴接下做简谐运动过程中的x－t图像，当地的重力加速度g＝π2 m/s2，则拴接小球细线的长度为(　　) A．24 cm B．24.5 cm C．28 cm D．36cm 答案　B 解析　依题图可知，小球振动的周期为1 s，单摆周期T＝2π，可得单摆的摆长L＝＝0.25 m，又小球直径为1 cm，则拴接小球细线的长度为L′＝L－＝24.5 cm，故A、C、D错误，B正确。 4.如图所示，几个摆长相同的单摆，在不同条件下的周期分别为、、、，则下列关于周期大小关系的判断正确的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据周期公式，可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。几个单摆的摆长相同，题图1中沿斜面向下的等效重力加速度 ，所以周期；题图2中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度，所以周期；题图3中的周期；题图4中的等效重力加速度，所以周期，故，A、B、三项错误，项正确。 5.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　) A．周期不变，振幅不变 B．周期改变，振幅变大 C．周期改变，振幅不变 D．周期不变，振幅变小 答案　D 解析　由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆摆长不变，则周期不变；摆球经过平衡位置的速度减为原来的，由于振动过程中机械能守恒，则有mgh＝mv2，即2gh＝v2，据此式可知，速度变小，高度减小，所以偏离平衡位置的最大距离变小，即振幅变小。故选D。 6.如图所示，为一小球做简谐运动的示意图，其中O点为平衡位置，A、B为最大位移处，M、N点为关于O点对称的两点。下列说法正确的是(　　) A.小球在O点时所受合外力为0 B.小球在O点所受的合外力就是回复力 C.小球在A、B点受重力和回复力 D.小球在M点、N点的回复力大小相等 答案　D 解析　小球在A、B点受到重力和绳子拉力，故C错误；球在O点的合外力不为0，合外力提供向心力，不是回复力，故B错误，A错误；M、N点关于O点对称，根据运动的对称性可知，小球在M点、N点的回复力大小相等，故D正确。 7.如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。不计空气阻力，则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是(　　) A乙先到，然后甲到，丙最后到 B．丙先到，然后甲、乙同时到 C．甲、乙、丙同时到 D．丙先到，然后乙到，甲最后到 答案　B 解析　对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝gt32，解得t3＝，对于甲、乙两球，做简谐运动，其运动周期均为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时运动周期，则t1＝t2＝＝>t3，故丙先到，然后甲、乙同时到，故选B。 8.如图1所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图2所示。不计空气阻力，取。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ）。 A. 单摆的位移随时间变化的关系式为 B. 单摆的摆长约为 C. 从到的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大 D. 从到的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大 【答案】D 【解析】由题图2可知，振幅，单摆周期，则圆频率，可得单摆的位移 随时间 变化的关系式为，项错误；由单摆的周期公式 解得单摆的摆长约为，项错误；由题图2可知，从 到 的过程中，摆球从最大位移处向平衡位置运动，所以加速度在减小，回复力在减小，摆球的速度在增大，设绳子与竖直方向的夹角为 ，则绳子的拉力，此时 减小，增大，所以拉力逐渐增大，项错误，项正确。 二、多项选择题（共计4题，每小题5分，选对但不全得3分，错选不得分，共计20分） 9.图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图象如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法正确的是(　　) 图1 A.t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T<4 s B.t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＝4 s C.t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＞4 s D.t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A＝10 cm 解析　因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用且摆长不变，则摆球仍在原范围内振动，振幅不变，周期不变，所以选项B、D正确。 答案　BD 10.惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦力做功所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是(　　) A.当摆钟不准时需要上下调整圆盘的位置 B.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移 C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 答案　AC 解析　上下调整圆盘的位置可改变摆长，从而达到调整周期的目的，A正确；若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长，即沿摆杆下移圆盘，D错误；由冬季变为夏季，摆杆变长，应使圆盘沿摆杆上移，C正确；从广州到北京，g值变大，周期变小，应增加摆长，即应使圆盘沿摆杆下移，B错误。 11.如图1所示，挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小幅度地摆动，即可用来拆卸混凝土建筑。大铁球可视为单摆模型，它对应的振动图像如图2所示，重力加速度取，则下列说法正确的是（ ）。 A. 单摆振动的周期是 B. 时，摆球的速度最大 C. 摆球的质量增大，周期变小 D. 该单摆的摆长约为 【答案】BD 【解析】由图像知，单摆的周期为，项错误；时，摆球位于平衡位置，速度最大，项正确；根据单摆周期公式 可知，周期与质量无关，项错误；由，得摆长，项正确。 12.将一单摆向左拉至水平标志线上，由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆球继续向右摆动。用频闪照相机拍到如图所示的单摆运动过程的频闪照片，以下说法正确的是(　　) A．这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转化过程中机械能守恒 B．摆线碰到障碍物前后的摆长之比为3∶2 C．摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径减小，摆线张力变大 D．摆球经过最低点时，角速度变大，做圆周运动的半径减小，摆线张力不变 答案　AC 解析　摆线即使碰到障碍物，摆线的拉力不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原来的高度，机械能守恒，故A正确；频闪照片拍摄的时间间隔一定，由题图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为3∶2，根据单摆的周期公式T＝2π得，摆长之比为9∶4，故B错误；摆球经过最低点时，线速度不变，做圆周运动的半径变小，根据F－mg＝m知，摆线张力变大，根据v＝ωr，知角速度变大，故C正确，D错误。 三、填空题（共计1题，第13题9分，共计9分） 13.如图甲所示，一小球在半径很大的光滑圆弧曲面AOB之间做简谐运动，取向右偏离平衡位置的位移方向为正方向，小球在曲面A、B间运动的x－t图像如图乙所示。取g＝π2 m/s2求： (1)小球振动的周期为 s，频率f Hz； (2)圆弧曲面的半径R m。 答案　(1)1.25 Hz　(2)0.16 m 解析　(1)由图乙可知，振动周期为T＝0.8 s 故小球振动的频率f＝＝1.25 Hz。 (2)一小球在半径很大的光滑圆弧曲面AOB之间做简谐运动，可看成简谐运动，由单摆周期公式T＝2π，可得R＝＝0.16 m。 四、解答题（共计3题，第14题10分，第15题14分，第16题15分，共计39分） 14.一个摆长为2 m的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成50次全振动所用的时间为142 s。 (1)求当地的重力加速度g； (2)若把该单摆拿到月球上去，已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2，则该单摆振动周期是多少？(结果均保留两位小数) 答案　(1)9.78 m/s2　(2)7.02 s 解析　(1)完成50次全振动所用的时间为142 s，则周期：T＝＝ s＝2.84 s 根据公式T＝2π得： g＝＝ m/s2≈9.78 m/s2； (2)把该单摆拿到月球上去，已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2，则该单摆振动周期： T′＝2π＝2×3.14× s≈7.02 s。 15.一个在地球表面上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，现将此单摆移至某一行星表面上，其简谐运动图像如图乙所示。取π2＝10，地球表面重力加速度g1取10 m/s2，求： (1)此单摆的摆长； (2)在地球上将摆长缩短到原摆长的，则此单摆的频率是多少？ (3)该行星表面重力加速度g2。 答案　(1)1 m　(2)1 Hz　(3)2.5 m/s2 解析　(1)由题图甲知，单摆在地球表面上的振动周期T1＝2 s，根据T1＝2π，有L＝，π2＝10，g1取10 m/s2，代入数据解得L＝1 m (2)当摆长缩短为时，周期T1′＝2π＝T1＝1 s，此单摆的频率是f1′＝＝1 Hz。 (3)由题图乙知，单摆在该行星表面上的振动周期T2＝4 s，而T2＝2π，得＝()2＝，则g2＝＝2.5 m/s2，所以该行星表面的重力加速度g2＝2.5 m/s2。 16.如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝ m/s，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求： (1)单摆的摆长l； (2)摆球的质量m； (3)摆线拉力的最小值。 答案　(1)1 m　(2)0.1 kg　(3)0.99 N 解析　(1)由乙图可知单摆周期为T＝2 s 根据单摆周期公式T＝2π，解得l＝1 m。 (2)当拉力最大时，即F＝1.02 N 摆球处在最低点，由牛顿第二定律得F－mg＝m 解得m＝0.1 kg。 (3)从最低点到最高点，由动能定理得 －mgl(1－cos θ)＝0－mv2 解得cos θ＝0.99 在最高点摆线的拉力最小，最小值为 F′＝mgcos θ＝0.99 N。 1 学科网（北京）股份有限公司 $