4.2 指数函数分层同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·分层作业系列 4.2 指数函数（分层同步练，3层25题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 12题 约40分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约60分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 5题 约60分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共12题，建议用时约40分钟 一、单选题（共7小题） 1．（单选题） （25-26高一上·江苏·期中） 设：关于x的不等式对一切恒成立，q：指数函数，（且）在R上单调递减，那么p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】对，根据判别式求解的取值范围；对，根据指数函数的单调性求解的取值范围，再根据充分与必要条件的性质判断即可. 【详解】对， 对一切恒成立则，解得. 对，在R上单调递减则，解得. 因为是的真子集，故p是q的必要不充分条件. 故选：C 2．（单选题） （20-21高一上·上海静安·期中） 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据一次函数的横截距和纵截距的大小，结合幂函数的图象的增减性可得选项. 【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项； 对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确； 故选：C. 3．（单选题） （23-24高一上·广东深圳·期末） 指数函数的图象如图所示，其中，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和两点与函数图象的位置关系可得的范围，计算抛物线的对称轴即得. 【详解】由图知指数函数是减函数，则， 又点在图象的下方，故 综上可得：，由可知抛物线的对称轴为：直线， 故得二次函数的顶点的横坐标的取值范围是. 故选：B. 4．（单选题） （21-22高一上·湖南长沙·期中） 在同一坐标系中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和两种情况，分别利用指数函数与二次函数的图像和性质进行分析判断即可. 【详解】当时，指数函数是单调递增函数，且图像恒过定点， 此时，则二次函数的图像开口向下，顶点坐标为， 故选项A错误，选项B正确； 当时，指数函数是单调递减函数，且图像恒过定点， 此时，则二次函数的图像开口向上，顶点坐标为， 故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 5．（单选题） （20-21高一上·江西南昌·期中） 已知指数函数，则函数的图像必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数性质知恒过定点，利用函数图像的平移变换即可得解. 【详解】利用指数函数性质知恒过定点，由函数图像的平移变换知， 指数函数向右平移4个单位得到函数，故函数恒过定点， 再向上平移2个单位得到函数，故函数恒过定点 故选：D 6．（单选题） （19-20高一上·江西抚州·期中） 若指数函数在上递减，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质得到关于的不等式，解出即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查指数函数单调性，是一道基础题． 7．（单选题） （24-25高一上·全国·课后作业） 若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 二、多选题（共1小题） 8．（多选题） （26-27高一上·黑龙江大庆·期末） 指数函数：一般地，函数_____________（，且）叫做指数函数. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义填空即可. 【详解】根据指数函数的定义：一般地，函数（，且）叫做指数函数 三、解答题（共4小题） 9．（解答题） （21-22高一上·重庆璧山·阶段检测） 已知指数函数经过点. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案. （2）结合指数函数以及二次函数的知识求得正确答案. 【详解】（1）依题意（负根舍去）， ， 在上递增，在区间上递减，在区间上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是. （2）， . 10．（解答题） （24-25高一上·江西上饶·阶段检测） 已知指数函数的图象经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）设且，代入点解得，进而解方程即可； （2）根据指数函数的单调性转化不等式，再解不等式即可. 【详解】（1）设 且，代入点，可得， 解得，即，则，所以. （2）因为指数函数在上单调递增， 由不等式可得，解得， 所以的取值范围为. 11．（解答题） （24-25高一上·重庆黔江·期末） 一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可； （2），设，再利用二次函数性质即可求出其值域. 【详解】（1）由题意有，解得或， 当时，，此时，舍去； 当时，，满足． （2）由题得，令，因为，则， ，， ，所以的值域为． 12．（解答题） （19-20高一上·四川眉山·期中） 函数是指数函数，求的值． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义直接求解即可. 【详解】由是指数函数， 可得，解得． B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约60分钟 一、多选题（共1小题） 13．（多选题） （25-26高一上·陕西榆林·阶段检测） 下列说法正确的是（   ） A．“是增函数”的充要条件是“” B．“”的充分不必要条件是“” C．命题“指数函数过定点”是真命题 D．命题“方程恰有一个解”的否定是“方程无解或不止一个解” 【答案】ACD 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及命题真假的判断和命题的否定，对每个选项进行分析即可. 【详解】对于一次函数，当时，函数是增函数；反过来，若函数是增函数，一定有，“是增函数”的充要条件是“”，A正确； 当时，，是的充分条件；同时若，则，也是必要条件，因此这是充要条件，B错误； 指数函数，当时，，过定点，这个命题是真命题，C正确； 恰有一个解的否定为无解或不止一个解，方程恰有一个解”的否定是“方程无解或不止一个解，D正确. 故选：ACD. 二、解答题（共7小题） 14．（解答题） （22-23高一上·山东枣庄·期末） 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式并判断函数的单调性（无需证明）； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递增； (2) 【分析】（1）先利用奇函数定义求得x＜0时的解析式，进而得到的解析式并判断该函数的单调性； （2）构造新函数，利用的单调性将题给不等式转化为对任意的恒成立，进而求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，且当时，， 设x＜0，则－x＞0，则． 故，函数在定义域R上单调递增． （2）因为函数在定义域R上的单调递增． 原不等式恒成立等价于 对任意的恒成立． 即 对任意的恒成立． 构造函数，则也是R上的增函数 . 故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． ①当时，为开口向下的二次函数， 不恒成立； ②当时，不恒成立； ③当a＞0时，由对任意的恒成立， 可得，解得1＜a＜9． 综上，实数a的取值范围是． 15．（解答题） （20-21高一上·四川自贡·阶段检测） 已知函数是奇函数． （1）求的值；并用函数的单调性的定义证明：函数在上是增函数； （2）设函数的定义域为A，存在使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1），证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据题中条件，得到函数奇偶性，求出，再检验，即可得出，利用定义法，即可判断函数单调性； （2）先由函数解析式，求出，由题中条件，得到，求出最值，即可得出结果. 【详解】（1）因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，即， 解得； 所以， 则， 是奇函数； 所以，， 任取且，则，， 则， 因为，所以， 所以，即函数在R上是增函数． （2）由得，解得，即； 存在使得不等式成立，所以, 令，， 设，则， 因为在上为增函数， 所以 所以. 【点睛】方法点睛： 判断函数单调性的方法有： （1）定义法，根据增函数与减函数的定义，结合函数解析式，作差比较，即可判断出单调性； （2）导数法：对函数求导，判断导函数的正负，即可判断出函数单调性. 16．（解答题） （25-26高一下·贵州毕节·期中） 已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数 的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 17．（解答题） （23-24高一上·辽宁·阶段检测） 已知函数为指数函数，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）根据函数为指数函数得到，根据为奇函数得到，得到，得到的解析式； （2）求出，换元后得到，可得在时恒成立，由基本不等式求出最小值，得到. 【详解】（1）因为为指数函数， 所以，解得（舍去）或， 所以， 所以， 因为为奇函数，所以，即， 得到，解得，可得， 且，为奇函数， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 不等式恒成立，即恒成立， 令，则， 由，可得在时恒成立， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的最大值为8. 18．（解答题） （22-23高一上·山东青岛·期中） 已知指数函数，且的图象过点，. (1)若，求的取值范围； (2)判断在上的单调性； (3)设，试比较的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来. 【答案】(1)； (2)函数在上为增函数； (3). 【分析】（1）由题可得，然后根据二次不等式的解法及指数函数的单调性即得； （2）利用函数单调性的定义结合指数函数的性质即得； （3）根据指数函数及幂函数的单调性可得，然后利用函数的单调性即得. 【详解】（1）过点， ∴，解得， ∴， 于是可化为：， 令，则， ∴，即， 所以； （2）由题可知， ，且，则 ， ， ∴，从而， ，且， ∴，从而， ， ， ，即， 在上为增函数； （3）， ， 在上为增函数， . 19．（解答题） （23-24高一下·云南曲靖·阶段检测） 已知函数是R上的奇函数. (1)求m的值； (2)比较与0的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质列式求解； （2）先判断函数的单调性，利用单调性与奇偶性即可解题. 【详解】（1）因为是上的奇函数， 所以，得， 时，， 满足为奇函数，所以. （2）设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数， 所以函数在上为增函数． ， 即，即， 因为是上的奇函数，则， 即． 20．（解答题） （24-25高一上·贵州·阶段检测） 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. (1)确定函数的解析式； (2)求，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】(1)利用待定系数法求解可得； (2)根据奇函数性质和定义列方程求出 ，然后验证即可； (3)利用单调性和奇偶性去掉函数符号，由判别式小于0求解可得. 【详解】（1）设（且），则， ∴，∴. （2）由（1）知：， 因为在上是奇函数，所以，即， ∴， 又， ∴. 当时，的定义域为， 且，满足题意， 所以，. （3）由（2）知， 因为在上为增函数，且， 易知在上为减函数， 又因是奇函数，从而不等式： 等价于 因为减函数，由上式得：， 即对一切，有， 从而判别式， 实数的取值范围为. C 拓展创新（学有余力选做） 本层共5题，建议用时约60分钟 一、解答题（共5小题） 21．（解答题） （18-19高一上·上海闵行·阶段检测） 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求函数的解析式，并判断函数的单调性（无需证明）； （2）若对任意的，恒成立求实数的取值范围． 【答案】（1），减函数；（2）. 【分析】（1）由已知得，（1），由此能求出，，可得函数的解析式；由由为增函数，则为减函数，从而得到函数的单调性； （2）根据函数的单调性，结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围 【详解】（1） 是奇函数，，解得． 又由得：，解得， ． ，由为增函数，则为减函数， 在上为减函数； （2）是奇函数， 不等式等价于， 函数在上为减函数，由上式推得， 即对一切有， 从而判别式，解得． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，同时考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略． 22．（解答题） （24-25高一上·河南焦作·期末） 为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 (1)运用上述函数模型，求当时的值； (2)若当时，恒成立，求的最小值． 【答案】(1)480 (2) 【分析】（1）根据题意将表格中的数据代入函数模型，建立方程组，解得函数中的参数，可得答案； （2）利用分离参数整理不等式，再利用换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）将表格数据代入，得，解得 故该函数模型的表达式为， 把代入，得． （2）由题意得当时，恒成立，即， 故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式化为，整理得， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故只需当时，成立即可，把代入得， 解得，故的最小值为． 23．（解答题） （22-23高一上·重庆沙坪坝·期末） 已知指数函数的图象过点 (1)设函数，求的定义域和值域； (2)已知二次函数的图象经过点，，求函数的单调递增区间. 【答案】(1)定义域为,值域为. (2). 【分析】(1)根据定义域的定义解指数不等式求解定义域，再根据指数型复合函数的单调性和最值求值域；(2)根据指数型复合函数的单调性求解. 【详解】（1）由题可得，解得或（舍）， 所以，， 由解得，所以定义域为， 因为，所以，所以， 所以的值域为. （2）设，因为函数的图象经过点， 所以，所以， 又因为， 所以， 即， 所以，所以，所以， 所以， 在单调递增，单调递减， 因为指数函数单调递减， 所以在单调递减，单调递增， 所以的单调递增区间为. 24．（解答题） （23-24高一上·江苏无锡·阶段检测） 已知指数函数（且）的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)求实数，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义即可得到，借助奇函数的定义计算出、即可； （2）结合函数的单调性与奇偶性即可得到. 【详解】（1）设且，图象过点 所以，解得， 所以，， 因为是上奇函数，所以 ，解得， 再由可得，解得， 当，时，， 且，符合是奇函数， 所以，. （2）因为， 且是增函数，所以是减函数， 因为是奇函数，且， 所以， 所以恒成立，即， 又，当且仅当时，等号成立， 所以. 25．（解答题） （24-25高一上·辽宁大连·阶段检测） 已知奇函数的定义域为，其中为指数函数，且过定点． (1)求函数与的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）设出指数函数解析式，根据过的点坐标可求其解析式，再由的奇偶性可得的值，求得解析式； （2）判断出函数的单调性，解不等式将问题转化为恒成立，分离参数结合二次函数性质可得答案. 【详解】（1）设，又过定点，可得， 解得或（舍）， 所以； 又为奇函数，所以， 整理可得，可得； 即. （2）易知，由于在上单调递增， 所以在上单调递减， 要使任意的，不等式恒成立， 即恒成立即可， 又为奇函数，所以恒成立， 结合在上单调递减可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以即可； 当时，取得最小值1，所以； 所以实数k的取值范围为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·分层作业系列 4.2 指数函数（分层同步练，3层25题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 12题 约40分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约60分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 5题 约60分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共12题，建议用时约40分钟 一、单选题（共7小题） 1．（单选题） （25-26高一上·江苏·期中） 设：关于x的不等式对一切恒成立，q：指数函数，（且）在R上单调递减，那么p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（单选题） （20-21高一上·上海静安·期中） 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（    ） A． B． C． D． 3．（单选题） （23-24高一上·广东深圳·期末） 指数函数的图象如图所示，其中，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（单选题） （21-22高一上·湖南长沙·期中） 在同一坐标系中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（单选题） （20-21高一上·江西南昌·期中） 已知指数函数，则函数的图像必过点（    ） A． B． C． D． 6．（单选题） （19-20高一上·江西抚州·期中） 若指数函数在上递减，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7．（单选题） （24-25高一上·全国·课后作业） 若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共1小题） 8．（多选题） （26-27高一上·黑龙江大庆·期末） 指数函数：一般地，函数_____________（，且）叫做指数函数. 三、解答题（共4小题） 9．（解答题） （21-22高一上·重庆璧山·阶段检测） 已知指数函数经过点. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域. 10．（解答题） （24-25高一上·江西上饶·阶段检测） 已知指数函数的图象经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 11．（解答题） （24-25高一上·重庆黔江·期末） 一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且. (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求在上的值域. 12．（解答题） （19-20高一上·四川眉山·期中） 函数是指数函数，求的值． B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约60分钟 一、多选题（共1小题） 13．（多选题） （25-26高一上·陕西榆林·阶段检测） 下列说法正确的是（   ） A．“是增函数”的充要条件是“” B．“”的充分不必要条件是“” C．命题“指数函数过定点”是真命题 D．命题“方程恰有一个解”的否定是“方程无解或不止一个解” 二、解答题（共7小题） 14．（解答题） （22-23高一上·山东枣庄·期末） 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式并判断函数的单调性（无需证明）； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 15．（解答题） （20-21高一上·四川自贡·阶段检测） 已知函数是奇函数． （1）求的值；并用函数的单调性的定义证明：函数在上是增函数； （2）设函数的定义域为A，存在使得不等式成立，求的取值范围． 16．（解答题） （25-26高一下·贵州毕节·期中） 已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 17．（解答题） （23-24高一上·辽宁·阶段检测） 已知函数为指数函数，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值. 18．（解答题） （22-23高一上·山东青岛·期中） 已知指数函数，且的图象过点，. (1)若，求的取值范围； (2)判断在上的单调性； (3)设，试比较的大小，并将它们按从小到大的顺序排起来. 19．（解答题） （23-24高一下·云南曲靖·阶段检测） 已知函数是R上的奇函数. (1)求m的值； (2)比较与0的大小，并说明理由. 20．（解答题） （24-25高一上·贵州·阶段检测） 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数. (1)确定函数的解析式； (2)求，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. C 拓展创新（学有余力选做） 本层共5题，建议用时约60分钟 一、解答题（共5小题） 21．（解答题） （18-19高一上·上海闵行·阶段检测） 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求函数的解析式，并判断函数的单调性（无需证明）； （2）若对任意的，恒成立求实数的取值范围． 22．（解答题） （24-25高一上·河南焦作·期末） 为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 (1)运用上述函数模型，求当时的值； (2)若当时，恒成立，求的最小值． 23．（解答题） （22-23高一上·重庆沙坪坝·期末） 已知指数函数的图象过点 (1)设函数，求的定义域和值域； (2)已知二次函数的图象经过点，，求函数的单调递增区间. 24．（解答题） （23-24高一上·江苏无锡·阶段检测） 已知指数函数（且）的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)求实数，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 25．（解答题） （24-25高一上·辽宁大连·阶段检测） 已知奇函数的定义域为，其中为指数函数，且过定点． (1)求函数与的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $