4.2 指数函数 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第12节 指数函数（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题 1. 下列函数中是指数函数的是（ ） A. y = B. y = C. y = 2x D. y = 【答案】 B 【解析】 指数函数形如 y = （a > 0 且 a ≠ 1）。A 是幂函数；B 是指数函数；C 是一次函数；D 是幂函数。 2. 函数 f(x) = 的定义域和值域分别是（ ） A. R，(0, +∞) B. R，[0, +∞) C. [0, +∞)，R D. (0, +∞)，R 【答案】 A 【解析】 指数函数 y = （a > 0 且 a ≠ 1）的定义域为 R，值域为 (0, +∞)。 3. 函数 y = （a > 0 且 a ≠ 1）的图象必过点（ ） A. (0, 0) B. (0, 1) C. (1, 0) D. (1, 1) 【答案】 B 【解析】 当 x = 0 时，y = = 1，故图象必过点 (0, 1)。 4. 下列函数中，在 R 上为减函数的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 【答案】 C 【解析】 当底数 a > 1 时，指数函数在 R 上递增；当 0 < a < 1 时递减。C 中底数 ∈ (0,1)，为减函数。 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. c < a < b C. c < b < a D. b < a < c 【答案】 B 【解析】 y = 在 R 上递增，0.3 < 0.5，故 a < b。c = = < = 1，而 a = > = 1，故 c < a。综上 c < a < b。 6. 函数 f(x) = + 2（a > 0 且 a ≠ 1）的图象过定点（ ） A. (1, 3) B. (0, 3) C. (1, 2) D. (0, 2) 【答案】 A 【解析】 令 x − 1 = 0，即 x = 1，此时 f(1) = + 2 = 1 + 2 = 3。故图象过定点 (1, 3)。 7. 函数 y = − 1 的图象是由 y = 的图象（ ） A. 向上平移 1 个单位得到 B. 向下平移 1 个单位得到 C. 向左平移 1 个单位得到 D. 向右平移 1 个单位得到 【答案】 B 【解析】 函数图象上下平移遵循“上加下减”原则。y = − 1 是由 y = 向下平移 1 个单位得到。 8. 不等式 < 1 的解集为（ ） A. (−2, 3) B. (−3, 2) C. (−∞, −2) ∪ (3, +∞) D. (−∞, −3) ∪ (2, +∞) 【答案】 A 【解析】 < 1 = 。因 y = 递增，故 − x − 6 < 0，即 (x − 3)(x + 2) < 0，解得 −2 < x < 3。 二、多项选择题 9. 关于指数函数 y = （a > 0 且 a ≠ 1），下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 R B. 值域为 (0, +∞) C. 图象过点 (0, 1) D. 图象与 x 轴有交点 【答案】 ABC 【解析】 指数函数定义域 R，值域 (0,+∞)，图象过 (0,1)；因 y > 0 恒成立，图象与 x 轴无交点。 10. 设 > （a > 0 且 a ≠ 1），则下列说法正确的是（ ） A. a > 1 B. 0 < a < 1 C. y = 在 R 上递增 D. y = 在 R 上递减 【答案】 AC 【解析】 > ，而 > ，说明指数函数递增，故 a > 1。 11. 函数 f(x) = 的单调递增区间和值域分别为（ ） A. 递增区间为 (−∞, 1] B. 递增区间为 [1, +∞) C. 值域为 (0, 2] D. 值域为 [2, +∞) 【答案】 AC 【解析】 令 u = − 2x = − 1，则 f(x) = 。 u 在 (−∞,1] 上递减，在 [1,+∞) 上递增；而 y = 递减。 复合函数“同增异减”：f(x) 的递增区间即 u 的递减区间 (−∞,1]。 u ≥ −1，故 ≤ = 2，又 > 0，值域为 (0, 2]。 三、填空题 12. 函数 f(x) = ，则 f(−1) + f(0) + f(1) =________。 【答案】 【解析】 f(−1) = ，f(0) = 1，f(1) = 2，和为 + 1 + 2 = 。 13. 若指数函数 f(x) = 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是________。 【答案】 (1, 2) 【解析】 由题意 0 < a − 1 < 1，解得 1 < a < 2。 14. 不等式 > 的解集为________。 【答案】 (−∞, 2) 【解析】 y = 在 R 上递减，故 > 等价于 x < 2。 四、解答题 15. 比较下列各组数的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 （a > 0 且 a ≠ 1）。 【答案】 （1） > ；（2） < ；（3）a > 1 时 < ，0 < a < 1 时 > 【解析】 （1）底数 2.5 > 1，指数函数递增，因 2.3 > 2.2，故 > 。 （2）底数 0.8 ∈ (0,1)，指数函数递减，因 −0.1 > −0.2，故 < 。 （3）分两种情况：a > 1 时递增， < ；0 < a < 1 时递减， > 。 16. 已知函数 f(x) = 。 （1）求 f(x) 的定义域和值域； （2）求 f(x) 的单调递增区间。 【答案】 （1）定义域 R，值域 (0, ]；（2）递增区间为 (−∞, 1] 【解析】 （1）令 u = − 2x + 2 = + 1 ≥ 1，故定义域为 R。因 f(x) = 在 u ≥ 1 时递减，最大值为 = ，又 > 0，故值域为 (0, ]。 （2）u = + 1 在 (−∞,1] 上递减，在 [1,+∞) 上递增；而 y = 递减。由“同增异减”，f(x) 的递增区间为 u 的递减区间 (−∞, 1]。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第12节 指数函数 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列函数中是指数函数的是（ ） A. y = B. y = C. y = 2x D. y = 2. 函数 f(x) = 的定义域和值域分别是（ ） A. R，(0, +∞) B. R，[0, +∞) C. [0, +∞)，R D. (0, +∞)，R 3. 函数 y = （a > 0 且 a ≠ 1）的图象必过点（ ） A. (0, 0) B. (0, 1) C. (1, 0) D. (1, 1) 4. 下列函数中，在 R 上为减函数的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. c < a < b C. c < b < a D. b < a < c 6. 函数 f(x) = + 2（a > 0 且 a ≠ 1）的图象过定点（ ） A. (1, 3) B. (0, 3) C. (1, 2) D. (0, 2) 7. 函数 y = − 1 的图象是由 y = 的图象（ ） A. 向上平移 1 个单位得到 B. 向下平移 1 个单位得到 C. 向左平移 1 个单位得到 D. 向右平移 1 个单位得到 8. 不等式 < 1 的解集为（ ） A. (−2, 3) B. (−3, 2) C. (−∞, −2) ∪ (3, +∞) D. (−∞, −3) ∪ (2, +∞) 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 关于指数函数 y = （a > 0 且 a ≠ 1），下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 R B. 值域为 (0, +∞) C. 图象过点 (0, 1) D. 图象与 x 轴有交点 10. 设 > （a > 0 且 a ≠ 1），则下列说法正确的是（ ） A. a > 1 B. 0 < a < 1 C. y = 在 R 上递增 D. y = 在 R 上递减 11. 函数 f(x) = 的单调递增区间和值域分别为（ ） A. 递增区间为 (−∞, 1] B. 递增区间为 [1, +∞) C. 值域为 (0, 2] D. 值域为 [2, +∞) 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 函数 f(x) = ，则 f(−1) + f(0) + f(1) =________。 13. 若指数函数 f(x) = 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是________。 14. 不等式 > 的解集为________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 比较下列各组数的大小： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 （a > 0 且 a ≠ 1）。 16. 已知函数 f(x) = 。 （1）求 f(x) 的定义域和值域； （2）求 f(x) 的单调递增区间。 学科网（北京）股份有限公司 $