专题04 指数函数的图象和性质专项训练（7大题型33题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题04 指数函数的图象和性质（7大题型33题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　指数函数的图象与过定点 第1—6题 6 题型二　指数函数的单调性与参数范围 第7—10题 4 题型三　指数函数的值域与最值 第11—14题 4 题型四　指数函数的实际应用 第15—19题 5 题型五　指数函数的概念与性质辨析 第20—23题 4 题型六　指数函数的奇偶性与单调性综合（解答） 第24—28题 5 题型七　指数函数的综合应用（解答） 第29—33题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　指数函数的图象与过定点（共6小题） 【知识积累】 指数函数：形如 （，且 ）的函数叫做指数函数，定义域为 ，值域为 。 过定点：因为 ，所以图象恒过点 ；函数 的图象过定点 。 图象特征： 时图象上升、 时图象下降，均以 轴为渐近线； 时底数越大图象越高， 时底数越大图象越低； 与 的图象关于 轴对称。 易错：读图时要同时由升降判断底数与 的大小、由 处的高度比较底数大小，不能只看升降。 1．（单选题） （25-26高一上·重庆九龙坡·期中） 已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数概念得，再根据指数函数性质即可得答案. 【详解】由为指数函数得，解得， 又且，故， 所以函数，令得，此时， 所以函数的图象过定点. 故选：A 2．（单选题） （25-26高一上·安徽·阶段检测） 如图，（1）（2）（3）分别是指数函数的大致图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，再根据函数值的大小即可得解. 【详解】令，观察图象可得. 故选：D. 3．（单选题） （25-26高一上·广东惠州·期中） 指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 4．（单选题） （22-23高一上·陕西安康·期末） 指数函数与的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用指数函数的性质判断选项即可． 【详解】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数， 所以根据函数的图象可知，． 故选：C． 5．（填空题） （25-26高一上·四川德阳·期中） 指数函数，则的图象过定点__________. 【答案】 【分析】利用指数函数的定义，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】指数函数，得， 解得或，而， 得， 则， 令，得，此时， 得的图象过定点． 故答案为： 6．（填空题） （24-25高一上·江苏无锡·期中） 指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为______. 【答案】 【分析】由指数函数的图象可知，结合二次函数性质分析求解即可. 【详解】由指数函数的图象可知， 所以二次函数图象顶点的横坐标. 故答案为：. 题型二　指数函数的单调性与参数范围（共4小题） 【知识积累】 单调性： 时 在 上单调递增； 时在 上单调递减。 由单调性定参数：若 在 上单调递增，则 ；若单调递减，则 。底数含参数时先解出底数范围，再检验 且 。 比较大小： 时 ； 时 。底数不同时可先化为同底或借助中间量 比较。 易错：底数中含参数时必须先保证底数为正且不等于 ，再使用单调性。 7．（单选题） （25-26高一上·河北沧州·期末） 指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像和性质求解. 【详解】由于指数函数是上的减函数， 故有，求得， 则实数的取值范围为. 故选：C． 8．（填空题） （23-24高一上·上海奉贤·期中） 若时，指数函数的值总小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得当时，， 所以，所以，进而可得或， 故答案为： 9．（填空题） （21-22高一上·福建厦门·期中） 比较大小：___________.（填>､<､=） 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】解：， ，则， . 故答案为：. 10．（填空题） （23-24高一上·广东深圳·期中） 已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出的解析式，然后代入得到的解析式，应用主元法转化为关于的一次函数，然后端点处都为非负求解即可. 【详解】因为是指数函数，所以，解得或者， 又因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以， 所以， 令，要使得即恒成立， 则， 所以，解得， 故答案为： 【点睛】方法点睛：熟练应用主元法可以降低运算量和思维量. 题型三　指数函数的值域与最值（共4小题） 【知识积累】 值域： 的值域为 ，无最大值也无最小值；在闭区间 上， 时最大值为 、最小值为 ， 时相反。 由最值定底数：在区间 上最大值与最小值之积为 ，据此列方程求 ，并检验 且 。 换元求值域：形如 的函数，令 转化为关于 的二次函数，再结合 求值域。 易错：换元后不要遗漏 ，不能把二次函数对称轴处的值直接当作定义域内的最值。 11．（填空题） （24-25高一上·上海浦东新·阶段检测） 已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数______ 【答案】3 【分析】由已知条件，并结合指数函数的单调性分类讨论即可求解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，， 因为最大值比最小值大，所以， 解得或（舍）， 当时，函数在区间上单调递减，， 所以， 此时方程无解，即不存在. 故答案为：. 12．（填空题） （25-26高一上·上海·期中） 已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用单调性可得，再利用指数运算法则求解. 【详解】指数函数在上单调，则在上的最大值和最小值之和为，即， 所以在上的最大值和最小值之和为. 故答案为： 13．（解答题） （23-24高一上·湖南衡阳·期末） 已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大2， (1)求实数a的值． (2)，求m的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值. （2）根据函数的单调性以及一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【详解】（1）由于，所以在上单调递增， 所以，解得或（舍去）. （2）由（1）得，则由， 得， 解得或. 14．（解答题） （23-24高一上·上海青浦·期中） 已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点和代入求解即可； （2）根据函数为指数函数，求得，再分和两种情况，根据函数的单调性，求出最大值和最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）将点和代入，得， 因为且，所以，. （2）因为函数为指数函数，所以，所以， 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时； 当时，在区间上有，， 所以有，即(舍去负值)，此时. 所以函数的表达式为或. 题型四　指数函数的实际应用（共5小题） 【知识积累】 增长率模型：经过 个周期后总量为 （ 为每期增长率）。 衰减模型：剩余量为 （ 为半衰期）；一般地 （）。 估算方法：由 得 ，可借助参考数据取对数估算。 易错：注意“至少”“超过”对应的取整方向，时间单位要与半衰期单位一致。 15．（单选题） （25-26高一上·福建厦门·阶段检测） 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度为0.0766毫米）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，发现将一张纸对折38次，纸张的厚度将达到2.1万公里，超过了地球的直径．已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折多少次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离？（    ） A．41 B．43 C．45 D．47 【答案】B 【分析】通过厚度的指数增长关系，建立不等式，利用已知对折次数的厚度计算所需次数的范围，确定最小对折次数. 【详解】设对折次后纸张厚度为（为初始厚度，单位：万公里）. 已知对折38次时，万公里；需满足万公里， 两式相除得. 因，，故，即. 故选：B 16．（单选题） （23-24高一上·重庆九龙坡·期末） 放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可. 【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则， 所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为． 故选：D． 17．（单选题） （23-24高一上·江西上饶·阶段检测） 某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（    ） A．0.015克 B．克 C．0.925克 D．克 【答案】D 【分析】设每年减少的比例为x，由题意得出指数关系，求出x，再计算三年后剩余量即可. 【详解】设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余克， 依题意得，所以， 3年后剩余为，将x的值代入，得结果为， 故选：D. 18．（单选题） （25-26高一上·安徽·期末） 放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这两种物质的初始质量都为，求出天后甲、乙两种物质的质量，结合题意与指数运算可得出、所满足的关系式. 【详解】不妨设这两种物质的初始质量都为， 则天后甲、乙两种物质的质量分别为、， 由题意知，即，即， 故选：D. 19．（填空题） （26-27高一上·四川·期中） 放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 【答案】 【分析】由题意建立方程解得，得到的解析式，即可求出. 【详解】由题意可知，，即， 代入得：，故. 题型五　指数函数的概念与性质辨析（共4小题） 【知识积累】 定义辨析：只有形如 （，）的函数才是指数函数；、 等系数不为 ，不是指数函数。 基本性质：值域为 ，图象恒过 ，函数值恒为正，没有零点。 对称性： 与 的图象关于 轴对称。 易错： 是底数为 的指数函数；判断前先化简，不能只看表面形式。 20．（多选题） （24-25高一上·浙江台州·期中） 下列说法正确的是（    ） A．函数（且）过定点 B．函数与（且）的图象关于轴对称 C．指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则 D．若实数、满足，则 【答案】ABD 【分析】对于A：令，运算求解即可；对于B：因为，即可分析判断；对于C：分和两种情况，结合指数函数单调性分析求解；对于D：构建，结合单调性分析判断. 【详解】对于选项A：令，解得，且， 所以函数（且）过定点，故A正确； 对于选项B：因为， 所以函数与（且）的图象关于轴对称，故B正确； 对于选项C：若，则指数函数在上单调递增， 可得，解得； 若，则指数函数在上单调递减， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：因为，即， 构建，原不等式即为， 因为在上单调递增，可知在上单调递增， 可得，即，故D正确； 故选：ABD. 21．（多选题） （25-26高一上·四川广安·期中） 下列说法正确的有（   ） A．函数的图象关于成中心对称 B．指数函数中，a的取值范围是 C．函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D．函数，，则的单调递增区间是 【答案】CD 【分析】对于A，先分离常数，再根据函数图象平移可得的对称中心；对于B，由指数函数的定义可确定的范围；对于C，使时，恒成立即可；对于D，利用复合函数单调性即可判断. 【详解】对于A：函数，其图象是由先向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得到的，故图象的对称中心由平移到了，故A错误； 对于B：由指数函数的定义可知，且，解得或且，故B错误； 对于C：由题可知，当时，恒成立，当时，无限趋于0，但恒大于0，因此，故C正确； 对于D：，得，解得，故，易知在上单调递增，的单调递增区间为，由复合函数单调性遵循“同增异减”可知的单调递增区间是，故D正确. 故选：CD. 22．（多选题） （21-22高一上·辽宁·阶段检测） 下列结论中，正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域是 C．若，则 D．函数为指数函数 【答案】ABD 【分析】由指数(型)函数的定义及性质、定义域的求法，判断各选项的正误. 【详解】A，由解析式易知的定义域为R，正确. B，当时，，正确. C，当时，函数单调递减，由，则，不正确. D，由，结合指数函数定义知为指数函数，正确. 故选：ABD. 23．（填空题） （21-22高一上·贵州遵义·期末） 写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答. 【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得， 由于单调递增，则，又，解得，取， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 题型六　指数函数的奇偶性与单调性综合（解答）（共5小题） 【知识积累】 求参数：已知含指数式的函数为奇函数，可由 （ 在定义域内）或 求参数，再检验定义域是否关于原点对称。 定义法证单调性：设 ，作差 ，通分、因式分解后由 的符号判断差的正负。 解不等式：先用奇偶性把 化为 ，再用单调性去掉函数符号 ，转化为关于自变量的代数不等式。 易错：恒成立问题要区分“对任意 成立”与“存在 成立”，前者转化为最值，后者只需相应最值满足条件。 24．（解答题） （21-22高一上·广东东莞·期末） 已知函数的图象在直线的下方且无限接近直线. (1)判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并用定义证明； (3)求函数的值域. 【答案】(1)函数在上单调递增， (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的单调性情况直接判断； （2）根据奇偶性的定义直接判断； （3）由奇偶性直接判断值域. 【详解】（1）因为随着增大，减小，即增大，故随增大而增大，所以函数在上单调递增. 由的图象在直线下方，且无限接近直线，得， 所以函数的解析式. （2）由（1）得，整理得， 函数定义域关于原点对称，， 所以函数是奇函数. （3）方法一：由（1）知， 由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故， 所以函数的值域为. 方法二：由，得，得，得，得，得，所以函数的值域为. 25．（解答题） （25-26高一上·山东淄博·期中） 已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（无需证明）； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)，在上是单调递增函数. (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）利用求得并进行验证，根据解析式判断出的单调区间. （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为， 所以，即， 此时, ，所以是奇函数，符合题意. 由得在上是单调递增函数. （2）由（1）知是上单调递增的奇函数， 所以， 可以转化为， 可化为，即， ①当时，不等式为，这时解集为； ②当时，解不等式得； ③当时，解不等式得. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 26．（解答题） （23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 设函数（且）是定义域为R的奇函数，． (1)求实数k的值并直接写出函数的单调性； (2)在（1）的条件下，使得不等式有解，求实数t的取值范围． 【答案】(1)，在定义域上为增函数 (2) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即可得到，再由条件可得，即可判断函数的单调性； （2）根据题意，由函数的单调性以及奇偶性化简，转化为有解，结合换元法，转化为二次函数的最值问题，即可得到结果. 【详解】（1）∵为奇函数，∴ 当时， 由为奇函数，可得即， 且在上递增，在上递增， ∴在定义域上为增函数 （2）由题意可知有解 ∵为增函数，∴有解有解 ∵∴令∴有解 令，∴ ∵在上递增，∴∴ 27．（解答题） （22-23高一上·江苏镇江·期末） 设函数在定义域具有奇偶性． (1)求k的值； (2)已知在上的最小值为，求m的值．（说明：如果要用到函数的单调性，可直接交代单调性，不必证明．） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)分类讨论函数为奇函数和偶函数，利用奇偶性的定义求解；(2)换元法讨论二次函数在给定区间内的最值. 【详解】（1）若为奇函数，则，即恒成立， 所以恒成立，所以， 若为偶函数，所以， 即恒成立， 所以恒成立，所以 综上，所求的值为. （2）当时，， 令，则在上单调递增，所以, 所以 当时，，（舍） 当时，， 所以，所以或（舍） 所以当时，, 当时，， 令，则，则在上单调递增， 所以，所以， 当时，， 当时，，所以（舍） 所以当时，， 综上：当时，；当时，. 28．（解答题） （25-26高一上·四川成都·阶段检测） 已知函数且是定义在上的奇函数. (1)求的值. (2)用定义法判断函数的单调性，并求函数的值域. (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增， (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）利用函数单调性的定义且，判断符号求单调性，利用指数函数的值域求的值域； （3）当时，恒成立，则等价于对时恒成立，令，则，利用复合函数单调性求最大值即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 此时， 所以时，为奇函数，故. （2）由（1）知，定义域为， 且，， 因为，所以，， 所以，即， 所以是增函数， 因为，所以，， 所以，即函数的值域. （3）由（1）可得，当时，， 当时，恒成立，则等价于对时恒成立， 令，，即，当时恒成立，即， 由于在单调递增，故在上单调递增， 所以当时有最大值0，所以，故所求的范围是. 题型七　指数函数的综合应用（解答）（共5小题） 【知识积累】 求解析式：由图象过已知点列方程求底数；若题目称“指数函数”，则解析式必须为 的形式。 求值域：含 、 的式子换元 ，转化为二次函数在 上的值域。 单调区间： 的单调性由底数 与 共同决定，按“同增异减”判断。 比较大小：把各数化为同底数幂，或与 比较，再用单调性判断大小关系。 29．（解答题） （25-26高一上·四川成都·期中） 已知指数函数. (1)当时，解不等式； (2)若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，解二次不等式结合指数函数单调性可得答案； （2）由指数函数单调性可得，令，由二次函数知识可得答案； （3）由题可得，，令，分类讨论，，三种情况可得答案. 【详解】（1）当时，，， 令，得到，，因此，得到，故解集为. （2）因为，所以是单调增函数，故由得， 因为，且，所以恒成立，所以，， 设，令，则，， 令，， 则函数在上单调递减，所以，，故； （3）因为，则，， 令，因，故，令，其中， 当时，在上递增，则； 当时，令，其中， 若，函数在上单调递增，则； 若，则，则函数在上单调递增，； 若，则，则. 综上所述，. 30．（解答题） （25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测） 已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)求函数在上的单调区间． 【答案】(1) (2)； (3)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）待定系数法进行求解； （2）换元后，转化为二次函数在上的值域问题，进行求解； （3）在（2）基础上，求出函数单调区间 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 则，解得，因此． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 其中，又因为， ，故， 故函数在上的值域为． （3）由（2）知，当时，函数单调递减，此时， 当时，函数单调递增，此时， 又因为函数单调递增， 所以在上的减区间为，增区间为． 31．（解答题） （23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中） 已知指数函数在区间上的最大值与最小值之和为6； (1)求的值； (2)求在上的最大值，并将结果表示成一个关于的分段函数； (3)设，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，可得出该函数在区间上的最大值和最小值，结合已知条件可求出的值； （2）令，则，设，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的表达式； （3）计算出的值，即可求得的值. 【详解】（1）解：①当时，在上单调递减， 函数在上的最大值为，最小值为； ②当时，在上单调递增， 函数在上的最大值为，最小值为. 所以，解得（舍去）. （2）解：求在上的最大值， 令，则，设， 二次函数对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在上单调递增， 则； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 此时，； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，. 综上所述，. （3）解：因为，则 ， 所以，，…， 所以. 32．（解答题） （23-24高一上·河南南阳·期中） 已知函数且的图象经过点． (1)求的值； (2)比较与的大小； (3)求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接代入即可求出值； （2）根据指数函数单调性即可比较大小； （3）求出，再根据指数函数值域即可得到答案. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，又且，所以． （2）因为，所以在上单调递增． 又因为，所以， 所以． （3）当时，，则， 所以，即， 所以的值域为． 33．（解答题） （21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期中） 已知指数函数，且 (1)求a的值； (2)当时，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，解方程即可； （2）令，可得，求二次函数值域即可. 【详解】（1）∵指数函数，且， ∴，又 ∴； （2）由（1）知，， 令，则， ∴在上单调递增， ∴函数的值域为， 即的值域为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题04 指数函数的图象和性质（7大题型33题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　指数函数的图象与过定点 第1—6题 6 题型二　指数函数的单调性与参数范围 第7—10题 4 题型三　指数函数的值域与最值 第11—14题 4 题型四　指数函数的实际应用 第15—19题 5 题型五　指数函数的概念与性质辨析 第20—23题 4 题型六　指数函数的奇偶性与单调性综合（解答） 第24—28题 5 题型七　指数函数的综合应用（解答） 第29—33题 5 题型通关 · 靶向提分 题型一　指数函数的图象与过定点（共6小题） 【知识积累】 指数函数：形如 （，且 ）的函数叫做指数函数，定义域为 ，值域为 。 过定点：因为 ，所以图象恒过点 ；函数 的图象过定点 。 图象特征： 时图象上升、 时图象下降，均以 轴为渐近线； 时底数越大图象越高， 时底数越大图象越低； 与 的图象关于 轴对称。 易错：读图时要同时由升降判断底数与 的大小、由 处的高度比较底数大小，不能只看升降。 1．（单选题） （25-26高一上·重庆九龙坡·期中） 已知指数函数，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 2．（单选题） （25-26高一上·安徽·阶段检测） 如图，（1）（2）（3）分别是指数函数的大致图象，则（   ） A． B． C． D． 3．（单选题） （25-26高一上·广东惠州·期中） 指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   4．（单选题） （22-23高一上·陕西安康·期末） 指数函数与的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 5．（填空题） （25-26高一上·四川德阳·期中） 指数函数，则的图象过定点__________. 6．（填空题） （24-25高一上·江苏无锡·期中） 指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为______. 题型二　指数函数的单调性与参数范围（共4小题） 【知识积累】 单调性： 时 在 上单调递增； 时在 上单调递减。 由单调性定参数：若 在 上单调递增，则 ；若单调递减，则 。底数含参数时先解出底数范围，再检验 且 。 比较大小： 时 ； 时 。底数不同时可先化为同底或借助中间量 比较。 易错：底数中含参数时必须先保证底数为正且不等于 ，再使用单调性。 7．（单选题） （25-26高一上·河北沧州·期末） 指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（填空题） （23-24高一上·上海奉贤·期中） 若时，指数函数的值总小于1，则实数的取值范围为______． 9．（填空题） （21-22高一上·福建厦门·期中） 比较大小：___________.（填>､<､=） 10．（填空题） （23-24高一上·广东深圳·期中） 已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是______． 题型三　指数函数的值域与最值（共4小题） 【知识积累】 值域： 的值域为 ，无最大值也无最小值；在闭区间 上， 时最大值为 、最小值为 ， 时相反。 由最值定底数：在区间 上最大值与最小值之积为 ，据此列方程求 ，并检验 且 。 换元求值域：形如 的函数，令 转化为关于 的二次函数，再结合 求值域。 易错：换元后不要遗漏 ，不能把二次函数对称轴处的值直接当作定义域内的最值。 11．（填空题） （24-25高一上·上海浦东新·阶段检测） 已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数______ 12．（填空题） （25-26高一上·上海·期中） 已知指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则它在区间上的最大值和最小值之和为__________. 13．（解答题） （23-24高一上·湖南衡阳·期末） 已知指数函数（）在区间上的最大值比最小值大2， (1)求实数a的值． (2)，求m的取值范围 14．（解答题） （23-24高一上·上海青浦·期中） 已知函数 （为常数，且） (1)若函数的图象经过点和，求实数的值; (2)若函数为指数函数， 且在区间上的最大值与最小值之差为1，求该函数的表达式. 题型四　指数函数的实际应用（共5小题） 【知识积累】 增长率模型：经过 个周期后总量为 （ 为每期增长率）。 衰减模型：剩余量为 （ 为半衰期）；一般地 （）。 估算方法：由 得 ，可借助参考数据取对数估算。 易错：注意“至少”“超过”对应的取整方向，时间单位要与半衰期单位一致。 15．（单选题） （25-26高一上·福建厦门·阶段检测） 某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度为0.0766毫米）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，发现将一张纸对折38次，纸张的厚度将达到2.1万公里，超过了地球的直径．已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折多少次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离？（    ） A．41 B．43 C．45 D．47 16．（单选题） （23-24高一上·重庆九龙坡·期末） 放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 17．（单选题） （23-24高一上·江西上饶·阶段检测） 某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（    ） A．0.015克 B．克 C．0.925克 D．克 18．（单选题） （25-26高一上·安徽·期末） 放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为（单位：天）.现有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为、，开始记录时，这两种物质的质量相等，天后测量发现甲的质量是乙的质量的倍，则、应满足（    ） A． B． C． D． 19．（填空题） （26-27高一上·四川·期中） 放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 题型五　指数函数的概念与性质辨析（共4小题） 【知识积累】 定义辨析：只有形如 （，）的函数才是指数函数；、 等系数不为 ，不是指数函数。 基本性质：值域为 ，图象恒过 ，函数值恒为正，没有零点。 对称性： 与 的图象关于 轴对称。 易错： 是底数为 的指数函数；判断前先化简，不能只看表面形式。 20．（多选题） （24-25高一上·浙江台州·期中） 下列说法正确的是（    ） A．函数（且）过定点 B．函数与（且）的图象关于轴对称 C．指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则 D．若实数、满足，则 21．（多选题） （25-26高一上·四川广安·期中） 下列说法正确的有（   ） A．函数的图象关于成中心对称 B．指数函数中，a的取值范围是 C．函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D．函数，，则的单调递增区间是 22．（多选题） （21-22高一上·辽宁·阶段检测） 下列结论中，正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域是 C．若，则 D．函数为指数函数 23．（填空题） （21-22高一上·贵州遵义·期末） 写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③. 题型六　指数函数的奇偶性与单调性综合（解答）（共5小题） 【知识积累】 求参数：已知含指数式的函数为奇函数，可由 （ 在定义域内）或 求参数，再检验定义域是否关于原点对称。 定义法证单调性：设 ，作差 ，通分、因式分解后由 的符号判断差的正负。 解不等式：先用奇偶性把 化为 ，再用单调性去掉函数符号 ，转化为关于自变量的代数不等式。 易错：恒成立问题要区分“对任意 成立”与“存在 成立”，前者转化为最值，后者只需相应最值满足条件。 24．（解答题） （21-22高一上·广东东莞·期末） 已知函数的图象在直线的下方且无限接近直线. (1)判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并用定义证明； (3)求函数的值域. 25．（解答题） （25-26高一上·山东淄博·期中） 已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（无需证明）； (2)解关于的不等式. 26．（解答题） （23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测） 设函数（且）是定义域为R的奇函数，． (1)求实数k的值并直接写出函数的单调性； (2)在（1）的条件下，使得不等式有解，求实数t的取值范围． 27．（解答题） （22-23高一上·江苏镇江·期末） 设函数在定义域具有奇偶性． (1)求k的值； (2)已知在上的最小值为，求m的值．（说明：如果要用到函数的单调性，可直接交代单调性，不必证明．） 28．（解答题） （25-26高一上·四川成都·阶段检测） 已知函数且是定义在上的奇函数. (1)求的值. (2)用定义法判断函数的单调性，并求函数的值域. (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 题型七　指数函数的综合应用（解答）（共5小题） 【知识积累】 求解析式：由图象过已知点列方程求底数；若题目称“指数函数”，则解析式必须为 的形式。 求值域：含 、 的式子换元 ，转化为二次函数在 上的值域。 单调区间： 的单调性由底数 与 共同决定，按“同增异减”判断。 比较大小：把各数化为同底数幂，或与 比较，再用单调性判断大小关系。 29．（解答题） （25-26高一上·四川成都·期中） 已知指数函数. (1)当时，解不等式； (2)若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求函数在上的最大值. 30．（解答题） （25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测） 已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)求函数在上的单调区间． 31．（解答题） （23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中） 已知指数函数在区间上的最大值与最小值之和为6； (1)求的值； (2)求在上的最大值，并将结果表示成一个关于的分段函数； (3)设，求的值. 32．（解答题） （23-24高一上·河南南阳·期中） 已知函数且的图象经过点． (1)求的值； (2)比较与的大小； (3)求函数的值域． 33．（解答题） （21-22高一上·黑龙江哈尔滨·期中） 已知指数函数，且 (1)求a的值； (2)当时，求的值域． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $