第二章 专题04 不等式专项训练（8大题型39题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题04 不等式综合（8大题型39题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　不等式性质的综合判断（常考点） 题型二　不等式性质与取值范围（重点） 题型三　基本不等式求最值（常考点） 题型四　基本不等式的应用与综合（重点） 题型五　一元二次不等式与方程（重点） 题型六　二次函数与不等式综合（重点） 题型七　恒成立与含参综合（难点） 题型八　不等式综合问题（拔高）（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　不等式性质的综合判断（共7小题） 【知识积累】 综合判断：把多个性质放在同一道选择或多选题里，逐项用定义或反例判断。 充分必要：把不等式条件写成推出关系，用集合包含或举反例判断。 注意条件：字母正负、能否为 0，直接影响不等号方向。 【典例】 1．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 2．对于实数，下列结论正确的是（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．下列命题是真命题的为（    ）（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 4．下列命题为真命题的是（   ）（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 5．若，则（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A． B． C． D． 6．若，，则（   ）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） A． B． C． D． 7．若，且则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） A． B． C． D． 题型二　不等式性质与取值范围（共5小题） 【知识积累】 求范围：由已知字母的范围，用两端运算或配凑求代数式的范围。 作差比较：比较两个代数式，作差后配方或因式分解定号。 集合语言：用描述法给出的数集，先化简再求有关范围。 【典例】 8．设，且，则（    ）（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 9．下列命题是真命题的是（     ）（26-27高一上·山西太原·阶段检测） A．若，则 B．若，，则的取值范围是 C．若，，则 D．若，则 10．已知，则下列结论一定正确的有（    ）（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测） A． B． C．的最小值为1 D．若，则 11．下列命题是真命题的是（    ）（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 12．已知，（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测） (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 题型三　基本不等式求最值（共7小题） 【知识积累】 一正二定三相等：用基本不等式求最值时三项缺一不可。 “1”的妙用与配凑：把条件代入或拆项，使和或积为定值。 恒成立求参数：先求左边最小值，再与参数比较。 【典例】 13．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ）（26-27高一上·福建泉州·开学考试） A． B． C． D． 【变式训练】 14．若正数，，，满足，求的最小值.（2026高一下·广东汕尾·竞赛） 15．已知， 且， 则（   ）（25-26高一上·湖南长沙·开学考试） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 16．下列说法正确的是（    ）．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A．正数满足，则的最大值为 B．当时，的最小值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 17．下列选项正确的是（   ）（26-27高一上·云南昆明·阶段检测） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 18．若则的最小值为_________.（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测） 19．某厂商更新设备，已知在未来（）年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低；则此设备的使用年限为______，年平均最低花费为______万元.（26-27高一上·北京·期中） 题型四　基本不等式的应用与综合（共5小题） 【知识积累】 实际问题：设备年费用、折叠矩形、篱笆围地等，先建模再套基本不等式。 新定义 max：先按定义分类讨论，再在每一类上用基本不等式。 解答题：写清定义域、配凑过程与等号条件。 【典例】 20．已知，，且，则的最小值为（    ）（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 21．记，若正实数，，满足，则的最小值为（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．9 B． C． D． 22．当时，的最小值是（    ）（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测） A． B． C． D． 23．用表示数集 中最大的数．若是函数的零点，且，则的最小值为__________．（25-26高一下·浙江杭州·期末） 24．根据题意，求解下列问题：（26-27高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测） (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 题型五　一元二次不等式与方程（共5小题） 【知识积累】 由解集反求系数：已知二次不等式的解集，求系数。 韦达定理：由两根求新方程或对称式的值。 解不等式：配方或求根后写解集（用不等式或集合）。 【典例】 25．（1）求关于的不等式的解集；（26-27高一上·上海·阶段检测） （2）求关于的不等式的解集. 【变式训练】 26．解下列不等式：（26-27高一上·云南红河·开学考试） (1)； (2). 27．已知关于的不等式的解集为或.（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)求、的值； (2)解关于的不等式． 28．已知关于的二次函数（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） (3)已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 29．已知不等式的解集为.（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 题型六　二次函数与不等式综合（共4小题） 【知识积累】 函数与不等式：图象在 轴上方（下方）对应二次不等式的解集。 含参讨论：对二次项系数、判别式分类，分别求解再合并。 综合解答：先求参数或解析式，再解不等式。 【典例】 30．已知二次函数．（26-27高一上·山东日照·阶段检测） (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式． 【变式训练】 31．已知二次函数，其中a，b，（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） (1)若且， ①证明：函数的图象与x轴必有两个不同的交点； ②设函数在x轴上截得的线段长为l，求l的取值范围； (2)若且不等式的解集为，求的最小值. 32．已知二次函数．（26-27高一上·广东中山·阶段检测） (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 33．已知二次函数.（26-27高一上·江苏南京·阶段检测） (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 题型七　恒成立与含参综合（共3小题） 【知识积累】 恒成立：二次或分式型不等式恒成立时，转化为最值与参数比较。 存在性：存在 使不等式成立，转化为最值满足条件。 分段与绝对值：先去绝对值或分段，再讨论。 【典例】 34．（1）已知，求的最大值．（26-27高一上·天津和平·阶段检测） （2），且满足，若恒成立，求的取值范围． （3）已知，求的最小值． 【变式训练】 35．已知二次函数，其中．（26-27高一上·河南开封·阶段检测） (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 36．已知，，则的最小值为________．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 题型八　不等式综合问题（拔高）（共3小题） 【知识积累】 多问递进：前问结论常为后问所用。 跨节综合：基本不等式与二次式、分式可能出现在同一大题中。 书写规范：解集用不等式或集合；分类讨论要写全。 【典例】 37．（1）求函数的最小值．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测） （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 【变式训练】 38．求解下列各题：（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） (1)求的最大值. (2)已知，则的最小值为________. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 39．求下列函数的最值（26-27高一上·天津和平·阶段检测） (1)若，求的最大值； (2)设，若，求的最小值． (3)若正数，满足，求的最小值． (4)已知，且，求的最小值； 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题04 不等式综合（8大题型39题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　不等式性质的综合判断（常考点） 题型二　不等式性质与取值范围（重点） 题型三　基本不等式求最值（常考点） 题型四　基本不等式的应用与综合（重点） 题型五　一元二次不等式与方程（重点） 题型六　二次函数与不等式综合（重点） 题型七　恒成立与含参综合（难点） 题型八　不等式综合问题（拔高）（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　不等式性质的综合判断（共7小题） 【知识积累】 综合判断：把多个性质放在同一道选择或多选题里，逐项用定义或反例判断。 充分必要：把不等式条件写成推出关系，用集合包含或举反例判断。 注意条件：字母正负、能否为 0，直接影响不等号方向。 【典例】 1．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】A选项：若，则，故A错误； B选项：因为，所以，又，所以，故B正确； C选项：因为，所以，又，所以，故C错误； D选项：若，则，故D错误. 【变式训练】 2．对于实数，下列结论正确的是（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【详解】由不等式性质可知，故A错误； 不妨取，满足，此时，故B错误； 取，满足，，此时，故C错误； 由知，所以，即，故D正确. 3．下列命题是真命题的为（    ）（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】D 【详解】对于A：取，满足， 但，故不成立，故A错误； 对于B，若，则，即，可得，所以取时，不成立，故B错误； 对于C，取满足题意，则不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，所以，故D正确. 4．下列命题为真命题的是（   ）（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的基本性质与作差比较法逐一比较即得. 【详解】对于A，因，由和，可得，故A正确； 对于B，因，则，由不等式的可乘性，，即，又因，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，因，由可得，故D错误. 5．若，则（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】已知， 判断A选项：由不能推出，例如取，，取，满足，但，故A错误； 判断B选项：由，得，又，所以，由不等式性质，两边平方得：，故B正确； 判断C选项：由B知，但的符号不确定，若，则； 若，则；若，则，所以不一定成立，故C错误； 判断D选项：由，得，故D正确. 6．若，，则（   ）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，由同正可乘方可知，所以选项A正确； 因为，，由不等式的可加性可知，所以选项B正确； 因为，，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项C错误； 因为，由不等式的可乘性（乘以正数）可知， 又因为，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项D正确. 7．若，且则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·河南周口·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】应用不等式性质结合计算判断A，B，C，再应用作差法计算判断D. 【详解】已知 ，且 A项：两边同除以 ，得 ，正确. B项：，因为 ，所以 ，错误. C项：两边同乘以负数 ，不等号变向，得 ，正确. D项：，所以 ，错误. 题型二　不等式性质与取值范围（共5小题） 【知识积累】 求范围：由已知字母的范围，用两端运算或配凑求代数式的范围。 作差比较：比较两个代数式，作差后配方或因式分解定号。 集合语言：用描述法给出的数集，先化简再求有关范围。 【典例】 8．设，且，则（    ）（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将求的范围转化为求的范围，再利用同向不等式相加的性质即可求解. 【详解】由题意得， 则， 即，即. 【变式训练】 9．下列命题是真命题的是（     ）（26-27高一上·山西太原·阶段检测） A．若，则 B．若，，则的取值范围是 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A选项，若，分子相同，分母越大分数越小，则， 例如，，则； 对于B选项，因为，所以， 又因为，所以两边同乘正数，可得， ，两边同乘，可得， ，两边同乘，可得， 即，所以； 对于C选项，若，，则不能推出， 例如，，，，，，； 对于D选项，因为，所以，不等式两边同除以正数，不等号的方向不变，可得. 10．已知，则下列结论一定正确的有（    ）（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测） A． B． C．的最小值为1 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，由作差法可判断；对于B，由特殊值法可进行排除判断；对于C，由分析即可判断；对于D，将化为，再由解出的范围即可. 【详解】对于A：，，， 故，即，故A正确； 对于B：若，此时，故B错误； 对于C：，，，故的最小值不可能是，故C错误； 对于D：由，可得，若，有，则无解， 故且，因此可化为，得. ，， 因此即，两边同除以， 得，解得，故D正确. 故选：AD. 11．下列命题是真命题的是（    ）（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，则的两边同乘以，得，故B正确； 对于C，由于，故 ， 即，故C错误； 对于D，由于，，故，，则，， 所以，故D正确． 12．已知，（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测） (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ，， ， ； （2） ， ． 题型三　基本不等式求最值（共7小题） 【知识积累】 一正二定三相等：用基本不等式求最值时三项缺一不可。 “1”的妙用与配凑：把条件代入或拆项，使和或积为定值。 恒成立求参数：先求左边最小值，再与参数比较。 【典例】 13．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ）（26-27高一上·福建泉州·开学考试） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 【变式训练】 14．若正数，，，满足，求的最小值.（2026高一下·广东汕尾·竞赛） 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值. 【详解】由正数，，，满足，得正数，，，均小于， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，当且仅当，即时取等号； 同理，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以所求的最小值为. 15．已知， 且， 则（   ）（25-26高一上·湖南长沙·开学考试） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用变量大小顺序，结合放缩系数，构造不等式求范围，判断选项A, B；结合，采用增量换元统一变量判断选项C，D． 【详解】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 16．下列说法正确的是（    ）．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A．正数满足，则的最大值为 B．当时，的最小值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】AD 【分析】ABD选项，变形后使用基本不等式可得答案；C选项，等号取不到 【详解】A选项，正数满足，则， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，所以B错误； C选项，当时，，当且仅当，即时，等号成立， 但，故等号取不到，C错误； D选项，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，D正确 17．下列选项正确的是（   ）（26-27高一上·云南昆明·阶段检测） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式的性质、二次函数最值、不等式放缩等方法逐项判断，注意基本不等式取等号的条件是否满足. 【详解】选项A：正实数满足，由基本不等式， 可得，当且仅当时取等号，A正确； 选项B：令，则，原式转化为， 由基本不等式得，但等号成立条件为，与矛盾，等号无法取到，B错误； 选项C：由，得， 则， 当时，取最大值为，选项C正确； 选项D，因为正数，满足，则， 前面等号在时取到，后面等号当且仅当，即①时取等号， 又因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 18．若则的最小值为_________.（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测） 【答案】 【详解】因为，所以，由基本不等式可得： ， 当且仅当时，即时等号成立，取最小值. 19．某厂商更新设备，已知在未来（）年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低；则此设备的使用年限为______，年平均最低花费为______万元.（26-27高一上·北京·期中） 【答案】 4 32 【分析】首先根据题目已知条件，不难得到此设备的年平均花费为；接下来根据上述分析，结合均值不等式可知，据此即可求解此题． 【详解】由题意可知，此设备的年平均花费为， 当且仅当，即时等号成立． 此时年平均最低花费为. 题型四　基本不等式的应用与综合（共5小题） 【知识积累】 实际问题：设备年费用、折叠矩形、篱笆围地等，先建模再套基本不等式。 新定义 max：先按定义分类讨论，再在每一类上用基本不等式。 解答题：写清定义域、配凑过程与等号条件。 【典例】 20．已知，，且，则的最小值为（    ）（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过换元再结合基本不等式可得，再用基本不等式求的最小值可得. 【详解】已知，则， 所以 ， 当且仅当时等号成立，将代入得. 因此. 所以 ， 当且仅当时等号成立，由解得. 因此当，时，取得最小值. 【变式训练】 21．记，若正实数，，满足，则的最小值为（   ）（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知条件取倒数变形，利用最大值大于等于两数平均数，再用1的代换搭配基本不等式求出最小值． 【详解】已知正实数，，满足，则， 由最大值的性质， ， 当且仅当时等号成立， 故，即最小值为． 22．当时，的最小值是（    ）（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最小值是. 23．用表示数集 中最大的数．若是函数的零点，且，则的最小值为__________．（25-26高一下·浙江杭州·期末） 【答案】4 【分析】因为是函数零点，所以代入二次函数表达式得到的第一个关系式，结合已知的，将三个变量转化为两个变量的关系, 设，将问题转化为求的最小值，根据变量间的关系建立关于的不等式，利用均值不等式求解. 【详解】因为是函数的零点，代入得： ， 又，三个数和为、乘积为正，说明三个数必为一正两负， 因此最大数就是唯一的正数，设，则，另外两个数均为负数. 设两个负数为（），则由得：， 代入得： ， 由基本不等式，代入得： ， 整理得，即， 当时，等号成立， 此时三个数为，满足，，符合条件. 因此的最小值为. 24．根据题意，求解下列问题：（26-27高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测） (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 【答案】(1)， (2)6， (3)， 【分析】（1）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，将各项转化为正数利用基本不等式求解即可. （2）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，构造出积为定值的形式利用基本不等式求解即可. （3）根据基本不等式可得，结合条件可得，化简可得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. （2）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为，此时，. 题型五　一元二次不等式与方程（共5小题） 【知识积累】 由解集反求系数：已知二次不等式的解集，求系数。 韦达定理：由两根求新方程或对称式的值。 解不等式：配方或求根后写解集（用不等式或集合）。 【典例】 25．（1）求关于的不等式的解集；（26-27高一上·上海·阶段检测） （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）根据题意，利用一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由不等式， 当时，即时，解得，所以不等式的解集为； 当时，即时，不等式即为恒成立，即不等式的解集为； 当时，即时，解得，所以不等式的解集为， 综上可得：当时，解集为；当时，解集为；当 时，解集为. （2）由不等式，可化为， 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为， 综上可得： 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【变式训练】 26．解下列不等式：（26-27高一上·云南红河·开学考试） (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】结合一元二次不等式解集的形式解不等式即可. 【详解】（1）因为原不等式： 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是： （2）原不等式： 变形整理： 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是：. 27．已知关于的不等式的解集为或.（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） (1)求、的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用一元二次不等式的解法得，且为方程的根，即可求解； （2）利用（1）中结果和一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或， 则，且为方程的根，所以，解得， 由，得到，所以或，故. （2）由（1）知，，则不等式即为， 由，即，解得， 所以原不等式的解集为. 28．已知关于的二次函数（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） (3)已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】(1)，； (2)当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； (3). 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理列方程求解； （2）将代入，因式分解，对a的正负以及根1和的大小作分类讨论，写出不等式解集； （3）先由韦达定理与得到的关系式，结合正根、不等根条件求出a的取值范围，再将目标式化为单变量a的函数，换元后用基本不等式求最大值. 【详解】（1）不等式的解集为，得，方程两根为，所以，得，； （2）由，得，即， 因为，所以， 当，不等式化为， 若即，解集为； 若即，，无解； 若即，解集为； 当，不等式化为，此时，故解集为或； 综上所述，当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； （3）由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式 ，即，得，故或， 由得，所以， 由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当，即，即时取等号， 所以 ，故， 所以当时，最大值为. 29．已知不等式的解集为.（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 【答案】(1)，，不等式解集为 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据不等式解集的端点值为对应方程的实数根，结合韦达定理即可求出的值，进而求出不等式的解集；（2）由（1）知，，可将不等式化为，再对1和进行大小讨论，分别求出不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，和是方程的实数根， 故由韦达定理得：，解得，则， 即的解集为. （2）由（1）得：，又， 当时，，则 ， 当时，，则不等式无解， 当时，，则 ， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型六　二次函数与不等式综合（共4小题） 【知识积累】 函数与不等式：图象在 轴上方（下方）对应二次不等式的解集。 含参讨论：对二次项系数、判别式分类，分别求解再合并。 综合解答：先求参数或解析式，再解不等式。 【典例】 30．已知二次函数．（26-27高一上·山东日照·阶段检测） (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) (3)①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为. 【分析】代入得到一元二次不等式，求出方程的根，结合开口方向写出解集； 二次函数恒非负，开口向上，利用求解参数范围； 整理不等式，由判断二次项系数符号，因式分解求根并比较大小，结合开口写出解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 因式分解得， 解得， 不等式解集为. （2）对一切实数恒成立， 二次函数开口向上，则， ， ，，即， 的取值范围是. （3）原不等式 ， 移项整理： ， ， ，， 不等式两边同除以，不等号方向不变： ， 因式分解：， 两根为， ①当时，， 解集为， ②当时，不等式变为， 解集为， ③当时，， 解集为. 综上，①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为. 【变式训练】 31．已知二次函数，其中a，b，（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） (1)若且， ①证明：函数的图象与x轴必有两个不同的交点； ②设函数在x轴上截得的线段长为l，求l的取值范围； (2)若且不等式的解集为，求的最小值. 【答案】(1)①若且，则， ， 函数必有两个不同的零点； ② (2) 【分析】（1）①由题意可得，进而根据判别式为正判断即可； ②由及可得，再根据弦长求解范围即可. （2）根据开口方向与判别式可得且，进而可得，令，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）①略 ②由及，得， ， 不妨设函数的零点为，则， 函数在x轴上截得的弦长满足. （2）根据题意且， 且， ， 令， 则， 当且仅当，即，也即时取等号. 的最小值为. 32．已知二次函数．（26-27高一上·广东中山·阶段检测） (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)不等式的解集为或 (2)实数的取值范围为或 (3)实数a的取值范围为. 【分析】（1）将代入，再由一元二次不等式即可求解； （2）根据一元二次不等式的解法结合题意分类讨论即可求解； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）当时，二次函数，当时，解得或， 所以当时，不等式的解集为或. （2）因为关于x的不等式的解集中恰有3个整数，， 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有个整数，则，解得， 综上，实数的取值范围为或. （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，，则，可得， 因为，当且仅当，即时等号成立，因为， 所以，可得，所以实数a的取值范围为. 33．已知二次函数.（26-27高一上·江苏南京·阶段检测） (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 【答案】(1)或 (2)①4；②8 【分析】（1）由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而求解即可； （2）①根据一元二次不等式恒成立及题设求解即可； ②整理得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或. （2）①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有. ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8. 题型七　恒成立与含参综合（共3小题） 【知识积累】 恒成立：二次或分式型不等式恒成立时，转化为最值与参数比较。 存在性：存在 使不等式成立，转化为最值满足条件。 分段与绝对值：先去绝对值或分段，再讨论。 【典例】 34．（1）已知，求的最大值．（26-27高一上·天津和平·阶段检测） （2），且满足，若恒成立，求的取值范围． （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）因为，所以, 当且仅当，即时等号成立; （2） 当且仅当，即时等号成立, 的最小值是4, 若恒成立， 则： 解得： （3）已知，设：,则 当且仅当即时等号成立. 【变式训练】 35．已知二次函数，其中．（26-27高一上·河南开封·阶段检测） (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 【分析】（1）通过分离参数再结合基本不等式求最值，即可求解； （2）因式分解得到，通过讨论，，，，，即可求解. 【详解】（1）将代入得．① 因为，①可变形为． 不等式恒成立等价于． 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的取值范围为． （2）整理， 得，即， ①当时，不等式整理为，解得； ②当时，方程的两根为：，． 解不等式得或； ③当时 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得． 综上所述，若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 36．已知，，则的最小值为________．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 【答案】2 【分析】将两个分母分别设为新的变量，反解出 a、b，将原式化为适合应用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最小值，并结合等号成立条件判断最小值可以取得． 【详解】设，，则，， 故． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 题型八　不等式综合问题（拔高）（共3小题） 【知识积累】 多问递进：前问结论常为后问所用。 跨节综合：基本不等式与二次式、分式可能出现在同一大题中。 书写规范：解集用不等式或集合；分类讨论要写全。 【典例】 37．（1）求函数的最小值．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测） （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 （1）；（2） 【分析】（1）通过拆分分式变形构造正项和结构，结合基本不等式求最值；（2）利用“的代换”构造基本不等式适用条件求解最值. 【详解】（1）由可得，对函数做如下变形，， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 因此，即函数的最小值为； （2）已知且，可得，因此， 根据基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立， 结合解得，满足为正实数的条件， 因此，即所求最小值为. 【变式训练】 38．求解下列各题：（26-27高一上·山东临沂·阶段检测） (1)求的最大值. (2)已知，则的最小值为________. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （2）由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可得出的最小值； （3）由已知等式得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可得出的最小值，即可得出关于的一元二次不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）因为，所以. ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 39．求下列函数的最值（26-27高一上·天津和平·阶段检测） (1)若，求的最大值； (2)设，若，求的最小值． (3)若正数，满足，求的最小值． (4)已知，且，求的最小值； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1） 对函数变形构造正数项，结合基本不等式求最大值；（2）由已知条件构造和为1的式子，采用乘1法结合基本不等式求最小值；（3）将已知等式变形为倒数和形式，用乘1法展开后结合基本不等式求最小值；（4） 利用将已知等式转化为关于的二次不等式，求解得最小值 【详解】（1）因为，所以，即. 将函数变形： ， 由基本不等式，对正数和有： ， 当且仅当即时取等号，因此，故的最大值为. （2）由得，又，故. 展开： ， 由基本不等式： ， 当且仅当即时取等号， 结合解得，故最小值为. （3）因为，将两边同除以得. 对目标式变形： ， 由基本不等式： ， 当且仅当即时取等号，代入得，因此， 故最小值为. （4）因为，由基本不等式得，当且仅当时取等号. 代入得， 令，不等式化为： 解得（舍去）， 因此，当时取等号， 故的最小值为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $