陕西省洋县中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试卷

洋县中学2025-2026学年第一学期高二年级第三次月考 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 3．本试卷主要考试内容：直线与圆、圆锥曲线、空间向量运算的坐标表示、集合、三角函数. 一、选择题:本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 2.椭圆的长轴长与焦距之差等于(　　) A.3 B.5 C.1 D.2 3.设，若，则等于(　　) A. B. C. D. 4.已知双曲线的离心率，则的值为 (　　) A. B. C. D. 5.若集合,，则A∩B所含元素个数为（  ） A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知直线与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B.3 C.5 D.4 7.如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于 且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.已知，为抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D.5 二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知椭圆C：＝1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 10.下列说法正确的是(　　) A.直线在y轴上的截距为 B.若直线与直线相互垂直，则 C.存在，使得直线与椭圆相离 D.直线被圆截得的弦长最短为2 11.若是抛物线的焦点, 是上一点, 为原点，则( ) A.若焦点，则 B. C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.直线经过焦点与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，如果△面积的最小值为，则 三、填空题:本题共3小题,每题5分,共15分. 12.双曲线的渐近线方程为 13.若，则函数的值域为 14.由阿基米德得著作《关于圆锥和球体》可知，椭圆得面积等于圆周率与椭圆的长半轴和短半轴长的乘积，即。已知椭圆的离心率为，分别为其左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为，则椭圆的面积为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 16.（15分） 已知的斜边为，且，求： (1) 若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 17.（15分） 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点两点，若，且，证明：直线过定点. 18.（17分） 已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线与椭圆C交于M，N两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 19.（17分） 已知圆，圆．若动圆与圆外切，与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若P为直线与轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线过且与曲线C交于A，B两点，求证： ①； ②设直线，，的斜率分别为，求证． 洋县中学2025-2026学年第一学期高二年级第三次月考 数学试题参考答案 一、选择题:本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由圆的标准方程可知圆心为 2.椭圆的长轴长与焦距之差等于(　　) A.3 B.5 C.1 D.2 【答案】D 【详解】由题得所以，所以长轴长，焦距所以长轴长与焦距之差等于 3.设，若，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【详解】　因为θ∈cos θ＝所以sin θ＝ 则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××. 4.已知双曲线的离心率，则的值为 (　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【详解】由题知，，即 即 ， 5.若集合,，则A∩B所含元素个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【详解】由双曲线的渐近线方程为； 则直线与双曲线的渐近线平行，所以直线与双曲线仅有一个公共点； 6.已知直线与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A. B.3 C.5 D.4 【答案】C 【详解】显然抛物线焦点坐标为(1，0)，则直线过焦点，将与抛物线联立得，Δ>0，设，则 则 7.如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于，且则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题可知 方法一：因为， 则， 即，可得，所以C的离心率.故选：A. 方法二：由在以为直径的圆上可设,则 易知，则 所以即即，可得，所以C的离心率. 8.已知，为抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D.5 【答案】C 【详解】将抛物线向左平移1个单位长度，可得抛物线；将向左平移1各单位长度，可得点，则原问题为：已知为抛物线上的一动点，，求的最小值。抛物线的焦点为，准线，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，则=，当且仅当三点共线时，取最小值为 二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知椭圆C：＝1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是(　　) A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 【答案】　BD 【详解】椭圆C：＝1，则a＝4，b＝2，c＝＝2. 对于A，e＝，故A错误； 对于B，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，故B正确； 对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，故C错误； 对于D，|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，故D正确. 10.下列说法正确的是(　　) A. 直线在y轴上的截距为 B. 若直线与直线相互垂直，则 C. 存在，使得直线与椭圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最短为2 【答案】　AB 【详解】对于A，直线即，纵截距为－1，A选项正确； 对于B，∵l1⊥l2，∴1×1＋(a－1)·2＝0⇒a＝，B选项正确； 对于C，直线y＝k(x－1)恒过点(1，0)，又<1，即点(1，0)在椭圆的内部，∴直线y＝k(x－1)与椭圆＝1一定相交，C选项错误； 对于D，当直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l：x＝1，直线l被圆C截得的弦长为2＝2，但此时直线l的斜率不存在，不符合题意，故D错误 11.已知是抛物线的焦点, 是上一点, 为原点.则(　　) A.若焦点，则 B. C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 直线经过焦点与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，如果△面积的最小值为，则 【答案ACD 【详解】对于A，由题意得=2,则p=4,A正确; 对于B，设，则,，又,所以|MF|≥|OF|,B错误; 对于C，由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等,故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确; 对于D，由题设，令，联立抛物线得，显然， 所以，， 法一：，由到的距离， 所以，当且仅当时等号成立， 所以 法二：，当且仅当时等号成立 即 法三：由抛物线焦点三角形面积公式得得： ，即 所以D正确 三、填空题:本题共3小题,每题5分,共15分. 12.双曲线的渐近线方程为 【答案】 【详解】由得，，所以，焦点在轴 所以渐近线方程为， 13.若，则函数的值域为 【答案】 【详解】由，得，则的值域为 14.由阿基米德得著作《关于圆锥和球体》可知，椭圆得面积等于圆周率与椭圆的长半轴和短半轴长的乘积，即。已知椭圆的离心率为，分别为其左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为，则椭圆的面积为 【答案】 【详解】因为，且△的面积为，所以，则即所以 又的离心率为，所以，解得从而 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）; （2）,则； （3），则 16.（15分）已知的斜边为，且，求： （1）若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; （2）求直角顶点的轨迹方程. 【答案】(1) 或 (2) (x－1)2＋y2＝4(y≠0) 【详解】（1）设直线的斜率为，所以， 所以直线的方程为，即（或） (2)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 方法二　设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 17.（15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4 (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点两点，若，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (x－1)2＋y2＝4(y≠0) 【详解】（1）抛物线的焦点F，准线方程为x＝－， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为＝p＝4，∴抛物线的方程为. (2)证明：设， 联立消去x，整理得，Δ>0， 由km≠0可知k≠0且m≠0， 由根与系数的关系可知，＝·， 由·＝0，即，即 ＝0， 即m＝－8k，直线l：y＝kx－8k，故直线l过定点(8，0). 18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线与椭圆C交于M，N两点． （1）求的取值范围； （2）若求的值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（1） （2） 【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可知，即 又椭圆过点，故 椭圆的方程为 （Ⅱ）联立得．设 （1）易知，解得 （2）由（1）知，，解得，． 19.（17分）已知圆，圆．若动圆与圆外切，与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若P为直线与轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线过且与曲线C交于A，B两点，求证： ①； ②设直线，，的斜率分别为，求证． 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【详解】（1）易知圆心，圆心对于，圆心，半径，对于，圆心，半径，显然，即两圆外离，如下图示， 由动圆M与圆外切，与圆内切，令圆M的半径为，则，， 所以，显然，即动圆圆心M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，故动圆圆心M的轨迹方程为. （2）①由题设且，令，设， 联立，消得， 由，知，又， 所以，， 则，且有， 故 ，所以，得证. ②由①知，， 所以 ，所以 学科网（北京）股份有限公司 $