精品解析：浙江温州市温州实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

国庆自主学习反馈（数学卷） 2026.10 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵（）， ∴等式两边同时除以6，得 . 2. 顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点式，关键是掌握顶点式参数的意义．由顶点设顶点式，由开口、形状与相同，得，从而确定解析式． 【详解】抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 开口方向、形状与函数的图象相同， ， 抛物线解析式为． 故选：． 3. 如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 5. 如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（ ） A. 2.5 m B. 2.75 m C. 3.5 m D. 3.75 m 【答案】A 【解析】 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，，  ，   由镜面反射，可知， ，  ，   ，，，  ，  . 故路灯的高度为. 6. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值表如下所示： 则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数图象与轴交点和方程根的对应关系，通过函数值由负变正的自变量区间确定根的范围． 【详解】解：当时，． 当时，． ∵，二次函数的图象是开口向上的抛物线， ∴在范围内，存在使得． 即方程的一个根的取值范围为． 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 二次函数的最小值为1 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 二次函数图象与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】由得二次函数对称轴在轴左侧，结合开口方向、判别式等逐一判断各选项. 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴ ，图象开口向上， 对称轴为直线， 顶点纵坐标为. ∵ ， ∴ ，即对称轴在轴左侧. 对A选项： ∵ ， ∴ ， ∴ 函数最小值不为1，A错误. 对B选项： ∵ 对称轴为直线， ∴ B错误. 对C选项： ∵ 判别式， 当时，，图象与轴无交点， ∴ C错误. 对D选项： ∵ 图象开口向上，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大. ∵ 满足， ∴ 当时，随的增大而增大，D正确. 9. 如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的面积为，边上的高为，由为的重心，则连接并延长交于点，则为的中点，且，证明，则，证明点D到的距离为，得到中边上的高等于点D到的距离，即为，据三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：设的面积为，边上的高为， ∵为的重心， ∴连接并延长交于点，则为的中点，且， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴点D到的距离为， ∵，点在上， ∴中边上的高等于点D到的距离，即为， ∴， ∴． 10. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（ ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用交点坐标求出的值确定解析式，再根据二次函数性质及坐标计算逐一判断四个结论． 【详解】解：把代入得， ， 解得， ． ①， ， ，故正确； ②令，得， 解得， ， ， 令，得， 解得， ， ， ，故②正确； ③令，得， ， ， 与互相垂直平分且， 四边形为正方形，故③正确； ④， ， 随的增大而减小，故④不正确． 综上所述，正确的结论有3个． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标为____________． 【答案】（0，－4） 【解析】 【分析】抛物线与y轴的交点即令x=0, 抛物线与x轴的交点即令y=0,据此解题． 【详解】解：由题意：令x＝0时，则y＝－4， ∴与y轴的交点坐标为（0，－4） 故答案：（0，－4）． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12. 已知线段，，则，的比例中项线段为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据比例中项的定义列方程求解，注意线段长度为正数，需舍去负解． 【详解】解：设线段，的比例中项为， ∴， 解得或， ∵线段的长度为正数， ∴舍去， 因此，的比例中项线段为． 13. 如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由于和有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件． 【详解】解：∵， ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 某运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图，则足球到达最高点所需的时间是__________s． 【答案】2 【解析】 【分析】观察函数图象，发现抛物线经过纵坐标相同的两点和，利用二次函数图象的对称性，对称轴的横坐标即为足球到达最高点的时间． 【详解】解：由图象可知，抛物线经过点和， ∵点和的纵坐标相等， ∴这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵足球到达最高点时对应抛物线的顶点，顶点在对称轴上， ∴足球到达最高点所需的时间是． 15. 已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规则得到平移后点的坐标，代入二次函数解析式列方程，结合舍去负根得到结果． 【详解】解：根据点的平移规则，点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，得到的新点坐标为． ∵新点在二次函数的图象上， ∴将，代入解析式得： 展开整理得： 因式分解得 解得， ∵ ∴舍去，得． 16. 如图，矩形中，，连接，的中点，矩形矩形，则的长为__________；连接，，作矩形使其顶点都在的边上，当点，，三点共线时，矩形的面积为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】第一问根据相似矩形对应边成比例列方程求解；第二问设矩形的宽，长，利用表示出与的关系，再利用三点共线及平行线分线段成比例（或相似三角形）建立关于的方程求解． 【详解】解∶矩形矩形， ， ∵E为的中点， ∴ 设，则， ， ， ， ， 即 四边形是矩形，分别是的中点， ，，，， 设矩形中，， ， 四边形是矩形，矩形,矩形， ， ， ， 即， ， 连接，如图 ，点，，三点共线， ， ， 即， ， ， ，即， ， ， ， 将代入上式得 ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 矩形的面积 ． 三、解答题（本题有6小题，共56分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 若抛物线经过点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为. 【小问2详解】 解：令，则， 因式分解得， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和. 18. 如图，每个小方格均为正方形，，，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）与方格线相交于点，则__________． （2）请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理的应用求解即可． （2）通过构造格点连线得到满足比例关系的点，使得，根据（1）的结论要使，根据平行线分线段成比例的逆定理． 【小问1详解】 解：过点分别作水平线(平行于方格横向边的直线)， 两条水平线与过点的竖直线相交， 结合方格的单位长度特性，可得平行线分线段得到的对应线段比例为， 根据平行线分线段成比例定理，线段被点分割后， 两段的长度比等于对应平行线段的比例， 所以． 【小问2详解】 详解见答案． 19. 如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接，． （1）求证：． （2）若为的中点，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ∴， ，，且， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）通过相似三角形的性质得到角的关系，再根据等腰三角形的判定来得出结论． （2）先根据中点的性质求出的长，再由（1）的结论得到的长，最后根据相似三角形的对应边成比例列式求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的中点，， ∴， 由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 即的长为． 20. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表． 根据表格信息解答下列问题： x … 0 1 m 3 … y … 0 1 0 … （1）__________． （2）根据上表描点画出函数图象． （3）结合图象，请直接写出：当时，y的取值范围是__________． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性求出的值即可． （2）根据表格数据绘制函数图象即可． （3）结合图象确定的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，当和时，值都为， 所以对称轴为直线， 因为与关于对称轴对称， 所以得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，的取值范围是； 21. 如图，中，为上一点，． （1）若，，，求的周长． （2）如图2，过点作，交于点，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若的面积为2，当__________时，的面积最大值为__________．（直接写出答案） 【答案】（1）6 （2）①，②， 【解析】 【分析】分析片段（1）先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出和的长度，最后计算的周长． （2）①先根据得到，再结合求出的值． ②先求出与面积的关系，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∴， ∵，，， 已知，，，代入， 可得：，解得， 代入，可得：，解得， ∴的周长为． 的周长为6． 【小问2详解】 ①解：∵， ， 由（1）知， ，即， 设，则， ，即， ， ． ②∵，设，，， ∴，∴， 又，，， 与同高，面积比等于底之比：， ， 令，，二次函数开口向下，顶点在， 即，可得（长度正数，舍去负根）， ∴， 此时最大值：． 22. 已知抛物线，点的坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）若抛物线过点，求的最小值． （3）当时，有恒成立，则的取值范围为__________．（直接写出答案） 【答案】（1） （2） （3）且． 【解析】 【分析】（1）配方成顶点式，即可求解； （2）求得，代入得，再利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，求解即可 【小问1详解】 解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：把代入，得 ， ∵， ∴， ∴ ， ∵开口向上， ∴当时，取得最小值； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，即，且， 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， ∵， ∴； ②当时：， 原不等式变为，这个式子永远成立，a可以取任意不为0的实数； ③当时，， ∴， ∵， ∴； 综上，的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 国庆自主学习反馈（数学卷） 2026.10 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（ ） A. 2.5 m B. 2.75 m C. 3.5 m D. 3.75 m 6. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值表如下所示： 则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 二次函数的最小值为1 B. 二次函数图象的对称轴为 C. 二次函数图象与轴有两个交点 D. 当时，随的增大而增大 9. 如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（ ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线与y轴的交点坐标为____________． 12. 已知线段，，则，的比例中项线段为__________． 13. 如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是________．（只写一个） 14. 某运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图，则足球到达最高点所需的时间是__________s． 15. 已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，则__________． 16. 如图，矩形中，，连接，的中点，矩形矩形，则的长为__________；连接，，作矩形使其顶点都在的边上，当点，，三点共线时，矩形的面积为__________． 三、解答题（本题有6小题，共56分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 若抛物线经过点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）求抛物线与轴的交点坐标． 18. 如图，每个小方格均为正方形，，，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）与方格线相交于点，则__________． （2）请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 19. 如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接，． （1）求证：． （2）若为的中点，，，求的长． 20. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表． 根据表格信息解答下列问题： x … 0 1 m 3 … y … 0 1 0 … （1）__________． （2）根据上表描点画出函数图象． （3）结合图象，请直接写出：当时，y的取值范围是__________． 21. 如图，中，为上一点，． （1）若，，，求的周长． （2）如图2，过点作，交于点，记． ①求的值（用含x的代数式表示）． ②若的面积为2，当__________时，的面积最大值为__________．（直接写出答案） 22. 已知抛物线，点的坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）若抛物线过点，求的最小值． （3）当时，有恒成立，则的取值范围为__________．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $