第3章·圆·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第3章·圆·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的有关概念，掌握点与圆、直线与圆的位置关系判定 · 掌握垂径定理及其推论，能进行弦、半径、弦心距的计算 · 掌握圆心角、弧、弦关系与圆周角定理，能进行角与弧的换算 · 掌握圆内接四边形性质、正多边形与圆、三角形外接圆与切线判定 · 会计算弧长、扇形面积与圆锥侧面积，解决综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的基本概念与位置关系 圆：到定点距离等于定长的点的集合，半径 r 点与圆：d<r 内、d=r 上、d>r 外 弦、直径、弧（优弧/劣弧/半圆）、圆心角、圆周角 等弧：同圆或等圆中能互相重合的弧 概念辨析例题：已知⊙O 的半径为 5，线段 OP=3，则点 P 与⊙O 的位置关系是 答案：点 P 在圆内 解析：d=OP=3<r=5，故点 P 在圆内 ☆ 2.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧 推论：平分非直径弦的直径垂直于弦 计算模型：半径 r、弦心距 d、半弦长 a 满足 r2=d2+a2 常与勾股定理、方程思想结合 概念辨析例题：⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，则圆心 O 到弦 AB 的距离为 答案：3 解析：半弦长=4，弦心距==3 ☆ 3.圆心角、弧、弦与圆周角 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量一组相等则其余都相等 圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径 同弧或等弧所对圆周角相等；圆内接四边形对角互补 概念辨析例题：如图，A、B、C 在⊙O 上，∠AOB=80°，则圆周角∠ACB=多少度 答案：40° 解析：同弧 AB 所对圆周角是圆心角的一半，∠ACB==40° ☆ 4.切线、外接圆与弧长扇形 切线判定：经过半径外端且垂直于这条半径；切线性质：切线垂直于过切点的半径 三角形外接圆：三边垂直平分线交于外心，直角三角形外心在斜边中点 弧长公式：l=；扇形面积：S==lr 圆锥侧面积：S=πrl（l 为母线长），侧面展开图是扇形 概念辨析例题：圆锥的母线长为 6，底面半径为 2，则圆锥的侧面积为 答案：12π 解析：S侧=πrl=π×2×6=12π 📋 知识总结表 核心概念 公式/定理 注意事项 点与圆 d<r 内 / d=r 上 / d>r 外 d 为点到圆心距离 垂径定理 r2=d2+a2 a 为半弦长 圆周角 圆周角=圆心角 同弧所对 直径性质 直径所对圆周角=90° 见直径想直角 弧长 l= n 为圆心角度数 扇形面积 S==lr 可与弧长互推 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点与圆的位置关系（第1-5题） · 点与圆位置由 d 与 r 的大小判定 · 弦、直径、弧、等弧概念辨析 · 直径是最长的弦 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 2．（24-25九年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】判断确定圆的条件、圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件、弦的定义，三角形外形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义，三角形外形的性质一一判断即可． 【详解】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意； ②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意； ③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误，符合题意； ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故⑤错误，符合题意； 故不正确的有①②③⑤， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：连接，如下图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， 在直角中，， ∴， 由图可知，的取值范围为：， 故答案为：． 【考点2】垂径定理（第6-10题） · 过圆心作弦的垂线构造直角三角形 · r2=d2+a2 模型直接套用 · 多解问题注意弦在圆心同侧或异侧 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题、用勾股定理解三角形 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 8．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 9．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】根据垂径定理得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵的直径弦，， ∴， ∴． 10．（2022·江苏徐州·三模）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 【考点3】圆心角、弧、弦与圆周角定理（第11-21题） · 见直径想 90°圆周角 · 同弧所对圆周角相等进行角的转化 · 圆心角与圆周角二倍关系直接换算 11．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 13．（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 14．（2022·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 15．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 16．（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】根据圆周角是圆心角的一半即可得，根据是直径可知，，根据等腰直角三角形可知，，进而根据角度关系即可求解． 【详解】， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 17．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、圆周角定理 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 18．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 19．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 20．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 21．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，是的直径，点在同一半圆上，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点4】圆内接四边形与正多边形（第22-25题） · 对角互补是圆内接四边形核心性质 · 正 n 边形每边所对圆心角= · 边长、半径、边心距构成直角三角形 22．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，点O是正八边形的外接圆的圆心，的半径为1．关于结论①、②，下列判断正确的是（    ） ①；②图中阴影部分的面积为 A．①、②都对 B．只有①对 C．①、②都不对 D．只有②对 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形性质，圆的相关性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 对于①：连接，根据是正八边形的外接圆，求出，再求出即可判断①是错误的；对于②：运用，算出阴影部分的面积，即可判断②是正确的，从而得出正确答案． 【详解】解：对于①：连接， ∵是正八边形的外接圆， ∴， ∴， ∴①说法错误； 对于②：连接，， ∵是正八边形的外接圆， ∴， ∴， ∵的半径为1， ∴， ， ∴， ∴②说法正确； 故选：D． 23．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解． 【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 24．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出． 【详解】解：连接，，， 正方形与等边内接于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D 25．（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、正多边形和圆的综合、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．连接、，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图∶连接、，则， 是内接正十边形的一条边， ． ∶． 由切线的性质可得， ． 故选∶B． 【考点5】三角形外接圆与切线（第26-35题） · 切线判定：连半径证垂直；切线性质：见切点连半径 · 直角三角形外心在斜边中点 · 切线长相等，常构造全等或勾股 26．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为，根据切线长定理得到，求出，进而得到，求出，从而求出，再根据，设，则，由，求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，设四边形的内切圆切点分别为， ∴， ∴， ∵四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 27．（2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了正方形的性质、圆的基本概念、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，利用平行线的性质得到，得出，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， 正方形的边长为． 故选：B． 28．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、切线的性质定理 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 29．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三角形外接圆的圆心位置、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ． ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 30．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，若D是的中点，则点E到的距离为______． 【答案】 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、两条平行线之间的距离处处相等、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点，连接、，由切线的性质得，则，由，，得，，，所以，则，由，，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接、， 与相切于点， ， ， ，， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， 解得， ， 点到的距离为． 故答案为：． 31．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、切线的性质定理、判断直线和圆的位置关系 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 32．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为________． 【答案】3或 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次方程的根，注意分类讨论．先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或 ∴，， ①当直角边分别为2，6时，斜边为， ∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长， ∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为； ②当斜边为6时， 此时直角三角形外接圆直径为6，半径为3， 故答案为：3或． 33．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，于C，，，，与直线都相切，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线长定理的应用，是基础知识要熟练掌握．设与的切点分别为D、F、E；由切线长定理可得：，，；可用分别表示出的长，根据，得出的表达式；连接；易证得四边形是正方形，即，由此可求出的半径． 【详解】解：设与的切点分别为D、F、E；连接， 、是的切线， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形，即， 设，则， 由切线长定理，得， 则，，即，故的半径为． 故选：B． 35．（24-25八年级上·全国·随堂练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为____________________． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 【考点6】弧长、扇形与圆锥（第36-39题） · 弧长 l= · 扇形 S==lr · 圆锥侧面展开为扇形，母线即扇形半径 36．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是______cm． 【答案】 【知识点】求扇形半径、求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是熟练掌握圆锥及其侧面展开图中相关量之间的关系．根据圆锥底面周长等于扇形弧长建立方程求解即可． 【详解】解：设扇形纸板的半径为 ， 扇形的圆心角为，圆锥的底面半径是， 根据圆锥底面周长等于扇形弧长可得，， 解得，． 答：这个扇形纸板的半径是． 故答案为：． 37．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 38．（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角，再由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得， 解得， ∴扇形卡纸的圆心角的度数为， ∴面积为：． 39．（2026·江苏扬州·三模）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是______． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】先根据直径求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积半径母线，计算即可． 【详解】解：由图知，底面直径为，母线长为， 则底面半径为， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：半径、弦、弧、圆心角、圆周角分清 · 垂径过关：作垂线构直角三角形，勾股计算 · 角弧过关：圆周角=圆心角一半，直径对直角 · 切线过关：连半径证垂直，切线长相等 · 计算过关：弧长扇形圆锥公式别张冠李戴 【作业1】．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求其他不规则图形的面积、利用垂径定理求值、含30度角的直角三角形、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质、扇形面积计算．连接，设交于F点，由，求出，利用直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接，设交于F点，如图， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴，，围成的图形的阴影面积为． 故选：C． 【作业2】．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的周长和面积问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查圆的面积公式，勾股定理逆定理．根据题意结合圆的面积公式求出三角形三边长，再结合勾股定理逆定理证明该三角形为直角三角形是解题关键．由题意可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为．再根据圆的面积公式可求出，，，根据勾股定理逆定理可判断这个三角形为直角三角形，再计算其面积即可． 【详解】解：∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 【作业3】．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 【作业4】．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度、利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 【作业5】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当时，阴影部分的面积为_____． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、圆的周长和面积问题、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再分别求出以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积以及的面积，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， ， ∴， 故答案为：． 【作业6】．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为__________． 【答案】20 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 【作业7】．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【知识点】求扇形半径、几何问题(一元一次方程的应用)、求扇形面积 【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 【作业8】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的推论 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 【作业9】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）直角三角形的两条边分别为和，则其外接圆半径长为_____． 【答案】6.5或6 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半．先确定该直角三角形的斜边长，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径． 【详解】解：∵直角三角形的两条边分别为和， ∴当斜边长为时，其外接圆半径长为 当和为直角边长时，斜边长为， ∴其外接圆半径长为； 故答案为：6.5或6． 【作业10】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为 (2)该船不能安全穿过桥洞， 理由如下：如图，在矩形中，、交于点，，连接， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 该船不能安全穿过桥洞． 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并理解题意． （1）连接，设与交于点，由题意可得：，，，根据垂径定理求出，设半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理和勾股定理求出当船宽时允许通过的最大高度，再与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点， 由题意可得：，，， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， 即此圆弧形拱桥的半径为； （2）略 【作业11】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）（1）请用直尺和圆规过外一点E做的一条切线，切点为A．（保留作图痕迹） （2）在（1）中，连接交于C，作弦垂直于半径，垂足为D，若，且点C是的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）如图为的切线； （2） 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、求其他不规则图形的面积、利用垂径定理求值 【分析】本题考查作圆的切线，垂直平分线的性质，求不规则图形的面积，熟练掌握求不规则图形的面积方法是解题关键； （1）连接，作的垂直平分线于交于点，以为半径作，与交于点，连接即为所求； （2）连接，根据点是的中点，得到，进而可得是等边三角形．再结合垂径定理，根据，即可求解． 【详解】解：（1）连接，作的垂直平分线交于点，以为半径作，与交于点，连接即为所求，作图如下： ∵作的垂直平分线于交于点，以为半径作， ∴为的直径， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，连接． 在中，点是的中点，， ， ， 是等边三角形． 又弦垂直于半径． ． ． 【作业12】．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，即，． ∵是的中点， ∴． 同理可得：，，． ∴． ∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上， 即，，，四点在同一个圆上． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系、利用菱形的性质证明 【分析】先根据菱形的性质，结合直角三角形斜边上中线的性质证得，同理可证得，，，再根据点与圆的位置关系求解． 【详解】略 【作业13】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为 (1)请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____ (2)该圆的半径为_____ (3)若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____ 【答案】(1) 解：如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心， ∴圆心的坐标为； (2) (3) 【知识点】坐标与图形综合、已知两点坐标求两点距离、判断三角形外接圆的圆心位置、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，确定圆心的位置，圆的基本性质等等： （1）如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心，据此求出点P的坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）根据的长为的半径长结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴该圆的半径为； （3）解：设， ∵点为上一点， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·圆·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的有关概念，掌握点与圆、直线与圆的位置关系判定 · 掌握垂径定理及其推论，能进行弦、半径、弦心距的计算 · 掌握圆心角、弧、弦关系与圆周角定理，能进行角与弧的换算 · 掌握圆内接四边形性质、正多边形与圆、三角形外接圆与切线判定 · 会计算弧长、扇形面积与圆锥侧面积，解决综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的基本概念与位置关系 圆：到定点距离等于定长的点的集合，半径 r 点与圆：d<r 内、d=r 上、d>r 外 弦、直径、弧（优弧/劣弧/半圆）、圆心角、圆周角 等弧：同圆或等圆中能互相重合的弧 概念辨析例题：已知⊙O 的半径为 5，线段 OP=3，则点 P 与⊙O 的位置关系是 答案：点 P 在圆内 解析：d=OP=3<r=5，故点 P 在圆内 ☆ 2.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧 推论：平分非直径弦的直径垂直于弦 计算模型：半径 r、弦心距 d、半弦长 a 满足 r2=d2+a2 常与勾股定理、方程思想结合 概念辨析例题：⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，则圆心 O 到弦 AB 的距离为 答案：3 解析：半弦长=4，弦心距==3 ☆ 3.圆心角、弧、弦与圆周角 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量一组相等则其余都相等 圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径 同弧或等弧所对圆周角相等；圆内接四边形对角互补 概念辨析例题：如图，A、B、C 在⊙O 上，∠AOB=80°，则圆周角∠ACB=多少度 答案：40° 解析：同弧 AB 所对圆周角是圆心角的一半，∠ACB==40° ☆ 4.切线、外接圆与弧长扇形 切线判定：经过半径外端且垂直于这条半径；切线性质：切线垂直于过切点的半径 三角形外接圆：三边垂直平分线交于外心，直角三角形外心在斜边中点 弧长公式：l=；扇形面积：S==lr 圆锥侧面积：S=πrl（l 为母线长），侧面展开图是扇形 概念辨析例题：圆锥的母线长为 6，底面半径为 2，则圆锥的侧面积为 答案：12π 解析：S侧=πrl=π×2×6=12π 📋 知识总结表 核心概念 公式/定理 注意事项 点与圆 d<r 内 / d=r 上 / d>r 外 d 为点到圆心距离 垂径定理 r2=d2+a2 a 为半弦长 圆周角 圆周角=圆心角 同弧所对 直径性质 直径所对圆周角=90° 见直径想直角 弧长 l= n 为圆心角度数 扇形面积 S==lr 可与弧长互推 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点与圆的位置关系（第1-5题） · 点与圆位置由 d 与 r 的大小判定 · 弦、直径、弧、等弧概念辨析 · 直径是最长的弦 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 2．（24-25九年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 5．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是__________． 【考点2】垂径定理（第6-10题） · 过圆心作弦的垂线构造直角三角形 · r2=d2+a2 模型直接套用 · 多解问题注意弦在圆心同侧或异侧 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 9．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，的直径弦，垂足为点，，则______． 10．（2022·江苏徐州·三模）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【考点3】圆心角、弧、弦与圆周角定理（第11-21题） · 见直径想 90°圆周角 · 同弧所对圆周角相等进行角的转化 · 圆心角与圆周角二倍关系直接换算 11．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 14．（2022·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 15．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 18．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 19．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 20．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 21．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，是的直径，点在同一半圆上，，则的度数为______． 【考点4】圆内接四边形与正多边形（第22-25题） · 对角互补是圆内接四边形核心性质 · 正 n 边形每边所对圆心角= · 边长、半径、边心距构成直角三角形 22．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，点O是正八边形的外接圆的圆心，的半径为1．关于结论①、②，下列判断正确的是（    ） ①；②图中阴影部分的面积为 A．①、②都对 B．只有①对 C．①、②都不对 D．只有②对 23．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 24．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 25．（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点5】三角形外接圆与切线（第26-35题） · 切线判定：连半径证垂直；切线性质：见切点连半径 · 直角三角形外心在斜边中点 · 切线长相等，常构造全等或勾股 26．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 27．（2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 29．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 30．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，若D是的中点，则点E到的距离为______． 31．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 32．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为________． 33．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 34．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，于C，，，，与直线都相切，则的半径为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·全国·随堂练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为____________________． 【考点6】弧长、扇形与圆锥（第36-39题） · 弧长 l= · 扇形 S==lr · 圆锥侧面展开为扇形，母线即扇形半径 36．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）为了表演课本剧，小明同学用圆心角为的扇形纸板，制作了一个底面半径是的圆锥形生日帽道具．在不考虑接缝的情况下，这个扇形纸板的半径是______cm． 37．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 38．（2026·湖南长沙·三模）草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______． (结果含π) 39．（2026·江苏扬州·三模）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是______． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：半径、弦、弧、圆心角、圆周角分清 · 垂径过关：作垂线构直角三角形，勾股计算 · 角弧过关：圆周角=圆心角一半，直径对直角 · 切线过关：连半径证垂直，切线长相等 · 计算过关：弧长扇形圆锥公式别张冠李戴 【作业1】．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【作业3】．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【作业4】．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当时，阴影部分的面积为_____． 【作业6】．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为__________． 【作业7】．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【作业8】．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【作业9】．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）直角三角形的两条边分别为和，则其外接圆半径长为_____． 【作业10】．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州是一座拥有多年历史的文化名城，苏州古城坐落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面宽度时，拱顶高出水平面． (1)求此圆弧形拱桥的半径； (2)若有一艘宽的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【作业11】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）（1）请用直尺和圆规过外一点E做的一条切线，切点为A．（保留作图痕迹） （2）在（1）中，连接交于C，作弦垂直于半径，垂足为D，若，且点C是的中点，求图中阴影部分的面积． 【作业12】．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 【作业13】．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为 (1)请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____ (2)该圆的半径为_____ (3)若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____ 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $