精品解析：江苏镇江市句容市玉清集团2026—2027学年第一学期阶段性学习评价九年级数学 卷

2026－2027学年度第一学期九年级数学课堂练习试卷 满分：120分 考试时间：100分钟 日期：2026.10 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则该反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 8. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 10. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13. 用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 14. 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟． 15. 如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 16. 已知都是质数，且，，试求________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列一元二次方程 （1）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 18. 用配方法求的最大值，并求此时x的值． 19. 已知关于x的方程．若，是方程的两根． （1）当时，求m的值； （2）直接写出代数式的最小值． 20. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）直接写出反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出 的x取值范围 （3）当时，求的面积． 22. 黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． （1）当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． 23. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； （3）m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 24. 如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数解析式； （2）若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 25. 【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期九年级数学课堂练习试卷 满分：120分 考试时间：100分钟 日期：2026.10 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若点在函数的图象上，则横纵坐标之积等于2．由于点在函数的图象上，则，据此逐项判断横纵坐标之积是否等于2即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． A、，故点不在该反比例函数图象上； B、，故点不在该反比例函数图象上； C、，故点在该反比例函数图象上； D、，故点不在该反比例函数图象上． 4. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每次降息的百分率为x，根据经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降低至列方程即可． 【详解】解：设平均每次降息的百分率为x，经过一次降息是，经过两次降息，是， ∴可得：． 5. 如图点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则该反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再代入表达式求出即可． 【详解】解：∵点P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ， 把代入，则， ∴． 6. 若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 7. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 8. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 13. 用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 14. 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟． 【答案】12 【解析】 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 15. 如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 16. 已知都是质数，且，，试求________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17. 解下列一元二次方程 （1）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 18. 用配方法求的最大值，并求此时x的值． 【答案】当x=﹣1时，的最大值为4． 【解析】 【分析】提出公因数，将二次项系数化为1，根据配方法的步骤对原式进行整理，配上一次项系数一半的平方，后面再减去一次项系数一半的平方，整理之后根据平方的非负性即可求解． 【详解】解： = = = ∵， ∴， ∴当x=﹣1时，的最大值为4． 【点睛】本题考查配方法的应用和平方的非负性，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 19. 已知关于x的方程．若，是方程的两根． （1）当时，求m的值； （2）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）； （2）0 【解析】 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入方程，得， ． 【小问2详解】 解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 20. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为 【解析】 【分析】设车道宽为，用含的式子表示停车位矩形的长和宽，根据面积列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的根． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位可合成长为，宽为的矩形，根据题意得： ， 整理得：， 解得：，， ∵停车场的长为， 又∵，不符合实际意义， ∴， 答：停车场内车道的宽度为． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）直接写出反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出 的x取值范围 （3）当时，求的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 22. 黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． （1）当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． 【答案】（1）18元 （2）解：不能达到，理由如下： 假设杨梅每千克降价元，采摘基地每天所获得的销售额能达到6500元． 由题意得． 整理得． ， ∴方程没有实数根，该采摘基地每天所获得的销售额无法达到6500元． 【解析】 【分析】（1）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程求解即可； （2）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式确定是否有解． 【小问1详解】 解：设杨梅每千克降价元． 由题意得． 解得，． 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）． 答：当杨梅每千克定价为18元时，每天能获得6300元的销售额． 【小问2详解】 略 23. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； （3）m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）观察定义可知，一组“倒方程”之间，二次项系数与常数项互换，一次项系数相同，根据此规则求解即可． （2）先列出原方程的“倒方程”，再将代入原方程的“倒方程”后即解出常数项． （3）同样先列出原方程的“倒方程”，将代入，再将方程变形后整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：根据新定义，方程的倒方程是：． 【小问2详解】 解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． 【小问3详解】 解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 24. 如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数解析式； （2）若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点横坐标代入分段一次函数对应解析式求出点纵坐标，再把点坐标代入反比例函数，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）联立反比例函数与对应的一次函数解析式求出交点坐标；作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为使最小的点；利用待定系数法求直线解析式，求出点坐标；再求射线与轴交点的坐标，算出线段长度，结合点纵坐标作为三角形的高，代入三角形面积公式计算的面积． 【小问1详解】 解：把点代入得，， ， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由， 解得或， ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， 当的值最小时的面积为． 25. 【回归课本】设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． ①直接写出实数k的取值范围________________； ②是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由； 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值； 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元三次方程根与系数的关系； （1）①利用根的判别式建立不等式求解即可；②利用根与系数的关系建立等式进行解方程即可； （2）利用材料中的根与系数的关系得到，然后利用配方法求最值就可． 【详解】解：（1）①解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ， ∴， ∴； 故答案为 ②解：∵，是原方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或； 又∵， ∴ （2）∵一元三次方程有三个根，，， ，，， ，， ， ∵，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $