精品解析：江苏省镇江市句容市崇明中学等校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

九年级数学第一次限时练习 说明：1．试卷共6页，满分120分．考试时间100分钟． 2．考生必须在答题纸上指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 一、选择题（每小题3分，共10题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵的半径是，线段的长为， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 3. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 5. 如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 6. 已知代数式－m2＋4m－4，无论m取任何值，它的值一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式分解因式进而利用偶次方的性质分析得出即可． 【详解】∵－m2＋4m－4=-（m2-4m+4）=-（m-2）2， （m-2）2≥0， ∴-（m-2）2≤0， 故选C． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 8. 下列说法：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④方程的两个实数根之积为．你认为正确的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等弧的定义，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，根的判别式．熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据等弧的定义对①进行判断；根据圆的概念对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系定理对③进行判断；根据根的判别式对④进行判断． 【详解】解：长度相等的弧不一定是等弧，能完全重合的弧是等弧，所以①错误； 直径是圆中最大的弦，所以②正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误； 方程中，故没有实数根，所以④错误． 故选：B． 9. 如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造垂径是解题的关键． 如图：连接，设该圆的半径为r，则，由题意可得：，然后代入得到关于r的方程求解，进而求得圆的直径． 【详解】解：如图：连接，设该圆的半径为r，则， 由题意可得：， ∴，解得：， ∴圆形拱门的直径是米． 故选D． 10. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共6题） 11. ______________________． 【答案】 ①. 25 ②. 5 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握添加的常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．根据完全平方公式求解． 【详解】解：． 故答案为：25，5． 12. 等腰三角形的底边长为7，腰长是方程的一个根，则这个三角形的周长为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键． 先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 腰长为3时，三条边长为7，3，3，，不能组成三角形，不合题意； 腰长为6时，三条边长为7，6，6，能组成三角形，周长为：， 故答案为：19． 13. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 14. 若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式，一元二次方程的解． 由一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而可得，结合，即可得的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 15. 平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 16. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】圆心为A，设半径为R，大正方形边长是，根据图形可得，，利用勾股定理列出方程求解，然后代入勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示，圆心为A，设半径为R，大正方形边长是 ∵正方形的两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧， ， ∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， 由勾股定理得： ， 即， 解得：，（负值舍去） ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查圆的基本性质及勾股定理解三角形，正方形的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 三、解答题 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由得， ∴这个方程总有两个实数根； （2）m的值为4，方程的另一个根为1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，通过根求系数，解一元二次方程等内容，解题的关键是掌握一元二次方程的求解． （1）根据根的判别式列出代数式，利用完全平方公式进行整理，然后可得结论； （2）将根代入原方程即可求出参数，然后利用因式分解法求一元二次方程的解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴或 ∴，， ∴m的值为4，方程的另一个根为1． 19. 如图，点、、、都在上，若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】略 20. 如图，是的直径，是的一条弦，延长与的延长线相交于点 P，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． 连接，假设，利用等边对等角，三角形的外角性质表示出相关的角，利用三角形的内角和定理和角的和差表示出的度数，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 假设， ∵， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的度数为． 21. 如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再用米长的篱笆围三面，形成一个矩形花园（院墙长米）. （1）设米，则___________米； （2）若矩形花园的面积为平方米，求篱笆的长. 【答案】（1）；（2）15米 【解析】 【分析】（1）根据题意知道的长度=篱笆总长-列出式子即可； （2）根据（1）中的代数式列出方程，解方程即可. 【详解】解：（1）， （2）根据题意得方程：， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，（符合题意）． 答：花园面积为米时，篱笆长为米． 【点睛】本题主要考查列代数式、一元二次方程的应用，注意篱笆只围三面有一面是墙. 22. 如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有_________ 条． 【答案】（1）如图所示：点O即为所求； （2）如图所示：AB，CD即为所求； （3）4． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而求出即可； （2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案； （3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为9cm，的有两条． 试题解析：（1）略 （2）略 （3）如图：连接DO， ∵OP=3cm，DO=5cm， ∴在Rt△OPD中，DP=（cm）， ∴CD=8cm， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：4条． 考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理． 23. 中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售． （1）为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长． （2）经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒元进行销售，每天可售出盒；每盒的售价每涨元，销售量将减少盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价． 【答案】（1）该展牌的长为 （2）该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该展牌的长为，则宽为，根据面积为，建立方程，解方程即可求解． （2）设每盒售价在原价元基础上涨了元，则新售价为元，根据题意建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设该展牌的长为，则宽为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该展牌的长为． 【小问2详解】 解：设每盒售价在原价元基础上涨了元，则新售价为元，根据题意得， 解得：或（舍去） 所以售价为元， 答：该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价为元． 24. 【观察思考】 观察下列图案与对应的等式： 第1个图案：第1个等式：； 第2个图案：第2个等式：； 第3个图案：第3个等式： 第4个图案：第4个等式：； 【总结规律】 （1）第个图案对应的等式为 ． （2）第个图案对应的等式为 ． 【问题解决】 （3）某广场在一片空地上按第个图案铺设方砖，铺设面积为．采用的白色正方形方砖和灰色正方形方砖的边长均为，则该空地边缘的一圈方砖中，白色方砖有多少块？ 【答案】（1）（2）（3）39 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用等知识． （1）根据图案与对应的等式即可得出第个图案对应的等式． （2）根据给出的图案对应的等式总结规律即可． （3）根据（2）中的规律得出令，解出n的值，即可得出第20个图案铺设方砖的图形结构，再计算空地边缘的一圈方砖中白色方砖的数量即可． 【详解】解：（1）第个图案对应的等式为， （2）第个图案对应的等式为 （3）令， 解得：，（舍去） 则， 故该空地边缘的一圈方砖中，白色方砖的个数为（块） 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． （1）当时，的面积为______； （2）是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 【答案】（1）28； （2）存在，； （3）当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案； （2）由得出，解方程可得出答案； （3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； 【小问2详解】 解：存在； 当时，Q在DP的垂直平分线上， ， 解得，舍去，； 【小问3详解】 解：， 、P、D三点在以DP为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 26. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次限时练习 说明：1．试卷共6页，满分120分．考试时间100分钟． 2．考生必须在答题纸上指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 一、选择题（每小题3分，共10题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 3. 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知代数式－m2＋4m－4，无论m取任何值，它的值一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 下列说法：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④方程的两个实数根之积为．你认为正确的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共6题） 11. ______________________． 12. 等腰三角形的底边长为7，腰长是方程的一个根，则这个三角形的周长为__________． 13. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 14. 若一元二次方程的两根为，，则的值为______． 15. 平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 16. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为___________． 三、解答题 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）； 18. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 19. 如图，点、、、都在上，若，求证：． 20. 如图，是的直径，是的一条弦，延长与的延长线相交于点 P，且，求的度数． 21. 如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再用米长的篱笆围三面，形成一个矩形花园（院墙长米）. （1）设米，则___________米； （2）若矩形花园的面积为平方米，求篱笆的长. 22. 如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有_________ 条． 23. 中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售． （1）为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长． （2）经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒元进行销售，每天可售出盒；每盒的售价每涨元，销售量将减少盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价． 24. 【观察思考】 观察下列图案与对应的等式： 第1个图案：第1个等式：； 第2个图案：第2个等式：； 第3个图案：第3个等式： 第4个图案：第4个等式：； 【总结规律】 （1）第个图案对应的等式为 ． （2）第个图案对应的等式为 ． 【问题解决】 （3）某广场在一片空地上按第个图案铺设方砖，铺设面积为．采用的白色正方形方砖和灰色正方形方砖的边长均为，则该空地边缘的一圈方砖中，白色方砖有多少块？ 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． （1）当时，的面积为______； （2）是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 26. （1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $