精品解析：　福建莆田市城厢区 莆田第三中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年莆田第三中学九年级上学期第一次月考 数 学 一、单选题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式直接求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 3. 当为何值时，二次函数中随的增大而减小（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数开口向下，对称轴为，进行判断即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 5. 若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 6. 如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 7. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 8. 【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 丙和丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴， ∴，，故丁正确，丙错误； 故选：C． 9. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 10. 如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 函数的图象过点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将点代入函数解析式，利用函数图象上点的坐标特征建立方程求解． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴当时，， 即， ∴， ∴． 故答案为：1． 12. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 13. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到满足的等式，通过整体变形计算所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， ∴整理得 ， 将等式两边同时乘以，得 ． 15. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 16. 将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的规律以及解一元二次方程，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．根据前4个图形中棋子的个数找出一般规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：∵第1个图形中棋子的个数为； 第2个图形中棋子的个数为； 第3个图形中棋子的个数为； 第4个图形中棋子的个数为； … ∴第n个图形中棋子的个数为． ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：12． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18. 若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得， ∴的值为1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】 证明：∵关于x的一元二次方程 ∴ ∵无论取何值，， ∴ 即无论取何值，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，依题意，得出，无论取何值，，即可作答． 【详解】略 20. 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 【答案】二次函数与的图象如图所示， 【解析】 【分析】分别按照列表、描点、连线的顺序画出函数图象即可． 【详解】解：列表如下： x 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 0 将表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，再用平滑的曲线分别按照自变量由小到大顺次连接各对应点，得到函数图象，图象略． 21. 象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： （1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； （2）求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】（1） （2）45个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； 【小问2详解】 设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 22. “谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； （2）该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 【答案】（1）该矩形试验田的长为，宽为 （2） 解：这一想法不能实现，理由如下： 假设这一想法能实现，设 ，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， 假设不成立， 即这一想法不能实现． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据该矩形试验田的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设这一想法能实现，设，则，根据该矩形试验田的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现． 【小问1详解】 解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该矩形试验田的长为，宽为； 【小问2详解】 略 23. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】（1） 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 （2） 该药剂在年的价格为元 【解析】 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【小问1详解】 解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． 【小问2详解】 解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 24. 阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： （1）请完成材料中的求解过程． （2）利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 【答案】（1）， （2）无实数根 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【小问1详解】 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 25. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 （3）存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年莆田第三中学九年级上学期第一次月考 数 学 一、单选题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 当为何值时，二次函数中随的增大而减小（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 丙和丁 9. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 函数的图象过点，则______． 12. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 13. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则___________． 14. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 15. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 16. 将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是______． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 若函数是关于x的二次函数，求m的值． 19. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论取何值，方程总有实数根． 20. 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 21. 象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： （1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； （2）求这次比赛共有多少个选手参加？ 22. “谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； （2）该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 23. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 24. 阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： （1）请完成材料中的求解过程． （2）利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 25. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $