精品解析：广东省部分校联考2026-2027学年高三上学期10月巩固性训练数学试题

高三10月巩固性训练 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据3，4，9，2，6的第30百分位数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 2. 设向量，，．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线准线上一点，为的焦点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 若集合内的元素个数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（ ） A. B. C. D. 6. 对于关于的不等式，“在上有解”是“在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记圆，圆，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，圆的面积大于圆的面积 C. 当时，圆与圆相切 D. 当时，点到圆上一点距离的最大值为5 10. 均为边长为2的等边三角形，且依次沿公共边固定拼接，已知平面平面，平面平面，且点位于平面的同侧.则（ ） A. B. C. 直线直线 D. 平面平面 11. 设函数.曲线在点处的切线分别与轴，轴交于两点，且为坐标原点，则（ ） A. 当时，直线的斜率大于1 B. 当时，点在线段上 C. 坐标原点始终不在直线上 D. 直线与曲线仅有一个公共点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校的羽毛球比赛共有13名同学参加，要求每名同学都要与其余参赛同学在主､客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为_________. 13. 已知函数的最大值为，则的值域为_________. 14. 若函数且有且仅有一个极大值点与一个极小值点，且，则的取值范围为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复数列中，. （1）求的虚部； （2）求数列的前项和. 16. 如图，已知，且．已知，点位于平面同侧． （1）证明：； （2）点在线段上，且平面，求二面角的余弦值． 17. 某云计算平台为用户提供两台候选节点，其可用算力分别为和，其中，且取各值的概率与成正比.平台从两台候选节点中等可能地随机分配其中一台，并显示其算力X，用户可保留该节点，也可改用另一节点. （1）求取各值的概率； （2）若，求另一节点算力分别为2和8的概率； （3）若用户以最终获得算力的数学期望最大为原则，根据的不同取值，确定其选择策略. 18. 已知双曲线的中心为原点，实轴在轴上，两条渐近线互相垂直，焦距为，其左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、. （1）求的方程； （2）为不在轴上的点，在直线、上分别取点、，使轴.为的中点，记.过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点. （i）若，且点在直线上，求； （ii）若，求的值. 19. 函数的定义域为.对于任意，定义集合. （1）当时，求； （2）设，若，证明：； （3）若存在正整数，使得对于任意中的元素个数均不超过，证明：在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月巩固性训练 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据3，4，9，2，6的第30百分位数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列得到2，3，4，6，9， 由可知，这组数据的第30百分位数是第二个数3． 2. 设向量，，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，由得， 即，解得． 3. 已知为抛物线准线上一点，为的焦点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 由点在准线上，得，解得， 故，所以. 4. 若集合内的元素个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，不符合题意； 若，则， 所以集合中的元素为、、、、， 故集合中的元素个数为，解得，符合题意. 综上所述，. 5. 在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由条件可知联立可解得 所以， 所以， 因为， 所以的公差． 6. 对于关于的不等式，“在上有解”是“在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式在区间上有解以及恒成立问题，说明充分性成立，再举特值说明必要性不成立，即可求解. 【详解】设“在上有解”，：“在上恒成立”， 不等式可化为，若成立，则存在使不等式成立，此时，故必有； 当时，，结合，得， 故； 取，当时，故成立，而当时， 故不成立，所以， 因此是的充分不必要条件. 7. 记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由垂直平分线确定的横坐标，利用与焦点对称性判定为等腰直角三角形，求出坐标；再代入椭圆方程，整理得到离心率的方程，结合离心率范围取舍根，求得结果即可. 【详解】∵，∴， 又∵在轴上，关于轴对称， ∴，为等腰直角三角形， 设的半焦距为，则， 设，由，得，即， 设的离心率为，则， ， 由得 . 8. 在中，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意得，由基本不等式得到，且利用三角函数性质得到，于是得到，即可利用面积公式求解. 【详解】设，由题意得， 而，且， 又，故2， 于是，，从而. 因此. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记圆，圆，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，圆的面积大于圆的面积 C. 当时，圆与圆相切 D. 当时，点到圆上一点距离的最大值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到其圆心与半径，然后逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】对于A选项，显然圆可化为， 可得点坐标为，故A正确； 对于B选项，圆的面积为，圆的面积为， 当时，显然圆的面积小于圆的面积，故B错误； 对于C选项，时，圆的半径为3，此时， 二者内切，故C正确； 对于D选项，此时圆的半径为4，可得点到圆上一点距离的最大值，故D错误. 10. 均为边长为2的等边三角形，且依次沿公共边固定拼接，已知平面平面，平面平面，且点位于平面的同侧.则（ ） A. B. C. 直线直线 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】AC选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，从而得到，故A､C正确；B选项，先得到，由勾股定理可得；D选项，先证明出平面，平面的交线为，由线线垂直得到线面垂直，假设与垂直，推出，结合条件即得D错误. 【详解】设分别为的中点，记平面为. 由等边三角形的性质，； 由两平面垂直的性质，得，故， 又位于同侧，故四边形为平行四边形； 又为等边的中位线，故，故A､C正确； 由，得， 则，故，故B正确； 记平面分别为，由，得，故； 又，故，从而.由上述可得， 又，且，故； 若与垂直，在内过作，则由两平面垂直的性质得， 又，故与重合，从而， 与是的中点矛盾，故与不垂直，故D错误. 11. 设函数.曲线在点处的切线分别与轴，轴交于两点，且为坐标原点，则（ ） A. 当时，直线的斜率大于1 B. 当时，点在线段上 C. 坐标原点始终不在直线上 D. 直线与曲线仅有一个公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数的导函数得到切点处切线的斜率，写出切线方程，求出切线与坐标轴交点坐标；对选项A举反例判断正误；利用横坐标范围判断点是否落在线段上，完成选项B；计算直线在轴截距，构造函数证明截距不为，判断选项C；构造差函数，求导分析单调性，证明差函数仅在切点处等于，判断选项D. 【详解】.直线的斜率为. 对于A，当时只能得到，例如取，则，故A错误； 对于B，当时，在上恒成立，单调递减， 又，故. 设，由切线方程得，故， 而点的横坐标为0，所以点在线段上，故B正确； 对于C，直线在轴上的截距为. 令，则， 且，故当时，从而，所以原点不在直线上，故C正确； 对于D，令，则，且. 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时均有，因此直线与曲线只有一个公共点，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校的羽毛球比赛共有13名同学参加，要求每名同学都要与其余参赛同学在主､客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为_________. 【答案】156 【解析】 【分析】由排列数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由于任何两名同学间进行1次主场比赛与1次客场比赛， 所以一场比赛相当于从13个不同元素中任取2个元素的一个排列， 因此总共进行的比赛场次是. 13. 已知函数的最大值为，则的值域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，则转化为，化简为，结合最值求得，即可得，即可求解. 【详解】令，则， 则 ， 因为的最大值为1，且的最大值为，所以， 解得，故，， 因此的值域为. 14. 若函数且有且仅有一个极大值点与一个极小值点，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得到极值点，判断极大、极小值点，代入不等式化简求解，进而得到参数a的取值范围． 【详解】由题意得且，由，得两个极值点分别为， 且在两侧由正变负，在两侧由负变正，故， 因为，由，得， 即，所以或，故或． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复数列中，. （1）求的虚部； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出复数，再求出的虚部. （2）先求出数列的通项公式，然后利用等比数列的前项和公式求和. 【小问1详解】 由题意可得，， 故其虚部为. 【小问2详解】 设，则 ， 因为，所以， 所以， ，，则， 又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. 16. 如图，已知，且．已知，点位于平面同侧． （1）证明：； （2）点在线段上，且平面，求二面角的余弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以所在直线为，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，， 由，设， 则， 两式相减得，故， 从而，即，其中， 由，设， 则， 两式相减得，故， 从而，即，其中， 因为点位于平面同侧， 所以， 又，故， 于是， 所以，且与不共线，故． （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知边长求出坐标，证明向量与的关系，证得两直线平行； （2）设参数表示点坐标，由线面平行的向量条件求出参数，找到二面角的平面角，再用向量点乘计算其余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，得，从而， 又，且平面， 故存在实数，使，因此， 由得，比较第三个坐标得，再比较第一个坐标得，故， 于是，且， 故，又， 所以为二面角的平面角， 由，得，且， 所以， 故二面角的余弦值为． 17. 某云计算平台为用户提供两台候选节点，其可用算力分别为和，其中，且取各值的概率与成正比.平台从两台候选节点中等可能地随机分配其中一台，并显示其算力X，用户可保留该节点，也可改用另一节点. （1）求取各值的概率； （2）若，求另一节点算力分别为2和8的概率； （3）若用户以最终获得算力的数学期望最大为原则，根据的不同取值，确定其选择策略. 【答案】（1）， （2），. （3）当时改用另一节点；当时两种选择均可；当时保留当前节点. 【解析】 【分析】（1）设出比例系数，根据概率之和等于1求解出，然后即可求出取各值的概率. （2）先求出的可能取值并计算对应的概率，然后利用条件概率计算另一节点算力分别为2和8的概率. （3）分别计算取时对应的概率，然后计算期望，通过期望值来确定选择策略. 【小问1详解】 设比例系数为，则. 由概率之和为1，得，解得， 故， 【小问2详解】 设事件表示另一节点算力为2，事件表示另一节点算力为8. 则X的所有可能取值为1，2，4，8，16，给定后，两台候选节点被随机分配的概率均为. ， ， ， ， . 当且事件发生时，必有， 故. 当且事件发生时，必有， 故. 所以另一节点算力分别为2和8的概率分别为，. 【小问3详解】 当时，只可能有，另一节点的算力为2，因此改用另一节点可获得更大的算力，故应改用另一节点， 当时，只可能有，另一节点的算力为8，因此应保留当前节点， 当，其中时，若，则当前节点算力为，另一节点算力为； 若，则当前节点算力为，另一节点算力为.这两种情况发生的概率之比为2：1， 故在已知的条件下，另一节点算力为和 的概率分别为和. 设在已知的条件下，改用另一节点后最终获得的算力为，则. 而保留当前节点时最终获得的算力为， 故当时，保留当前节点与改用另一节点的数学期望相同，两种选择均可， 综上，当时改用另一节点；当时两种选择均可；当时保留当前节点. 18. 已知双曲线的中心为原点，实轴在轴上，两条渐近线互相垂直，焦距为，其左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、. （1）求的方程； （2）为不在轴上的点，在直线、上分别取点、，使轴.为的中点，记.过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点. （i）若，且点在直线上，求； （ii）若，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线性质和已知条件列关于、、的方程组，解方程组即可. （2）（i）设，，由平行于轴，得，进一步根据已知条件表示出点坐标，再根据点在直线上列方程求出，利用两点距离公式求. （ii）设，根据得到，即点在双曲线上，再利用双曲线定义求解. 【小问1详解】 设双曲线的方程为，则两条渐近线的斜率分别为、， 由两条渐近线互相垂直，得，所以. 由双曲线的焦距为，得， 又，所以，故的方程为，即. 【小问2详解】 （i）设，其中，则、. 设，，设、， 由可得，则， 所以，即点， 由可得，则， 所以，即点， 由平行于轴，得， 又，所以，记， 从而，，故点，. 当时，，由在直线上，得， 所以，故. （ii）由，得，所以，， 由及， 得，且，所以，即点在双曲线上. 由双曲线的定义，，故. 19. 函数的定义域为.对于任意，定义集合. （1）当时，求； （2）设，若，证明：； （3）若存在正整数，使得对于任意中的元素个数均不超过，证明：在上单调递增. 【答案】（1） （2）因为，所以， 又，所以，从而. 若，因为， 所以， 又，故，从而. 若，则由，得，又，所以，且， 故，从而. 综上，. （3）假设在上不是单调递增函数，则存在，满足，且， 于是， 又，所以. 在区间内取个两两不同的实数，， 其中，，则对每个，均有. 由（2）知，对每个，均有. 因为中的元素不超过个， 所以在中，至少有个不属于，而这些元素均属于， 故这至少个元素均属于，这与中的元素不超过个矛盾，所以假设不成立， 即对于任意，都有， 故在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据的定义求； （2）分和两种情况讨论可得或，即可证得结论； （3）假设在上不是单调递增函数，推出矛盾，即可证得结论. 【小问1详解】 当时，， 由集合的定义，得， 且1，即， 因为，所以， 从而，即，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $