精品解析：广东广州市执信中学2026-2027学年高三年级第一学期9月大作业（月考）数学试题

高三级数学科9月大作业 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出z的共轭复数. 【详解】由已知得，，故z的共轭复数为. 故选：D. 2. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为， ，所以， 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】利用诱导公式 ，得： ， 故利用二倍角公式，得： . 4. 若直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 5. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 得， 则. 即在上的投影向量为. 6. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据是奇函数，求出时的解析式，再求出，，由导数的几何意义进行求解． 【详解】当时，，所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 则， 所以，所以， 所以曲线在处的切线方程是，即 7. 在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：上一动点，过圆M外一点P向圆M引-条切线，切点为A，若|PA|=|PO|，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用|PA|=|PO|，两点间距离公式，以及勾股定理得出， 可得点P在直线 上，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径求解. 【详解】设，则有， 所以，设圆心到直线2x+2y=1的距离为d， ， 则有PQ. 故选：C 【点睛】充分利用信息，将的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径是解这个题目的关键. 8. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，则分和两种情况讨论，当时，将条件转化为研究函数的图象是否在的图象的上方恒成立问题；当时，令，求导，从而根据单调性，及零点存在性定理得到，且，进而得解． 【详解】由题意可知，当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，则最小值为， 又时，；时，， 而在上单调递减， 所以函数与的图象大致如下， 数形结合得函数的图象在的图象的上方不恒成立， 所以不恒成立，不符合题意； 当时，令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，即在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，即在上单调递增， 由时，，，，时，， 所以存在唯一，使得，即， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以， 又恒成立，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，取最大值，此时． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B. 随机变量服从正态分布，，则 C. 一组数据的经验回归方程为，若，则 D. 若，为两个随机事件，，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由百分位数计算方式可得答案；对于B，由正态分布性质可得答案；对于C，由回归方程过数据中心点可得答案；对于D，由全概率公式结合条件概率公式可得答案. 【详解】对于A，将数据从小到大排列为：，且， 则第70百分位数为从小到大排列第6个数据，故A正确； 对于B，因随机变量服从正态分布，， 则，故B错误； 对于C，由题设可得，又回归方程过点，则， 从而，故C正确； 对于D，，. 又由全概率公式可得：，从而， 则，故D错误. 10. 数列的前项和记为，且，则（ ） A. B. 为等差数列 C. D. 中有最大项也有最小项 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，将代入式子中，计算得到；选项B，由和得到，此式子两边都除以，通过计算得到为等差数列；选项C，利用等差数列的通项公式求出，计算出，从而求出；选项D，由，结合和的关系求出当时的的值，从而得到当时，越大，越小，即越趋近于0，则有是最大值，是最小值，从而得到结论. 【详解】选项A，， 当时，，， ，，，故选项A正确； 选项B，，，， ，， ，为等差数列，故选项B正确； 选项C，为等差数列，公差为，首项为， ， ，，故选项C错误； 选项D，， 当时，， 当时，， 当时，越大，越小，即越趋近于0， 即， 是最大值，是最小值， 中有最大项也有最小项，故选项D正确. 11. 在中，，，将绕向上旋转得．点为外心，面内有一点满足，且．若三棱锥的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，利用，即可得出答案；对于B，利用正弦定理即可得出答案；对于C，求出点，判断三棱锥的外接球球心的位置，假设外接球球心在该棱锥内部，求出此时的取值范围，取反即可得出答案；对于D，根据题目条件代入计算即可得出答案 【详解】取的中点为原点，连接，由题可得， 以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 如图所示 因为，所以，，因为，所以是等腰三角形， 底边上的高，所以点的坐标为， 由于是由绕旋转角得到的，点到的距离也是，且在平面上，点绕原点旋转角得到点， 所以点的坐标为，假设点向上旋转，， 对于A，由于，，，所以，故A正确； 对于B，已知三边长，，，则底边上的高， 所以的面积，得到， 由正弦定理，可得，故B错误； 对于C，根据等腰三角形的性质，的外心在的中垂线，即上， 设，由得， ，解得， 所以外心，外接圆半径平方， 球心必在过外心且垂直于平面的直线上，故设， 又球心到，距离相等，即， 且，， 则， 根据，化简得， 则， 直线在平面的方程斜率， 方程为， 假设外接球球心在该棱锥内部， 即， 由得，，，， 解得， 因为题目要求球心在外部，所以，又因为是旋转角，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以点在的垂直平分面上，即平面上， 在平面内，平面过轴，且与平面夹角为， 所以点坐标设为， 因为 ，，， 所以， 化简得 因为，消去得， 所以的坐标为， 因为， 所以，， 则原式 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】由，得，即6为函数的一个周期， 又因是定义在上的偶函数，得， 故. 13. 已知等比数列，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为数列是等比数列，所以. 由，得； 又， 所以， 所以. 14. 已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线与抛物线联立，结合的向量点积为0的条件，可推导出直线恒过定点，原点到直线的距离最大值即为原点到定点的线段长度. 【详解】设，，由得， 即  ， 因不与重合，约去非零因子，得. 设直线，代入得， 由韦达定理，，代入上式得， 因此直线，恒过定点. 原点到直线的距离满足：过定点的直线中，原点到直线的距离不超过原点到的线段长， 即，当且仅当时取等号. 故原点到直线的距离的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设是各项都为正数的等比数列，是等差数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若i，j均为正整数，且，求所有乘积的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 为等比数列，设的公比为q.是等差数列，设的公差为d. 因为,,,. 所以有，，解得，. 所以的通项公式为. 的通项公式为. 【小问2详解】 所有满足的乘积的和为： . 16. 已知椭圆，若其焦距为，且点在椭圆上， （1）求的方程； （2）已知直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点．若，求直线方程． 【答案】（1） （2） 或 （也可整理为或） 【解析】 【分析】（1）结合椭圆上点的坐标与联立求解，得到椭圆标准方程；  （2）设直线斜率为，根据向量相等推导交点坐标关系，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理求，得到直线方程. 【小问1详解】  由题意椭圆焦距，得，因此 ①. 将点代入椭圆方程得： ，化简为 ②. 将代入②，两边同乘消去分母得： ， 整理得， 解得（负根舍去），故. 因此椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意直线斜率存在且不为，设直线方程为. 令得，故，将 与椭圆方程联立， 消去得： ，. 设，由韦达定理得. 因，则， 因此： ，. 又，得， 化简得，解得. 因此直线的方程为或。 17. 在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足， （1）证明：； （2）如图，点在线段的延长线上，且，，求的值． 【答案】（1）由已知条件，可得， 由正弦定理，可得， 再代入余弦定理表达式，，可得， 化简后整理得. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正余弦定理即可证明； （2）根据题意，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得，即，化简得， 由题意，，由（1）的结论，得，即， 根据余弦定理，，代入得， 因为，所以，因此， 所以的值为. 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面， 在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面． （2）①② 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，在平面内作于，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义，得到后利用线面垂直的判定定理和定义即可证得结论； （2）①找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解；②建立空间直角坐标系表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面，， 平面，所以， 由，为等腰直角三角形， 因此， 又因为平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以. 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以， 所以三棱锥体积为. ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则. 故，直线的方向向量. 设平面的法向量，故，即， 令，则，所以. 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得 ， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以 ， 当且仅当 时，即时等号成立， 所以，即的最大值为. 此时， ，， 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以. 平面的一个法向量. 设二面角为， 则， 所以. 19. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接取区间端点 ，计算，，不满足要求，故不是1级控制函数； （2）由定义化为​，得递增，即，分离得，从而得到最小值； （3）由控制函数定义及 得，利用在单调递增，得 ，应用换元法求得范围． 【详解】（1）由于， 故． 所以函数不是函数在区间上的1级控制函数． （2）由函数是函数在区间上的m级控制函数， 得， ， 从而， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 即在上为增函数， 故在上恒成立. 即， 在恒成立，即． 记，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，故实数m的最大值为e． （3）因为函数在区间上存在两个零点， 不妨设，且， 因为函数是在区间上的2026级控制函数， 所以，即， 所以， 即． 又函数在上单调递增，故有， 从而，即． 令， 则． 令，则， 从而， 即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三级数学科9月大作业 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. B. C. D. 5. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：上一动点，过圆M外一点P向圆M引-条切线，切点为A，若|PA|=|PO|，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B. 随机变量服从正态分布，，则 C. 一组数据的经验回归方程为，若，则 D. 若，为两个随机事件，，，，则 10. 数列的前项和记为，且，则（ ） A. B. 为等差数列 C. D. 中有最大项也有最小项 11. 在中，，，将绕向上旋转得．点为外心，面内有一点满足，且．若三棱锥的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 13. 已知等比数列，若，，则的值为________． 14. 已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设是各项都为正数的等比数列，是等差数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若i，j均为正整数，且，求所有乘积的和. 16. 已知椭圆，若其焦距为，且点在椭圆上， （1）求的方程； （2）已知直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点．若，求直线方程． 17. 在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足， （1）证明：； （2）如图，点在线段的延长线上，且，，求的值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为中点． （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 19. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $