精品解析：浙江宁波市海曙区储能学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

储能教育集团2026学年第一学期 阶段作业检查九年级数学试卷 考试时间120分钟 满分120分 本试卷共6页，请将答案填写在答题卡上 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 将代入，得． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面朝上 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 买一张彩票，一定会中奖 D. 任意一个三角形都有外接圆 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、投掷一枚硬币，结果可能为正面朝上或者反面朝上，是可能事件，故A错误； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是可能事件，故B错误； C、买彩票中奖是可能事件，故C错误； D、 根据三个不共线的点，可以唯一确定一个圆，所以每一个三角形都有唯一确定的外接圆，是必然事件，故D正确． 3. 已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点在外. 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 5. 抛物线y＝3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（　　） A. y＝3x2+1 B. y＝3x2﹣1 C. y＝3（x+1）2 D. y＝3（x﹣1）2 【答案】D 【解析】 【分析】先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式． 【详解】y＝3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y＝3（x﹣1）2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：三角形外心是其三边垂直平分线的交点，故由作图方法可知只有C选项符合题意． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象与y轴交点是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于， ∵，∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，∴函数图象与轴交点是，B错误； ∵抛物线开口向上，∴该函数有最小值，最小值是5，C错误； 抛物线对称轴为直线，开口向上，∴当时，随的增大而增大，D正确． 8. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ） A. 9πm2 B. πm2 C. 15πm2 D. πm2 【答案】B 【解析】 【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为6、圆心角为90°和一个半径为2、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【详解】大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图， 所以面积==9πm2； 小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m， 则面积=π（m2）， 则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+π=π（m2）． 故选B． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可． 10. 已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　） A. y1+y2＞0 B. y1﹣y2＞0 C. a（y1﹣y2）＞0 D. a（y1+y2）＞0 【答案】C 【解析】 【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＞y2， 无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0， ②a＜0时，二次函数图象开口向下， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＜y2， 无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0， 综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，关键要掌握根据二次项系数a的正负分情况讨论． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是__． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】二次函数的顶点式为y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其顶点坐标为（h，k）. 【详解】由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标是（2，1）. 故答案为（2，1）. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的定义，属于基础题型. 12. 如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，让黑色瓷砖的块数除以瓷砖总数即可． 【详解】解：∵8块等腰直角三角形瓷砖中有黑色等腰直角三角形瓷砖3块， ∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ， 故答案为：． 【点睛】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 13. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果，那么的长度为__________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割，直接利用黄金分割的定义建立等式求解，即可解题． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， 解得， 故答案为：． 14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径. 【详解】解：由题可知， 为半径， 尺寸， 设半径， ， 在中，根据勾股定理可得： 解得：, 木材直径为26寸； 故答案为：26. 【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解. 15. 若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2=-2，代入二次函数解析式即可得出结论． 【详解】∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上， ∴2（x+1）2+3=4， ∴2x2+4x+1=0， 根据根与系数的关系得，x1+x2=-2， ∵B（x1+x2，n）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上， ∴n=2（-2+1）2+3=5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x1+x2=-2是解本题的关键． 16. 如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长BO交⊙O 于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE=∠CAH=45°，推出∠BOC=90°，推出BC=2，设AH=CH=x，则BH=8-x，在Rt△BCH中，根据，构建方程求出x即可解决问题 【详解】解：如图，延长BO交⊙O 于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H． ∵AD＝DB， ∴OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°， ∵OA＝2，AD＝DB＝4， ∴OD＝＝2， ∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， ∵AD＝DB，EO＝OB， ∴OD//AE，AE＝2OD＝4， ∴AE＝AD， ∴， ∴， ∴∠CAE＝∠CAH＝45°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝90°， ∴BC＝OC＝2， ∵CH⊥AB， ∴∠CAH＝∠ACH＝45°， ∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x， 在Rt△BCH中，∵， ∴， ∴x＝6或2（舍弃）， 在Rt△ACH中，∵AC＝， ∴AC＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分，其中第17～21题，每题8分，第22～23题，每题10分，第24题12分） 17. 如图，在中，，且，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线所截线段成比例可知，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）请求出此二次函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个二次函数的图象上？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：点在这个二次函数的图象上． 将代入，得 ， 与点的纵坐标相等，故点在该二次函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求出y的值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴此二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 19. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ． 20. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 21. 图①，图②均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心P，并写出它的坐标________． （2）直接写出的长度=________． （3）在图②中找格点D（不与C重合），使，（找出一个符合条件的格点即可）并写出它的坐标________． 【答案】（1）所作圆心P如图所示： （2） （3）所作图形如下： 【解析】 【分析】（1）分别作线段的中垂线，然后交于一点P，进而问题可求解； （2）连接，由题意易得，则有，然后根据弧长计算公式进行求解即可； （3）在坐标系上找一点，使得，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：图略，由图可知：圆心P的坐标为； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由图可知：， ∴， ∴， ∴的长度为； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由图可知：， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米． （1）当时，求y与x的函数关系式． （2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】（1） （2）能越过球网且不会出界，理由如下： 由（1）可知：当时，y与x的函数关系式为， 由题意可把代入得：， ∴球能越过球网， 当时，则有， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴球不会出界． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，当时，则有，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）根据题意可把，分别代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 当时，则有， 把代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 略 23. 某甜品店销售一种月饼，每盒进价为40元，在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种月饼所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，求每周获得的利润的范围． 【答案】（1） （2） 当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 （3） 每周获得的利润范围是元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种月饼所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为，把和，代入得 解得， y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种月饼所获利润， ， ， 当时，每周出售这种月饼所获利润最大，最大利润为5400元； 【小问3详解】 由（2）每周出售这种月饼所获利润， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，所获利润最小为；当时，所获利润最大为， 当销售单价满足，每周获得的利润的范围是元． 24. 【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． ∵是的中点， ①， 又， ②， ， 又， ， ， 即 （1）根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ①________________， ②________________； （2）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则________； （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足，若，的半径为，求长． 【答案】（1）①在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；② （2） （3）， 证明：在上截取，连接、、、，如图， ∵是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （4）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据圆的基本性质及全等三角形的判定定理可进行求解； （2）由【问题呈现】结论即可求解； （3）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中结论可得：，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，当点在下方时，过点作于点，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，圆的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在上方时，， 同理得， 综上所述：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 储能教育集团2026学年第一学期 阶段作业检查九年级数学试卷 考试时间120分钟 满分120分 本试卷共6页，请将答案填写在答题卡上 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面朝上 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 买一张彩票，一定会中奖 D. 任意一个三角形都有外接圆 3. 已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法判断 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线y＝3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（　　） A. y＝3x2+1 B. y＝3x2﹣1 C. y＝3（x+1）2 D. y＝3（x﹣1）2 6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象与y轴交点是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ） A. 9πm2 B. πm2 C. 15πm2 D. πm2 10. 已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　） A. y1+y2＞0 B. y1﹣y2＞0 C. a（y1﹣y2）＞0 D. a（y1+y2）＞0 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是__． 12. 如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________． 13. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点．如果，那么的长度为__________．（结果保留根号） 14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 15. 若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为_____． 16. 如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是_______． 三、解答题（共8小题，共72分，其中第17～21题，每题8分，第22～23题，每题10分，第24题12分） 17. 如图，在中，，且，若，求的长． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）请求出此二次函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个二次函数的图象上？请说明理由． 19. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 21. 图①，图②均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心P，并写出它的坐标________． （2）直接写出的长度=________． （3）在图②中找格点D（不与C重合），使，（找出一个符合条件的格点即可）并写出它的坐标________． 22. 如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米． （1）当时，求y与x的函数关系式． （2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 23. 某甜品店销售一种月饼，每盒进价为40元，在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种月饼所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，求每周获得的利润的范围． 24. 【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． ∵是的中点， ①， 又， ②， ， 又， ， ， 即 （1）根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ①________________， ②________________； （2）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则________； （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足，若，的半径为，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $