精品解析：浙江省宁波市海曙储能学校丽园校区2025-2026学年九年级上学期10月考数学试卷

浙江省宁波市海曙储能学校丽园校区2025-2026学年九年级上学期10月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 3. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A. 28° B. 30° C. 36° D. 56° 4. 一学生推铅球，铅球行进的高度与水平距离之间的关系为，则学生推铅球的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是(　 　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 8. 现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦；②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，正方形的边长是6，E在对角线上，且，过作于，连接并延长交于，交的延长线于．则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，，点为劣弧（不含端点）上一点，连接，分别交，于点．若的半径为1，记，则下列代数式的值不变的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知点在抛物线上，则_____． 12. 若以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C在（填“外”“上”或“内”）__________． 13. 如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为____ 14. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 15. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 16. 如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F． (1) ___________________． (2)若，则___________________． 三、解答题（17～21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： （1）请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； （2）请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 18. 如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长． 19. 如图所示，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出满足的x的取值范围． 20. 如图，等边的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，且． （1）求证：； （2）求的长． 21. 如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图所示，有一堵墙长，一道篱笆长，现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的一边长为x，面积为S． （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围； （2）当取何值时，最大？最大为多少？ 23. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 24. 如图，的直径垂直于弦于点E，点P是延长线上异于点D的一个动点，连接交于点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若， ①若，求CQ的长； ②若，求与x之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市海曙储能学校丽园校区2025-2026学年九年级上学期10月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键．直接利用比例的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 3. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A. 28° B. 30° C. 36° D. 56° 【答案】A 【解析】 【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小． 【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图， ∵∠AOB＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4. 一学生推铅球，铅球行进的高度与水平距离之间的关系为，则学生推铅球的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值． 【详解】令函数式中，y=0， 即=0， 解得 (舍去)， 即铅球推出的距离是10m． 故选C． 【点睛】考查二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达式的实际意义，需要结合题意． 5. 抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是(　 　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题． ∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点， ∴ 解得6≤c≤14 考点：二次函数的性质 6. 如图所示，当半径为的传动轮按顺时针方向转过角时，传送带上的物体A平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式． 传送带上的物体A平移的距离为半径为的传动轮转过角的扇形的弧长，根据弧长公式可得． 【详解】解：， 即传送带上的物体A平移的距离为． 故选：D 7. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 8. 现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦；②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】①正确，②同圆或者等圆中，圆心角相等，它们所对的弧长也相等，错误，③三个不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. ④正确.所以选B. 9. 如图，正方形的边长是6，E在对角线上，且，过作于，连接并延长交于，交的延长线于．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，先证明，根据相似比求出的长，进而求出的长，再证明，列出比例式求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故选D． 10. 如图，是的直径，，点为劣弧（不含端点）上一点，连接，分别交，于点．若的半径为1，记，则下列代数式的值不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 可得，，导角证明，则，化简即可得到，即可判断． 【详解】解：如图， ∵是的直径，，， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故D符合题意，而A、B、C代数式的值均不能证明不变，故不符合题意， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知点在抛物线上，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】把点代入解析式得到关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． 故答案为：2． 12. 若以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C在（填“外”“上”或“内”）__________． 【答案】上 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理. 根据题意画出图形，由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵圆A的半径为， ∴点C在上． 故答案为：上． 13. 如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为____ 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），连接，先根据圆周角定理可得是圆形纸片的直径，从而可得，再利用勾股定理可求出的长，然后利用扇形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， 是圆形纸片的直径， ， 在中，，即， 解得， 则这个扇形（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形的面积等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 14. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 15. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长． 【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OA． 根据题意得：OD=OA=1cm， 再根据勾股定理得：AD=cm， 根据垂径定理得：AB=2cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理以及垂径定理．注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1． 16. 如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F． (1) ___________________． (2)若，则___________________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】(1)过E作于G，可得，根据圆周角的性质可得，又平分，根据角平分线的性质可得；由， ，，且，根据“等角的余角相等”可得 ，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得，即有；由，，可得，从而可得在中有，将、、代入可得，，既而可求得的值． 【详解】(1)如图所示，过E作于G，则， ∵MN为半圆的直径， ∴， 又∵平分，, ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴, 又， ∴， 又∵， ∴， ∴, 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴在中，, 又∵, ∴， ∴将，，代入得，, ∴， 即． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，即， 设，则， 解得：，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得，，再通过平行线分线段成比例的性质得到，进行等量代换和化简后即可得解． 三、解答题（17～21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图： （1）请在图1中标出的外接圆的圆心的位置； （2）请在图2中画一条格点线段，交于点，使． 【答案】（1） 如图1，点即为所求． ． （2） 如图所示（画出其中一种即可）： ． 【解析】 【分析】本题考查了外接圆的圆心、相似三角形的判定与性质、勾股定理与网格问题等知识，熟练掌握外接圆的圆心和相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）结合网格特点，分别画出的线段垂直平分线，交于点即为所求； （2）结合网格，作出，且，或者作出，且，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长． 【答案】BC＝8cm，AD＝BD＝5cm 【解析】 【分析】先证明∠ACB=∠ADB=90°，再利用勾股定理求解 证明 可得 再利用勾股定理求解即可. 【详解】∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64， ∴BC＝＝8（cm）， 又CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BD ， 又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， ∴AD2＋BD2＝102， ∴AD＝BD＝＝5（cm）. 【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟悉并运用以上基础知识解题是关键. 19. 如图所示，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． （1）求二次函数与一次函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出满足的x的取值范围． 【答案】（1），； （2）x的取值范围为或． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据图象确定x的取值范围，勾股定理等． （1）先将点A代入二次函数解析式中求出m,即可得到二次函数的解析式，进而求出对称轴，再根据对称点的特征求出点B的坐标即可； （2）根据图象，要求的x的取值范围，即一次函数图象在抛物线下方所对应的x的范围． 【小问1详解】 解：将点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 对称轴为， 当时，， ， ∵点C和点B关于对称轴对称， ， 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵ 即一次函数图象在抛物线下方， ∴x的取值范围为或． 20. 如图，等边的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，且． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由是等边三角形，得到，利用外角的性质得到，则，即可得到结论； （2）由题意得到，，由得到，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵等边的边长为3，且， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由为的直径得，通过证明，得到，又由，从而得到； （2）设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元二次方程得到的长，由（1）知，从而得到，又由，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：，（舍去）， ， 由（1）得：， ， ， ， 的长为 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 22. 如图所示，有一堵墙长，一道篱笆长，现靠墙用篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的一边长为x，面积为S． （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围； （2）当取何值时，最大？最大为多少？ 【答案】（1） （2）当米时，S最大，最大值为48平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）矩形花圃一面利用墙，结合图形可知，据此用x表示出的长；矩形花圃的面积列出S关于x的函数关系式，结合求出x的取值范围； （2）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【小问1详解】 解：根据长方形的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，． ∵， ∵对称轴为，开口向下， ∴当时，S最大，最大值为48． 答：当米时，S最大，最大值为48平方米． 23. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）求圆弧形拱桥的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）； （2）不需要采取紧急措施，理由 由（1）得圆弧半径， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， ， 不需要采取紧急措施． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）设为，通过勾股定理求得，最后算出，即可得到答案； （2）根据（1）知半径，根据勾股定理求得的值，再根据垂径定理求得的长，与对比得出结论． 【小问1详解】 解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示， ， 设，则半径， 已知，， 则半径，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 则半径， 故半径为． 【小问2详解】 略 24. 如图，的直径垂直于弦于点E，点P是延长线上异于点D的一个动点，连接交于点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若， ①若，求CQ的长； ②若，求与x之间的函数关系式． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键根据相似表示出相关线段的长． （1）连接，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换得出； （2）①通过证明，可得，即可求解； ②分别求出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与是等高的三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $