浙江杭州市上城区杭州中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

杭州中学2026学年初三第一次综合练习 数学学科问卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．的半径为，点在内，则的长可能是（ ） A． B． C． D． 3．已知圆心角为的扇形的半径为，则扇形的弧长为（ ） A． B． C． D． 4．一只不透明的袋子中，装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A． B． C． D． 7．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 10．如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每题3分） 11．已知一个多边形的每个外角都是度，那么它是________边形． 12．二次函数的图象经过原点，则________． 13．如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为________． 14．已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是________． 15．如图，桥拱关于水面反射的影子经过所在的圆心，已知水面宽米，为桥拱的最高点，在离水面相同高度的，处安装两盛景观灯，若点是的中点，则点离水面的距离是________米． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与对称轴直线交于点，与，分别交于，，三点，①若点的坐标为，则点的坐标为；②对于任意，始终有；③若，则；④若，，（，为常数）的所有根的和为．上述命题正确的是________． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．（8分）已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． （1）求这个二次函数表达式； （2）将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式． 18．（8分）如图，在中，已知，，． （1）用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）在（1）的条件下，写出中的劣弧____________________； （3）若以点为圆心作，当的半径满足________时，点和点有且只有一个点在内． 19．（8分）已知教室的粉笔盒里现有支白色粉笔，支红色粉笔，支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． （1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求出老师先拿出一支白色粉笔，放回后，再拿出一支红色粉笔的概率． 20．（8分）如图，为的直径，点是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点，连接、． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，求的度数． 21．（8分）有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米，面积为平方米． （1）直接写出与的函数关系式和自变量的取值范围； （2）如果要围成面积为平方米的花圃，的长是多少？ （3）求出面积的最大值． 22．（10分）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． （1）求证：； （2）设，，用含的代数式表示； （3）若，，求弦的长． 23．（10分）已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 24．（12分）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图，“等对角四边形”内接于，，则________，________； （2）如图，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； （3）如图，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $