精品解析：江苏无锡市锡东高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

2026—2027学年度10月阶段性检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解 【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为， 设直线的倾斜角是， 故选：C. 2. 已知点，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 3. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离. 【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量， 在平面上任取一点，则， 所以点到平面距离. 故选：C. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，结合两点间距离公式可得，根据将军饮马问题求最值. 【详解】由题意可得：， 设，，，则， 设关于x轴对称的点为，则， 可得， 所以函数的最小值为. 8. 在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出，，，设（），求出，利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离. 【详解】以A为原点，AB，所在直线分别为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 所以，，. 设（），则， 故点P到直线的距离 . 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线可以表示过点的所有直线 B. 直线在轴上的截距是 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AD，通过斜率不存在的直线方程可判断，对于B由可判断，对于C，由斜率可得倾斜角，即可判断. 【详解】对于A，不含这条直线，错误； 对于B，令，得，即直线在轴上的截距是，正确； 对于C，直线斜率为，可知倾斜角为，错误； 对于D，过点并且倾斜角为的直线方程，正确， 故选：BD 10. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，，则； B. 若直线一个方向向量为，平面的一个法向量为，则； C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 【答案】CD 【解析】 【分析】由空间向量共线、共面的判定，线面位置关系的向量表示以及空间基底的概念，结合相关定义逐一分析选项即可. 【详解】选项A：由题意得 ，说明与 共线，则直线 和可能平行也可能重合，故A错误； 选项 B ：计算点积 ，即 ，此时可得 或 ，故B错误； 选项 C ：若三个向量中有两个共线，则这两个向量可平移到同一直线上，因一条直线和直线外一点可确定一个平面， 故第三个向量可平移至该平面内，即这三个向量一定共面，故C正确； 选项D：假设 共面，则存在实数 使得 ， 即 可由 线性表示，与 是空间基底矛盾， 故向量 不共面，也是空间的一个基底，故D正确. 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出定点，再求出，结合图象可得. 【详解】直线恒过点， 则，， 直线为过点且与轴垂直的直线， 则直线从转到时，k的取值范围为， 直线从转到时，k的取值范围为， 则直线与线段PQ相交时k的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，已知三棱锥，为的重心，点，分别为，的中点，点，分别在，上，，（，）．若，，，四点共面，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设的中点为，连接，由空间向量的运算结合四点共面定理代入计算，再利用基本不等式即可得到结果. 【详解】如图，设的中点为，连接．    因为点为的重心，所以点在线段上． 因为 ， 所以， 所以． 若四点共面，则，解得．则 则由基本不等式可得： ， 当且仅当时，且结合，即时等式成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； 【小问2详解】 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 16. 已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线BC的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的方程，与直线联立即可求出点. （2）求点关于直线的对称点，则直线即为直线，利用两点式可得方程. 【小问1详解】 由题意，，所以， 直线AB的方程为：，即. 联立直线AB与直线的方程，. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 则，所以点， 因为直线就是直线， 所以直线的方程为：，即. 17. 已知直线方程为． （1）证明：直线恒过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1） 直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得， 所以直线恒过定点. （2）， （3）4； 【解析】 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值． （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即,此时， 所以的斜率为：， 可得，解得． 【小问3详解】 如图所示： 若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为． 18. 如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 19. 如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； （3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 【答案】（1） 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. （2）的大小为 （3）线AQ与直线所成角的范围为 【解析】 【分析】（1）在平面内找到一条与平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可； （2）建立坐标系，将坐标分别用表示出来，再根据平面与平面所成夹角的余弦值为列出方程求解； （3）由所给的条件分析出点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹角的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍）， 且因为，则，即. 【小问3详解】 因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为） 所以为直角三角形，且， 所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度10月阶段性检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若直线l的方向向量是 则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线可以表示过点的所有直线 B. 直线在轴上的截距是 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 10. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，，则； B. 若直线一个方向向量为，平面的一个法向量为，则； C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 11. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 13. 已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 14. 如图，已知三棱锥，为的重心，点，分别为，的中点，点，分别在，上，，（，）．若，，，四点共面，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16. 已知的顶点，边AB上的高线CH所在的方程为，角的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求直线BC的方程. 17. 已知直线方程为． （1）证明：直线恒过定点； （2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 18. 如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； （3）若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $