4.5.1 函数的零点与方程的解【知识清单+10大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 第一部分：知识清单 知识点一：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点二：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点三：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 第二部分：典型例题汇总 典例一 求函数的零点 典例二 零点存在性定理的应用 典例三 求函数零点或方程根的个数 典例四 根据函数零点的个数求参数范围 典例五 根据零点所在的区间求参数范围 典例六 根据一次、二次函数零点的分布求参数范围 典例七 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 典例八 比较零点的大小关系 典例九 求零点的和 典例十 函数与方程的综合应用 第三部分：典型例题 典例一 求函数的零点 1．（2026高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2). 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 典例二 零点存在性定理的应用 5．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆永川·模拟预测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二·山东·学业考试模拟）若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 8．（25-26高一上·河北·期末）函数的零点所在区间可以是（   ） A． B． C． D． 典例三 求函数零点或方程根的个数 9．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（25-26高二上·山东·学业考试真题）函数的零点的个数为________． 11．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是__________. 12．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 典例四 根据函数零点的个数求参数范围 13．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 14．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数，若有7个不同的零点，则a的范围是___________________ 15．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 16．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 典例五 根据零点所在的区间求参数范围 17．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 19．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2026高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例六 根据一次、二次函数零点的分布求参数范围 21．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在有两个不同的零点，求实数的取值范围，并证明：． 22．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）若函数的两个零点分别为，，且有，，则的取值范围为__________． 23．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 24．（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）已知若，且，则的取值范围是______ 典例七 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2026高一·全国·专题练习）（1）若方程有两解，则实数的取值范围是______； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是______． 27．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（2026高一上·江西鹰潭·专题练习）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 典例八 比较零点的大小关系 29．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 31．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 典例九 求零点的和 33．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 34．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 36．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有4个零点，判断是否为定值，并说明你的理由. 典例十 函数与方程的综合应用 37．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知函数，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 38．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 39．（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，给出下列四个结论：①；②；③；④函数有8个零点；其中所有正确结论的序号是______． 40．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）设函数，下列说法正确的有（     ） A． B．对任意，都有 C．方程恰有2个不同的实数解 D．若关于x的方程有2个不同的实数解，则 第四部分：课后检测 1．（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（26-27高二·全国·学业考试复习）设函数若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若方程有三个互不相等的实数解，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 10．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 11．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 12．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 ，若关于 x 的方程 恰有 3个不同的实数根，则实数 a =______． 13．（2026高三·全国·专题练习）函数，则方程的实根的个数是______________． 14．（25-26高二下·山东威海·期末）对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 15．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调 递增区间及值域； (3)根据图象写出使的的取值集合； (4)求出函数在上的解析式； (5)已知函数有三个零点，求实数的取值范围． 16．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)若且当时，函数存在零点，求实数的取值范围； (3)在（1）的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解 第一部分：知识清单 知识点一：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点二：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点三：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 第二部分：典型例题汇总 典例一 求函数的零点 典例二 零点存在性定理的应用 典例三 求函数零点或方程根的个数 典例四 根据函数零点的个数求参数范围 典例五 根据零点所在的区间求参数范围 典例六 根据一次、二次函数零点的分布求参数范围 典例七 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 典例八 比较零点的大小关系 典例九 求零点的和 典例十 函数与方程的综合应用 第三部分：典型例题 典例一 求函数的零点 1．（2026高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2). 【答案】(1)存在，0 (2)存在，1 【详解】（1）令，解得， 所以函数存在零点，且零点为0. （2）当时，令，解得； 当时，令，解得（舍去）， 所以函数存在零点，且零点为1. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)4， (3)，1 【分析】根据函数零点与相应方程的根之间的关系，结合因式分解求解即可． 【详解】（1）令，即， 也即或，所以， 故函数的零点为1. （2）. 令，即，解得或， 故函数的零点是4，. （3）. 令，则，解得或， 故函数的零点是，1. 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 典例二 零点存在性定理的应用 5．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 6．（2026·重庆永川·模拟预测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 7．（26-27高二·山东·学业考试模拟）若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不存在实数使得 B．若，则只存在一个实数使得 C．若，则有可能存在实数使得 D．若，则不可能存在实数使得 【答案】C 【详解】当零点在区间内时，也可能成立，因此A不正确，C正确； 若且连续，则满足零点存在性定理的两个条件， 所以在区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确． 8．（25-26高一上·河北·期末）函数的零点所在区间可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，在，上单调递增， 所以在，上单调递增， 又，，，， 所以，所以在上存在零点. 故选：C 典例三 求函数零点或方程根的个数 9．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】令，将原方程转化为，分和两种情况解方程求其解，将求得的代回，再分和两种情况，分别求解对应方程的实根个数，最后汇总所有实根的总数. 【详解】令，原方程转化为， 当时，，整理得，唯一解为； 当时，，即，解得或， 因此满足的共有个值，，，. 当时，， 若，则，解为 ，方程有个根； 若，则，解为 、，方程有个根； 方程 共有个实根； 当时，， 因为，所以， 若，，方程无解； 若，，左边绝对值非负，右边为负，该方程无解； 方程共个实根； 当时，，显然， 若，则，方程无解； 若，有个解，分别为，， 所以方程共个实根， 所以方程的实根个数为. 10．（25-26高二上·山东·学业考试真题）函数的零点的个数为________． 【答案】2 【分析】函数零点个数可转化为与图象交点个数，借助于图象即可求解. 【详解】函数零点个数，即方程实数解的个数， 即与图象交点个数， 作与图象， 如图有两个交点，故零点个数为2，这两个零点分别为． 11．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是__________. 【答案】7 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 12．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 典例四 根据函数零点的个数求参数范围 13．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 14．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数，若有7个不同的零点，则a的范围是___________________ 【答案】 【分析】画出图象，分析满足7个零点的情况，再由二次函数零点的分布列不等式组可得. 【详解】 画出图象如上， 令， 分析其解的个数可得当时有4个解，当和时有三个解， 当时，，此时，，解得或， 由图可得此时方程有4个解，不符合题意； 当时，，此时，，解得或， 由图可得此时方程有6个解，不符合题意； 所以有7个不同的零点等价于方程的两根只能是满足：， 由二次函数的性质可得. 15．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】令，则原方程转化为，分段解得或时，再分和进行求解. 【详解】令，则原方程转化为， 当时，，解得； 当时，，因为，所以该方程仅当时才有解，此时解为. 当时，的解为或，即或， 当时，，的解为，的解为； 当时，，故均为解. 因为时原方程有无数个实根，不符合题意，故. 当时，时无解，故有唯一解，即. 当时，，的解为，存在一个实根； 则当时，无解，即在时无解，时， 所以或，即或. 综上，. 16．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出的定义域，再根据对数函数的单调性求解不等式即可； （2）将只有一个零点，转化为关于的方程只有一个正根，分类讨论和分别求解即可． 【详解】（1），， ， ，， 的定义域， 中，，的定义域． ， ， ， ，即， 不等式的解集为． （2），， ， 函数只有一个零点， 只有一解， ，， ，， ， ， 恒成立， 关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，，则有， 方程的两个根只能异号， ， ，此时方程只有一个正根，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为或． 典例五 根据零点所在的区间求参数范围 17．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 18．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 19．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由函数单调性和即可由函数零点存在性定理求解. 【详解】和均为单调递增函数， 所以在上也为单调增函数， 因为， 所以函数的零点在区间上， 又函数的零点在区间上， 所以. 故选：C. 20．（2026高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 典例六 根据一次、二次函数零点的分布求参数范围 21．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在有两个不同的零点，求实数的取值范围，并证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）分与两类讨论奇偶性.当时，由偶函数定义可得；当时，由特殊值验证可知； （2）分析两个零点的分布，得两个零点分别在，上各一个，数形结合建立的不等关系求解即得范围；再由两根的范围及根与系数关系化简证明即可. 【详解】（1）当时，， ， 为偶函数； 当时，，，， ，且， 为非奇非偶函数； 综上所述，当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数. （2）， 设，则函数的图象开口向上，且恒过， 则方程必有一正根，一负根，即函数在至多一个零点. 又函数在也至多一个零点， 所以若函数在有两个不同的零点，则两个零点分别在，上各一个， 所以当时，由，即，解得． 当时，则，得． 综上可知，． 证明：设函数在有两个不同的零点，不妨设， 由上可知，，， 则，，故， 而，， ． 22．（26-27高一上·江苏常州·阶段检测）若函数的两个零点分别为，，且有，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用零点存在定理， 开口向上，由 ，，对各端点建立函数值符号不等式，联立求解参数 的范围. 【详解】设 ，其图象开口向上. 由 及零点存在定理，需满足 且 ；由 需满足 且 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 计算 ，得 . 四个条件取交集：，，，，化简得 . 故 的取值范围为 . 23．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由二次函数根的分布的性质，结合对称轴，顶点纵坐标及特殊点函数值得到不等式组，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 要想函数的两个零点都在区间内，需满足， 解得，故实数m的取值范围是 24．（26-27高一上·河北衡水·阶段检测）已知若，且，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】画出函数的图象，利用函数图象的对称性分别计算和的范围求解. 【详解】画出的图象，如图所示： 设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为， 由对称性可得，且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， 所以． 典例七 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知函数若函数恰有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查分段函数的图像与性质，需要将复合函数分层转化，将条件转化为有6个实数根，结合函数图像分析解的个数. 【详解】令，则恰有6个零点，等价于有三个不同的解， 且对应有6个实数根，由函数的图像，如图所示 则，，，， 当时，二次函数最大值在时取得，即， 则, 则二次函数与直线各有两个交点， 所以要满足有6个实数根， 则需即，解得. 故的取值范围为. 26．（2026高一·全国·专题练习）（1）若方程有两解，则实数的取值范围是______； （2）若方程有一解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】（1）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题，画出图象，利用数形结合求解． （2）将方程解的个数问题转化为和的图象的交点个数问题，画出图象，利用数形结合求解． 【详解】（1）方程有两解，即有两解，从而函数和的图象有两个交点，作出图象，如图1．    由图可知，，则实数的取值范围是． （2）方程有一解，则函数和的图象有一个交点，作出图象，如图2．由图可知，或，则实数的取值范围是．    27．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 28．（2026高一上·江西鹰潭·专题练习）已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数与的图像，结合图像进行讨论得到的范围. 【详解】令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图像，如图所示.    不妨设，则由图像可得，所以，故D错误. ， ，故C错误. ，，即， 又，，故A错误，B正确. 故选：B. 典例八 比较零点的大小关系 29．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 30．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 31．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 32．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 典例九 求零点的和 33．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将两个方程分别变形，利用函数互为反函数，图像对称以及垂直条件进行求解。 【详解】方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标； 方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标. 函数与函数互为反函数，图像关于对称， 同时直线与直线互相垂直， 因此两个交点、关于直线对称， 则，即. 34．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 35．（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 36．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有4个零点，判断是否为定值，并说明你的理由. 【答案】(1)单调递增区间为：，；单调递减区间为：，. (2)①当时，无零点；②当时，有1个零点；③当或时，有2个零点；④当或时，有3个零点；⑤当时，有4个零点. (3)， 由（2）知，当时，有4个零点，不妨设， 由二次函数的对称性可知 所以. 【分析】（1）讨论的正负号，即可去掉绝对值，再由二次函数的性质求出答案； （2）讨论的正负号，即可求出答案； （3）由二次函数的对称性即可求出的值. 【详解】（1）①当即或时，，二次函数开口向下，对称轴为，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当即时，，二次函数开口向上，对称轴为，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以的单调递增区间为：，；单调递减区间为：，. （2）由（1）知， , ①当即时，无零点； ②当即时，有1个零点； ③当即时，有2个零点； ④当即时，有3个零点； ⑤当即时，有4个零点； ⑥当即时，有3个零点； ⑦当即时，有2个零点； 综上所述：①当时，无零点； ②当时，有1个零点； ③当或时，有2个零点； ④当或时，有3个零点； ⑤当时，有4个零点. （3）略 典例十 函数与方程的综合应用 37．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知函数，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】作出函数的图象，对于A，观察图象确定的范围即可判断；对于B，由图象可知，通过化简即可判断；对于C，由图象可知为方程即的两根，把转化为关于的函数即可判断；对于D，由BC选项的分析可知，，，故，利用均值不等式即可判断. 【详解】如图，作出函数的图象， 对于A，由图象可知，若关于的方程有四个从小到大的实数根分别为，则，正确； 对于B，由图象可知，即， 即，，正确； 对于C，由图象可知为方程即的两根， 所以，， 设，由于，所以，那么， 由于在上单调递减，故， 所以，正确； 对于D，由BC选项的分析可知，， 由图像可知即， 所以，那么 , 由于,当且仅当即时取等号， 所以，错误. 38．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）（多选）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先去绝对值，得到，画出对应图像，有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，对于BCD，结合，，，，验证选项即可. 【详解】由题可知，，绘制图象如下所示. 令,解得， 令,解得， 令，解得， 令,解得. 对于A，因为方程有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，故A错误. 对于B，,则,故B正确 对于C,， ，所以，C正确； 对于D，， 因为，， 所以，故，D错误. 39．（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，给出下列四个结论：①；②；③；④函数有8个零点；其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作函数图象如图： 方程有四个不同根的条件是，故①正确； 是方程即的两根，由韦达定理：； 是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故②错误； ，，故，，其取值范围为，故③错误； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根； ：共2个实根； 当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，④正确. 40．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）设函数，下列说法正确的有（     ） A． B．对任意，都有 C．方程恰有2个不同的实数解 D．若关于x的方程有2个不同的实数解，则 【答案】BCD 【分析】求出，判断A；分段分析的取值范围，判断B；分段分析方程的解，判断C；令，，结合的取值范围，可得的取值范围，判断D. 【详解】由函数，则，所以A错误； 当时，， 当时，反复除以，可得，且，所以. 综上所述，对任意，都有，所以B正确； 当时，方程等价于，即， 解得或（舍去）； 当时，，，. 方程等价于，即，所以； 当时，，所以方程无解. 综上所述，方程恰有2个不同的实数解，所以C正确； 当时，，； 当时，，，. 令，若，则方程恒有一个解，； 若，则方程有无穷多个解，. 当时，； 当时，. 若，只有，对应唯一的； 若，则有. 其中总对应一个；只对应一个，当且仅当，即， 否则对应无穷多个. 当时没有解. 综上，若关于x的方程恰有个不同实数解，则，所以D正确. 第四部分：课后检测 1．（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【答案】D 【分析】由函数零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，即，解得，， 所以函数的零点是和. 2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 3．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 4．（26-27高二·全国·学业考试复习）设函数若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，利用转化思想，把问题转化为两个函数图象之间的交点问题，最后利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】画出的图象如下图． 方程有三个不同的实数解，等价于函数与函数有三个不同的交点， 当时，函数， 该二次函数开口向上，最低点为，且， 所以由数形结合思想可知：． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 7．（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 8．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若方程有三个互不相等的实数解，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，，单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正实数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 【答案】ABC 【详解】A，令，解得，得函数的零点为1和-1，A正确； B，令，解得或，定义域为或， 令，解得或，即函数的零点为和1，B正确； C，的定义域为，令，解得， 即函数的零点为1和-1，C正确； D，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点， 故不存在零点. 10．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 【答案】AC 【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD. 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 11．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数，若关于的方程（）有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．函数有8个零点 【答案】AD 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析 的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作出函数图像如图： 方程有四个不同根的条件是，故A正确； 是方程即的两根，由韦达定理：； 是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故B错误； ，，故，，其取值范围为，故C错； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根； ：共2个实根； 当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，D正确. 12．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 ，若关于 x 的方程 恰有 3个不同的实数根，则实数 a =______． 【答案】 【分析】利用换元法将复合方程转化为一元二次方程，结合的图象与零点个数，通过数形结合讨论参数取值. 【详解】令 ，原方程可整理为关于的一元二次方程： ，因式分解得 ， 因此一元二次方程的两个根为：. 函数的图象特征： 当时，方程有2个不同实数根； 当时，方程仅有1个实数根； 当时，方程没有实数根. 原方程恰有3个不同实根，说明两个方程，的根的总数为3 结合，只能是：其中一个等于0（1个根），另一个对应2个根. 因此仅存在两种符合要求的情况： ①若，得，此时，两个方程一共只有一个根，不符合要求； ②若，得，此时.令，；令，.总根个数为，符合要求. 综上，. 13．（2026高三·全国·专题练习）函数，则方程的实根的个数是______________． 【答案】2 【分析】对绝对值函数进行分段处理，由得，利用函数图象交点个数确定方程实根的个数. 【详解】. ，，. 方程的实根的个数等价于函数与图象的交点个数，如图所示： 由图可知，函数与图象有2个交点，即方程有2个实数根. 14．（25-26高二下·山东威海·期末）对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用零点与方程思想，结合二次函数分类讨论零点存在的区间，即可得到参数的取值范围. 【详解】设，，则 ， 由二次函数的判别式 ， 当时，，此时， 由于有两个零点，都满足， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上， 的两零点分别位于 和 ，都满足 ， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上，有一个零点在 ，另一个零点在 ， 所以的一个零点和在 的一个零点就是的两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 仍然满足只有两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 此时有三个零点和，故不满足题意； 当 时，，， 因为，所以设两个零点分别为，则， 可知，此时有四个零点和，此时不符合题意， 综上，的取值范围是 . 15．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调 递增区间及值域； (3)根据图象写出使的的取值集合； (4)求出函数在上的解析式； (5)已知函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，值域为 (3) (4) (5) 【分析】（1）根据奇函数的对称性画出轴右侧图象即可； （2）根据（1）所得函数图象写出增区间、值域即可； （3）根据（1）所得函数图象写出不等式的解集即可； （4）根据奇函数的性质，求出的解析式即可； （5）将函数有三个零点，转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，再根据（1）所得函数图象求出实数的取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）所得函数图象可知，函数的单调递增区间为，值域为； （3）由（1）所得函数图象可知，使的的取值集合为； （4）设，则.因为当时，， 所以. 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 综上，函数在上的解析式为； （5）将函数有三个零点， 转化为函数的图象与直线有三个不同的交点. 由（1）所得函数图象可知实数的取值范围为. 16．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)若且当时，函数存在零点，求实数的取值范围； (3)在（1）的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义即可计算求解，再检验即可得解； （2）先利用换元法令，将函数转化为二次函数，，然后求出二次函数的最值得到函数在上的值域，最后将函数存在零点转化为方程有解即可得解； （3）先根据函数的单调性求出在上的最大值，接着令将题设条件等价转化为在上恒成立，即，求出在上的最大值即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即，，解得， 当时，， 因为，所以不成立，舍去； 当时，， 函数定义域为关于原点对称，且， 所以函数为奇函数，故. 综上所述，. （2）当时，得， 令，则，因为，所以， 当时，；当时，， 所以在上的值域为， 又因为函数存在零点，所以方程有解， 因为，所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. （3）由（1）得，当时，， 因为，所以， 所以，即， 由题得，对任意的，总存在，使得成立， 即对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立； ，令，当时，， 则，即在上恒成立，即， 因为函数在单调递减，在上单调递增， 所，即， 综上所述，的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $