4.5.1 函数的零点与方程的解-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 4.5函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解 课程标准 素养解读 1.理解函数零点的概念，会求简单函数的零点 1.通过求函数的零点，培养数学运算素养 2.理解二次函数的零点与对应方程、不等式解集2.通过二次函数的图象、零点、方程、不等式解集之间关 之间的关系，能借助二次函数的图象求一元二 系的对应，培养联系、转化的思想观点，提升逻辑推理、 次不等式的解集 直观想象素养 课前。预习学案 对应学生用书P137 [情境引入] ?思考1.函数的零点是点吗？ (1)观察下列一元二次方程与对应的二次函数： 提示：不是，是使f(x)=0的实数x,是方程f(x) ①方程x2-2.x-3=0与函数y=x2-2x-3. =0的根. ②方程x2-2.x十1=0与函数y=x2-2.x+1. [知识点二]函数零点存在定理 ③方程x2-2.x十3=0与函数y=x2-2x十3. 1.概念：如果函数y=f(x)在区间[a,b们上的图象是 结合下面的表格，完成填空 一条连续不断的曲线.且有f(a)·f(b)<0.那么， 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即 存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的解. 图象 2.本质：利用函数的性质判断零点的存在性 3.应用：判断零点的存在性、求参数的范围等 ?思考2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 与x轴交 (一1,0)，(3,0 (1,0) 点的坐标 无 连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断 函数在区间(a,b)上的零点个数？ 对应方 程的根 -1,3 1 无 提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数 3.函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，是不是一定 (2)结合问题1，你认为方程f(x)=0的根与对应函 有f(a)·f(b)<0? 数y=f(x)的图象有什么关系？ 提示：不一定，如f(x)=x2在区间（一1,1）上有 提示：方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象与x 零点0，但是f(-1)f(1)=1X1=1>0: 轴交点的横坐标相等， 预习自测 [知识梳理] 1.y=2x一1的图象与x轴的交点坐标及其零点分 [知识点一]函数的零点 别是 1.（1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)=0的实数x (2)函数的零点，函数的图象与x轴交点、方程实数解 (20号 的关系： D.(- 答案：B 函数y寸)有零点 2.下列函数中，没有零点的是 A.f(x)=logzx-7 B.f(x)=x-1 函数yfx)的图象 D.f(x)=x2+x 与x轴有公共点 方程()=0有实数解 C.f(x)=1 答案：C 2.本质：方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的图象 3.已知函数y=f(x)的定义域为R,图象连续不断， 与x轴的公共点的横坐标， 若计算得f(1)<0,f(2)<0,f(3)>0,则可以确定 3.应用：利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的 零点所在区间为 关系，实现三种问题的相互转化， 答案：(2,3) ·195· 数学·必修第一册 课堂。互动学案 对应学生用书P138 题型 求函数的零点 题型二 确定函数零点所在的区间 [例1]求下列函数的零点： [例2]函数f(.x)=lnx- 2的零点所在的大致区 (1)f(x)=x-1)ln; x-3 间是 (2)f(x)=-x2-x+20; A.(1,2) B.(2,3) (3)f(x)=x4-1. C.(3,4) D.(e,+∞) 汇思路点拨]根据函数零点与相应方程的根之间 思路点拨“通过选项逐个验证f(a）·f(b)<0 的关系，可知求函数的零点就是求相应方程的根 是否成立： [解](1)令f(x)=0,即二1)1nt=0, [解析]，f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0, x-3 .在(1,2)内f(x)无零点，A错； 即x-1=0或lnx=0,所以x=1, 故函数f(x)的零点为1. 又f3)=n3-号>0r2·f3)0, (2)f(x)=-x2-x十20=-(x2+x-20) .f(x)在(2,3)内有一个零点. =-(.x+5)(x-4),方程-x2-x十20=0的两根 [答案]B 为-5,4. 规律方法 故函数的零，点是一5,4. 1.确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (3)由于f(x)=x-1=(.x2+1)(x+1)(x-1), (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先 所以方程x4一1=0的实数根是一1,1.故函数的零 解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. 点是-1,1. (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y 规律方法 f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是 1.准确理解函数的零点 否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x) 函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其 在区间(a,b)内必有零点. 函数值等于零 (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 2.求函数y=f(x)的零点的方法 轴在给定区间内是否有交点来判断。 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)=0,它 2.判断函数零点所在区间的三个步骤 的实数解就是函数y=f(x)的零点. (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值. (2)几何法：若方程f(x)=0无法求解，可以根据 (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断」 函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如， (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函 求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函 数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数 数)的零点.因为奇函数y=f(x)是定义在R 连续，则在该区间内至少有一个零点： 上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0) ⊙[变式训练] =0.因为y=f(x)是定义在R上的减函数， 2.若函数f(x)=2x-3a.x十2有两个零点，且分别在 所以不存在其他的x使f(x)=0,从而 (-2,-1)与(-1,0)内，则实数a的取值范围是 y二f(x)的零点是0. ⊙[变式训练] 1.求函数f(x)=x3-7x十6的零点. A(号) 解：令f(x)=0,即x3-7x十6=0， c(号-) ∴.x3-x-(6x-6)=0, 解析：C[由题意可得 .x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0, (f(-2)·f(-1)=(8+6a+2)(2+3a+2)<0, .(x-1)(x-2)(x+3)=0, 1f(-1)·f(0)=(2+3a+2)×2<0, 解得x1=1,x2=2,x3=一3， 函数f(x)=x3-7x+6的零点是1,2，-3. 解得-<a<-] 196· 第四章指数函数与对数函数 题型】 判断函数零点个数 ◇[变式训练] [例3]求函数f(.x)=2+1g(x+1)-2的零点个数， 3.(1)(多选)已知函数f(x)=x3十a.x2十bx十c有三 汇思路点拨]可通过判断f(x)的单调性和零点 个零点-1,1，xo,且函数g(x)=ax2+bx十c,则下 的存在性判断确定f(x)的零点个数；也可以构造 列判断正确的是 两个函数，通过作图，观察它们图象的交点个数， A.Io=-a 从而确定f(x)的零点个数. B.函数y=g(x)可能不存在零点 [解]方法一：f(0)=1+0-2=-1<0, f(2)=4+1g3-2>0, C.函数y=g(x)可能有一个零点 f(x)在(0,2)上必定存在零点， D.函数y=g(x)可能有两个零点 又显然f(x)=2+lg(x+1)-2在(0，+o∞)上为 -2x,xa 增函数（图略），故f(x)有且只有一个零点。 (2)已知函数f(x) (a>0),若函 8-x,x>a 方法二：在同一坐标系下 yA 数g(x)=f(x)-3|x有三个零点，则实数a的取 作出h(x)=2-2和g(x）h2-2 g(x)=lg(x+1) =lg(x十1)的草图. 值范围是 ( 由图象知g(.x)=1g(x+1) A.(0,2)U[5,+∞) 的图象和h(x)=2-2r的 B.[5,+∞) 图象有且只有一个交点， C.(0,1) 即f(x)=2+1g(x+1)-2有且只有一个零点. D.(0,1)U[5,+∞) 规律方法 解析：(1)ACD[因为-1和1是f(x)的零，点，所 根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是 f(x)=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有 1+a+b+c=0, 以 解得b=-1,c=-a, 几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实根，有 -1+a-b+c=0, 几个实根. 所以f(.x)=x3+a.x2-x-a=x(.x2-1)+a(.x2-1) 要注意的是同一个实数在方程中叫解或根，而在 =(x十a)(x2-1),因为x。为函数f(x)的零点，且 函数中称为零点，但不可以称为方程的零点或函 x。卡士1，所以x。=一a,故A正确；当a=0时， 数的根. 1.确定函数零点个数的方法 g(x)=一x有一个零点，故C正确；当a≠0时，对 (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数 于g(x)=a.x2-x-a,△-1+4a2>0,所以y=g(x） 问题，一般采用分解因式法来解决. 有两个零点，故D正确；综上，y=g(x)可能有一个 (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问 零，点或两个零点，故B错误.门 题，通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一 (2)A[因为函数g(x)-f(x)-3|x|有三个零 般用图象法来解决. 点，所以y=f(x)的图象与y=3|x|的图象有三个 (4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数 交点。 的单调性来判断函数零点的个数 因为a>0,所以当x≤0时，由x2一2x=-3.x,得x 2.判断函数y=f(x)的零点的个数的方法 =一1或x=0,所以当x≤0时，y=f(x)的图象与 (1)解方程法：方程f(x)=0的实数根的个数就 是函数f(x)的零点的个数 y=3|x的图象有2个交点. (2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定 则当x>0时，y=f(x)的图象与y=3|x|的图象有 理进行判断. 1个交点. (3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象 令3.x=8-x,得x=2,所以0<a<2符合题意； 与x轴的交点的个数来判断.特别地，对于形 如y=h(x)一g(x)的函数，可通过函数h(.x) 令3x=x2-2x,得x=5或x=0(舍去)，所以a≥5 与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y= 符合题意. h(x)-g(x)的零点的个数， 综上，实数a的取值范围是(0,2)U[5,十∞).] 197· 数学·必修第一册 随堂。步步夯实 对应学生用书P141 1.函数f(x)=x3一4x的零点为 ③若f(a)·f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使 A.(0,0),(2,0) 得f(c)=0 B.(-2,0),(0,0),(2,0) ④若f(a)·f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b) C.-2,0,2 使得f(c)=0 D.0,2 答案：③ 答案：C 5.已知f(x)=1og3(x+1)-log3(.x-1). 2.(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有 (1)求g(x)=f(x)-2的零点； (2)若关于x的方程f(x)=log:有解，求实数a 的取值范围， x十1 解：1)由题设，gx)=f(x)-2=logs9g,且 定义域为{xx>1}, 答案：CD 所以令R)=0,即g=1,解得x=>1 3.函数f(x)=x-2的零点是 则g(x)的零点为5」 4 答案√2，一√2 (2)由1)及题设知十1=4在1，十0)上有解，且 4.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断 x-1 x 的一条曲线，则下列说法正确的有 a>0,所以a=-x-1+名+3≥3+ x-1 ①若f(a)·f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使 得f(c)=0 2,x-1D·名=3+22，当且仅当x=+1时等 x-1 ②若f(a)·f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈ 号成立，所以实数a的取值范围为[3十2√2，十o∞). (a,b)使得f(c)=0 课后。素养提升 对应学生课时P314 基础过关 3.f(x)=e'十x一2的零点所在的区间是 》 A.(-2,-1) B.(-1,0) 1.函数f(x)=e-2的零点为 C.(0,1) D.(1,2) A.1 B.(1,0) 答案：C C.In 2 D.(ln2,0) 4.已知函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)， 答案：C f(x)是奇函数，且当x>0时，f(.x)=x2-x十a.若 2.已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的曲线，且 函数g(x)=f(x)一x恰有两个零点，则实数a的 有如下的对应值： 取值范围是 () A.(-∞，0) B.(-∞，0] x 1 2 3 4 6 C.(-∞，1] D.(-∞，0]U{1} y124.435-7414.5-56.7 -123.6 答案：D 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 5.(多选)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-1(a<b)恰有 ( 两个零点c,d(c<d),则下列结论正确的是() A.f(c)=f(d)=0 A.2个 B.3个 B.方程f(x)=-1的解集为{a,b} C.4个 D.5个 C.不等式f(.x)<0的解集为{xa<x<b} 答案：B D.a,b,c,d的大小关系是d>b>a>c ·198· 第四章指数函数与对数函数 解析：ABD[对于A,因为c,d(c<d)是函数f(x) 7.函数f(x)=x一√无一6的零点是 =(x-a)(x-b)-1(a<b)的两个零，点，所以f(c) 解析：由题意可知f(x)的定义域为{x|x≥0}，令 =f(d)=0,故A正确；对于B,方程f(x)=-1→ f(x)=x-√(-6=0，可得(x)2-√(-6=0，解 (x-a)(x-b)-1=-1→(x-a)(.x-b)=0→x= a或b,所以方程f(x)=-1的解集为{a,b},故B 得√E=-2(舍去)或=3，x=9. 正确；对于C,因为函数f(x)=(x-a)(x一b)-1 答案：9 (a<b)恰有两个零，点c,d(c<d),所以f(x)=(x一 8.已知0<a<1,则函数y=a一|logx|的零点的 a)(x-b)-1=(x-c)(x-d)<0→c<x<d,所以 个数是 不等式f(.x)<0的解集为{x|c<x<d},故C错 解析：画出函数f(x)=az(0<a y g(x)=log,xl 误；对于D,先画y=(x-a)(x-b)的图象，再将y <1)与g(x)=|logx|(0<a<1)的 =(x一a)(x一b)的图象向下平移一个单位长度得 图象，如图所示，观察可得函数 -10 到f(x)=(x一a)(x-b)一1的图象，如图所示， f(x)=a(0<a<1)与g(x)=|logax|(0<a<1) 的图象的交点的个数为2，从而函数y=a一 y=(x-a)(x-b) |logx|的零点的个数为2. f(x 答案：2 9.已知函数f(x)=3+x-5的零点xo∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈N*,则a= ,b= 由图可知d>b>a>c,故D正确.] 解析：函数f(x)=3十x-5,∴.f(1)=3+1-5 6.(多选)已知f(x)是定义在(-∞，0)U(0,十∞)上 =-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,.f(1)f(2)< log,0<<1, 0,且函数f(x)在R上单调递增，∴.f(x)的零点x。 的偶函数，当x>0时，f(x)= |4-x2|,x≥1， 在区间(1,2)内..a=1,b=2. 则下列说法正确的是 答案：12 A.函数f(x)在(0，十∞)上单调递增 10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： B.函数f(x)有两个零点 (1)f(x)=-x2+2x-1; C.不等式f(x)≤3的解集为[-√7，√7] (2)f(x)=x4-x; D.方程f(f(x)-5=0有6个不相等的实数根 (3)f(.x)=4+5; 解析：BD[由题意，函数f(x)的图象如图所示. (4)f(x)=log(x+1). 对于A,f(x)在(1,2)上单调递减，A错误.对于B, 解：(1)令-x2十2x-1=0,解得x1=x2=1, 令f(x)=0,即|4-x2|=0,解得x=±2，f(x)只有 所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1. 2个零，点，B正确.对于C,由图知只需f(x)≤3得 (2)因为f(x)=x2(x-1)(.x+1)=0, 4-x2|≤3，解得[-√7,0)U(0,W7],C错误.对 所以x=0或x=1或x=-1, 于D,f(f(x)=5,即4-[f(x)]|=5,且|f(.x)1 故函数f(x)=x4-x2的零点为0，-1和1. ≥1，解得f(x)=土3.若f(x)=3,即|4-x21=3, (3)令4十5=0，则4=-5<0， 解得x=±1或x=土√7；若f(x)=-3,即1og2x 4>0恒成立，∴.方程4”十5=0无实数解。 =一3，解得x=士8D正确。 所以函数f(x)=4十5不存在零，点. (4)令1og3(x十1)=0，解得x=0, 所以函数f(x)=log(x十1)的零点为0. 11已知函数x)=2”- (1)根据函数单调性的定义证明f(x)在R上单调 递塔； (2)设关于x的方程f(9十k)+f(1-4·3)=0 有两个不同的实根，求k的取值范围 ·199· 数学·必修第一册 (1)证明：任取x1,x2∈R,且x1<x2, A(是-21 B.[-1,0] 则）-fu,)=25-是-2+ C.(-∞，-2] =(25-2%)+21-25 21+2 解析：A[令h(x)=f(x)-g(x),由h(x)= =2-20+2） x2-5x+4-m.由题意，可知h(x)在[0,3]上有 两个不同的零点， 因为x1<x2,所以25-2<0. h(0)≥0， 〔4-m≥0， 又12>0， 故有 h(3)≥0， 即 -2-m≥0， 42 所以f)-f)=25-2…（+2) 2-+4-m<0 解得一 9 0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上单调递增. 4 <m≤-2，故选A.] 13.已知函数f(x)-a.x2十m.x十m-1(a≠0). (2)解：因为f(x)=2- 2x∈R,所以f(-x)= (1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数； 2=-2=所以通纸是专 (2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个零点，求 实数a的取值范围； 函数， (3)已知x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),求 因为f(9+k)+f(1-4·3)=0, 证：方程f(x)=[f(x)+f(x,]在区间(， 所以f(9+k)=-f(1-4·3)=f(4·3-1), 因为f(x)在R上单调递增，所以9十k=4·3-1 x2)上有实数根. 解：，f(-1)=0,.a-m+m-1=0,.a=1. 有两个不同的实根，即k=一9”十4·3一1有两 .f(x)=x2十m.x十m-1, 个不同的实根， △=m2-4(m-1)=(m-2)2. 令t=3,t>0,则k=-t2十4t-1有两个不同的 当m=2时，△=0，函数f(x)有一个零点；当m卡 正解， 2时，△>0，函数f(x)有两个零点. 即直线y=k与g(t)=-2+4t-1(t>0)的图象 (2)已知a≠0，则△1=m2-4a(m-1)>0对于m 有两个不同的交点， ∈R恒成立，即m2-4am十4a>0恒成立. 作出g(t)=-t2+4t-1(t>0)的图象，如图所示. .△2=16a2-16a<0,解得0<a<1. y g0-t2+4t-1 故实数a的取值范围为(0,1) y=k （3)证明：设g6x)=fx)-[f)+fx]. -10 12 则g(x1)=f(x)- 2f)+f:] -2 -3 =2[f)-fx,门 由图可知一1<k<3,所以实数k的取值范围为 (-1,3). gx,)=fx）-2[fx)+f(x刀 能力提升 -》 =,）-fx. 12.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两 f(x1)≠f(x2), 个函数，若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有 两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上是 g(x1)·g(x2)=- f)-f<0. “关联函数”，区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x) g(x)=0在区间(x1,x2)上有实数根，即方程 =x2-3.x+4与g(x)=2x十m在[0,3]上是“关 f()=fx)+fx:)]在区同(x)上有实 联函数”，则实数m的取值范围为 ( 数根 ·200·