1.4充分条件与必要条件同步练习题-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4充分条件与必要条件同步练习题 一、单选题 1．“为正三角形”是“为等腰三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 3．“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知：正整数能被4整除，：正整数能被6整除，则是的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设全集为，集合，，韦恩图如下图，下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 6．“”是“关于的方程有两个负根”的条件（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 二、多选题 7．下列命题中，是的充分条件的是（   ） A．：是无理数，：是无理数 B．：四边形为等腰梯形，：四边形对角线相等 C． D． 8．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 三、填空题 9．“a = 1，b = 2”是“a + b = 3”的______条件. 10．设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 四、解答题 11．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若，则的余角是； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则是偶数． 12．已知，证明：“”是“”的充要条件. 13．设全集，集合，非空集合，其中. (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【详解】因为正三角形一定是等腰三角形， 所以“为正三角形”可以推出“为等腰三角形”， 又因为等腰三角形不一定是正三角形， 所以“为等腰三角形”推不出“为正三角形”， 因此“为正三角形”是“为等腰三角形”的充分不必要条件． 2．C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角形确定的性质及判定定理逐项判断即可. 【详解】对于选项A：面积相等的两个三角形形状、边长不一定完全相同， 比如同底等高的锐角三角形和钝角三角形面积相等但不全等， 因此“面积相等”只是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项B：对应角相等只能说明两个三角形相似，边长可以成任意相同比例， 比如大小不同的两个等边三角形对应角相等但不全等， 因此“对应角相等”是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项C：根据三角形全等的判定公理，三角形的三边长度完全确定后， 三角形的形状和大小就被唯一确定，对应边相等的两个三角形必然全等； 反过来，全等三角形的对应边必然全部相等，因此“对应边相等”是两个三角形全等的充要条件. 对于选项D：三角形的对应外角相等等价于对应内角相等，和选项B性质一致，只能推出两三角形相似， 无法保证全等，属于必要不充分条件. 3．B 【详解】若，则和中有公共元素，故且，充分性成立， 若，取，，此时，故必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 4．D 【详解】因为8能被4整除，不能被6整除，且6能被6整除，不能被4整除，所以是的既不充分也不必要条件． 5．A 【详解】由图可知集合B是集合A的子集，即， 可以推出，但是不一定能推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 6．C 【详解】若的方程有两个负根，则，故. 故关于的方程有两个负根的等价条件为， 而为的真子集， 故“”是“关于的方程有两个负根”的必要不充分条件. 7．BC 【分析】根据充分条件的定义，并结合举反例，判断选项可得答案. 【详解】A中，例如：是无理数，是有理数，所以不是的充分条件； B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以是的充分条件； C中，，所以是的充分条件； D中，当时，，但，所以不是的充分条件． 故选：BC. 8．BD 【分析】根据充分条件和必要条件定义结合题意分析即可得解. 【详解】， 故. 所以p是s和q的充分条件，r是q的充分条件，s是q的充要条件. 故AC错误，BD正确. 故选：BD. 9．充分不必要 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】若，则，所以“”是“”的充分条件； 若则不一定有，比如，所以“”不是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 10． 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 11．(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 (4)q是p的必要条件 【详解】（1）根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的中线一定相等，故该命题是真命题， 则，所以q是p的必要条件． （2）因为，所以的余角为， ，所以q是p的必要条件． （3）因为，所以长分别为3 cm、4 cm和9 cm的三条线段不能组成三角形， 所以由得不到，所以q不是p的必要条件． （4）两个偶数相乘仍是偶数， 所以，所以q是p的必要条件． 12．证明: 先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略. 13．(1) (2) 【分析】（1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1） 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得， 则 ，解得，则实数的取值范围是. （2）由于集合B为非空集合，所以，解得， 由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集， 所以 ，解得，所以， 当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $