1.4 充分条件与必要条件同步练—2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 1.1921年，萧楚女为激励学子刻苦学习，写下“前程万里，毛羽须丰，一旦奋飞何其雄”的诗句.这首诗后来被谱曲，成为宣城中学的校歌《奋飞曲》.“前程万里”是“毛羽须丰”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若集合，，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知的三边长分别为a，b，c，则“不是直角三角形”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若集合，下列各式不是“”的充分不必要条件的是( ) A. B. C. D. 5.已知，若集合，，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 7.已知，则下列选项中是p的充分不必要条件的是( ) A. B. C. D. 8.“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. （多选）9.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则( ) A.p是q的既不充分也不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 （多选）10.已知集合，，若是的充分条件，并且是的充分不必要条件，则集合A可以是( ) A. B. C. D. （多选）11.下列命题为真命题的是( ) A.已知集合，则集合A的真子集个数是4 B.“”是“”的必要不充分条件 C.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D.设，则“”是“”的必要不充分条件 12.“”是“”的__________条件.（用“充分不必要”“必要不充分”或“充要”填空） 13.设x为任一实数，表示不超过x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如，，，，那么“”是“”的__________条件. 14.已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为__________. 15.已知，求证：成立的充要条件是.提示：. 答案以及解析 1.答案：A 解析：“前程万里，毛羽须丰”的意思是要想前程万里，毛羽必须先丰满，故“毛羽须丰”是实现“前程万里”的必要条件，所以“前程万里”是“毛羽须丰”的充分条件； 但只有羽毛丰满，不奋飞，也不能前程万里，所以“前程万里”是“毛羽须丰”的不必要条件. 综上，“前程万里”是“毛羽须丰”的充分不必要条件.故选A. 2.答案：A 解析：，，所以，故充分性成立；，不一定成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A. 3.答案：A 解析：若“不是直角三角形”，则“”，所以充分性成立.若“”，则角C不为直角，有可能角A或角B是直角，所以必要性不成立，“不是直角三角形”是“”的充分不必要条件.故选A. 4.答案：D 解析：对于A，，，是的充分不必要条件； 对于B，，，是的充分不必要条件； 对于C，，，是的充分不必要条件； 对于D，，，是的必要不充分条件.故选D. 5.答案：A 解析：由，可知.若，则，所以，故充分性满足；若，则或，显然必要性不满足.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A. 6.答案：B 解析：由解得，所以成立的一个充分不必要条件是，故是的真子集，所以或解得，故实数a的取值范围是.故选B. 7.答案：D 解析：方法一（定义法）对于A，，，所以是p的必要不充分条件；对于B，，且，所以是p的既不充分也不必要条件；对于C，，且，所以是p的既不充分也不必要条件；对于D，，但，所以是p的充分不必要条件.故选D. 方法二（集合法）p对应的集合为，p的充分不必要条件对应的集合为集合M的真子集，故选D. 8.答案：B 解析：关于x的方程的根为正实数， 则需满足或解得. “关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为p，p对应的集合为B，则，结合选项可知满足，故选B. 9.答案：BD 解析：由已知得；，是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件.故选BD. 10.答案：ABC 解析：是的充分条件，且是的充分不必要条件，，，观察选项可知选项A，B，C符合要求.故选ABC. 11.答案：CD 解析：对于A，，故其真子集个数为，故A错误. 对于B，由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，故B错误. 对于C，若方程有一个正根和一个负根，则解得，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确. 对于D，当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选CD. 12.答案：必要不充分 解析：由，可得或或；由，可得. 显然，“”可以推出“”，即必要性成立；而“”不可以推出“”，即充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为必要不充分. 13.答案：充分不必要 解析：对于实数a，b，依题意，，，而，因此，若，如取，，有，，显然，所以“”是“”的充分不必要条件. 14.答案： 解析：依题意，，若，则，满足是的必要不充分条件.当时，，由于是的必要不充分条件，所以或，解得或，综上所述，a的所有可能取值构成的集合为.故答案为. 15.答案：证明见解析 解析：证明：充分性： 若，则，即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 学科网（北京）股份有限公司 $