湖南省长沙市雅礼中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

雅礼中学2026年下学期第一次质量检测试卷 高二数学 时间：120分钟 分值：150分 命题人：文雅 审题人：李云皇汤芳 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知全集U={1,2,3,4,5),集合M=1,2},N=(3,4},，则C,(MUN)=() A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.1,2,3,4} 1.【答案】A 【解答】解：全集U={1,2,3,4,5},集合M=(1,2},N=(3,4},“.MUN={1,2,3,4}, ·C(MN=5).故答案选：A 2.己知z=2-i,则z(2+)=() A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 2.【答案】C 【解答】解：z=2-iz(2+)=(2-i0(2+i+1)=(2-2+2)=4+4i-2i-22=6+2i.故选：C. 3.两平行直线x+2y-1=0与2x+4y+3=0的距离为() B.5 2 D.√5 3.【答案】B 【解答】解：由直线x+2y-1=0取一点A(1,0), 则两平行直线的距离等于A到直线2x+4+3=0的距离d:5=5 故选B V4+162 4.已知圆C,:x2+y2+2x+3y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0,则圆C,与圆C2的公切线条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.【答案】B 【解析】由圆心距与两圆的半径可知两圆相交，故公切线条数为2.故选B 5.若直线1的一个方向向量为ā=(1，√3)，则直线1的斜率为() 第1页，共12页 CV3 D.5 2 3 5.【答案】D 【解析】解：解：直线1的一个方向向量为ā=(1，V3),故直线1的斜率为√5 6已知角0的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(m引，则sm(20-)-() 24 7 24 7 A.25 B. C.- D.- 25 25 25 6.【答案】D 【解析】【详解由题意得，$in9,则m20--c0s20=2sim0-12公 7.已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0关于直线a心x+y+3=0对称，过点P(a,b)作圆C的切线，切点分别 为A,B,则cos∠APB的最小值为() A.27 29 19 27 B. C D 64 64 32 32 7.【答案】C 【解答】解：圆C:x2+y2+6x-4y+9=0关于直线ax+y+3=0对称， 又圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,即可得圆心C(-3,2),半径r=2, 则圆心C(-3,2)在直线ax+y+3=0上， B 6-54-3292 所以-3a+2b+3=0,即3a-2b=3,所以P(a,b)在直线3x-2y=3上， 又过点P(a,b)作圆C的两条切线，切点分别为A,B, 则cos∠APB=cos2∠APC=1-2sim2∠APC=1-2x(2}=1- PCI a+3)2+(b-2)2 则(a+3)2+(b-2)2可表示C(-3,2)到直线3x-2y=3上点的距离的平方， 所以(a+3)2+(b-2)2的最小值为( 32+(-2)2 /13 第2页，共12页 815219 所以cos∠APB的最小值为1-2562562故选：C. 13 8如图，已知半椭圆C。+冷0与半椭圆℃若+=(x<0)组成的面线称为“果圆”，其中 a2=b2+c2,a>b>c>0.“果圆”与x轴的交点分别为A,A,与y轴的交点分别为B,B2,点P为半椭圆 C2上一点（不与A,重合），若存在PAPA,=0,则半椭圆C,的离心率的取值范围为() 珠 B2 A. 引 c 8.【答案】D 【解答】解：设P(x,%),x∈(-c,0),因为A(-c,0),A(a,0),所以 PA=(-c-xo,-%),PA=(a-xo,-⅓)，所以PA·PA=x号+(c-a)x-ac+ 因为=-学，所以A%=。6+(e-+-e 因为存在PA.PA=0,所以(c2-b)x后+c2(c-a)x+(b2-ac)c2=0在∈(-c,0)上有解 因为(c2-b2)x+c2(c-a)x。+(b2-ac)c2=[(c2-b2)x。+(b2-ac)c](x。+c),且x∈(-c,0),所以 (仁-6)k+(6-aelc=0在e(e,0)上有解，即5-位-od9在6e(e,0)上有解 b2-c2 因为b2=a2-c2,所以 a2-ac-c2<0 3c2+ac-2as0'即-e0解得ee/ 5-12 3e2+e-2<0 23 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知直线4：x+ay-a=0和直线12：ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是() B.若1∥12，则a=-3 C.若l⊥b,则a=2 D.当a>0时，（始终不过第三象限 9.【答案】ABD 第3页，共12页 【解析】解：直线l:x+ay-a=0和直线2：ax-(2a-3)y-1=0, 对于A,直线12：整理得a(x-2y)+3y-1=0, 由10，得x=子， x-2y=0 21、 =了，y=写4始终过定点（写宁， 故A正确： 对于B,若L∥1，则有 -(2a-3)-a2=0 1x(←)-（←a)xa*0'解得a=-3,故B正确： 对于C,(⊥l2,则a-a(2a-3)=0,解得a=0或a=2,故C错误： 对于D,当a>0时，4：y=-x+1始终过(0,1)， a 因为a>0,所以直线斜率-1<0，不会过第三象限，故D正确.故选：ABD, a 10.已知鞘圆C亡+二=1，万，B分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆 十 43 上的一个动点，下列结论中正确的有() A.点P到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 BQos∠RPR的最小值为} C若AR5P为直角三角形，则△RP的面积为 D.PF·PF的范围为[2,3] 10.【答案】ACD 【解答】解，椭圆C:+上=1，所以a=2,b=V5,c=1, 4 3 选项A:易知当P为左顶点时，距离最大为c+a=3,当P为右顶点时，距离最小为a-c=1,故A对； 选项B:当P为上下顶点时∠FPF最大，此时Cos∠FPF最小，此时PF=PF=2=FF,此时 ∠FPB=60,cos∠FPF的最小值为2，故B不对： 选项C:△FFP为直角三角形，∠FPF最大值为60°，可得∠PFF=90°，或∠PFF=90,设 P55=90,P5Pl=4-%有父=(6-+4=03x-月 所以P=4-x多△P5的面积S=水号子，故C对 选项D:设P为(m,),则四+t=1,F(-1,0),F,0,丽=1-mm,5=0-m-,所 43 第4页，共12页 以P所P丽=m2-1+m,又m+ 4 31, P听-p丽=m2-1+3-3m-1 =二m2+2,m∈[-2,2]，则PF.PE∈[2,3]，可知D正确.故选ACD. 44 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，已知N,Q分别是棱AA,CC,的中点，M,P分别 是棱DC,BC上的动点，下列结论正确的是() A.四面体ADPM的体积为定值 B.不存在动点M,P,使得PM⊥NQ A C直线Cw与平面ABCD所成角的范国是后孕 B D.若M,P分别是棱DC,BC的中点，由平面MNQ分割该正方 体，其中截面MWQ上方的分为几何体Ω，某球能够被整体放入几 何体0，则该球半径的最大值为3-V3 2 11.【答案】ACD 【解答】解：Vm=wm=SmDD,=行×2x2x2=手，故四面体ADPM的体积为定值，A正确 11 32 对于B,连接AC,BD相交于O,当P是棱BC上的动点时， 过P作PE∥BD交DC于E,过E作EMI∥DD,交DD于M,连接MP, D M o D… E 由于AC⊥BD,PE∥BD,故PE⊥AC,由EM∥DD,DD⊥平面ABCD, 故EM⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 故EM⊥AC,EMOEP=E,EM,EPC平面EMP,故AC⊥平面EMP, PMc平面EMP,故AC⊥PM, 由于N,Q分别是棱AA,CC的中点，所以NQ∥AC,所以NQ⊥PM,故B错误； 对于C,连接AD,BC,易得C,D∥平面ABCD, 第5页，共12页 则点M到平面AB,CD的距离即点C,到平面AB,CD的距离， 易证CB1平面AB,CD,则C到平面4B,CD的距离为号BC,=反，易得CM∈2,2]， 所以直线cM5平面ABCD所成角的正弦值为品今 设直线CM与平面ABCD所成角为0，则0e[0,牙1， 结合上述结论可得直线M与平面48CD所成角的范固是后孕，C正确 当M,P分别是棱DC,BC的中点，R,S分别是棱AD,AB的中点时， 平面MNQ在正方体上的截面为正六边形MRNSPO, 平面MNQ上方的部分为几何体2，某球能够被整体放入几何体2， 该球的表面积最大时，该球是以B为顶点，底面为正六边形MRNSPO的正六棱锥的内切球， 正六边形MRNSP0的边长为反，面积为6xX互x2×5-3V5, 正六楼维县-MSPQ,侧校长为、5，每个侧面面积均为，楼锥的高为5。 设该球的半径为风。由等体积法可得35x5-05+6R,解得=35 ,D正确 2 D R 故选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 3+)=1的左、右焦点分别为E、E,过E的直线交椭圆于A、B两点，则。AFB 为一 12.【答案】43 【解析】解：根据题意可得a=√5，b=√2，c=1,因为过F的直线交椭圆于A,B两点， 所以△AFB的周长为|AFI+|AB|+|BFI=AFI+|AE|+|BE|+|BF=4a=4W3.故答案为：4√5. 第6页，共12页 13.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线：x-y+3=0反射，反射光线经过点N(2,6),则反射光线所 在直线的方程为 13.【答案】6x-y-6=0 【解答】解：设M(-3,4)关于直线1：x-y+3=0的对称点M(a,b),则反射光线所在直线必过M', b-4-1 a+3 6=0'故M(1,0),:反射光线所在直线过N(2,6), a=1 ,即 -3+a_6+4」 2 4+3=0 2 :反时光线所在直线的方程是名二8号，即6x-y-6=0故答案为：6x-y-6:0 14.若闭区间[a,b]满足：①函数f(x)在[a,b]上单调：②函数f(x)在[a,b]上的值域为[a”,b], n∈N*,则称区间[a,b]为函数f()的n次方膨胀区间.函数f(x)=xi的2次方膨胀区间为一：若函数 f(x)=c2+1-k(k>0)存在4次方膨胀区间，则k的取值范围是 14.【答案】[0，] [1,2)U(2,+∞) 【解析】解：设函数f(x)=x的2次方膨胀区间为[a,b],由于函数f(x)=x为[a,b]上的单调递增函 数，所以fa)=a=a2且fb)=b=b2,由于a<b,解得a=0,b=1,故该函数2次方膨胀区间为 [0,1]. 由于f(x)=a2+1-k(k>0)为开口向上的二次函数，且对称轴为x=0, 设f(x)=2+1-k(k>0)存在4次方膨胀区为[m,n川， 若n≤0，则f(x)=a2+1-k(k>0)为[m,n]上的单调递减函数， 所以f(m)=km2+1-k=n且f(n)=km2+1-k=m4, 相减可得k(m2-n2)=n-m三k=-(m2+n2)<0,这与k>0矛盾，故不符合题意舍去， 若m≥0，则f(x)=a2+1-k(k>0)为[m,n]上的单调递增函数， 所以f(m)=km2+1-k=m4且f(n)=km2+1-k=n, 因此m,n是方程x4-2-1+k=0的两个不相等非负实数根， 第7页，共12页 令x2=1,则2-：-1+k=0有两个不相等非负实数根， 记g(t)=2-a-1+k, 8(0)≥0 所以 0 ,解得k∈[，2)U(2,∞).故答案为：[0,1)，[1,2)U(2,+∞). △=(-k)2-4(-1+k)>0 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin Acos B=asin BsinC. (I)求角B; ,9 (②)若a=3,△ABC的面积为2，求b l5.【答案】(I)由正弦定理及csin Acos B=asin BsinC,得sin Csin Acos B=sin Asin Bsin C, 由4，B,CeI0,a知，sinA≠0，snB≠0，snC≠0，所以0g1,即anB=1 又B∈(O,π)，所以B=T 4 (2)因为a=3,B=π， 云ABC的面积为所以acsin=即3cX么}解得o=3万 9 2 因为6=a2+c2-2ac0sB=3+62-2x3x32×5-9,所以6=3. 2 16.（本小题15分)已知点M(3,5),圆C(x-1)2+(y-2)2=4. ()若直线ax-y+4=0与圆C相交于A,B两点，弦AB的长为2√5，求a的值. (2)若过点M的直线1与圆C相切，求直线1的方程： a-2+41_1a+21 16.【答案】解：(1)圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为 Va2+1Va2+1 (+(5=4,g得a=是 Va2+11 (2)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r=2,当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,此时圆 心(1,2)到直线x=3的距离2，直线x=3与圆相切； 当过点M的直线斜率存在时，设直线方程为y-5=k(x-3),即-y+5-3k=0, k-2+5-3k1=2,解得k= 5 由题意知 Vk2+1 12 ∴.直线1的方程为5x-12y+45=0.故直线1的方程为x=3或5x-12y+45=0. 第8页，共12页 17.(本小题15分)某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛 情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成了频率分布直方图，如图. 个频率/组距 0.035 0.030 a 0.010 0.005 5060708090100成绩/分 (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的 5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在[60,70)的概率 (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另 一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束 已知每场比赛甲胜乙的概率为子，甲胜丙的概率为}，乙胜丙的概率为}，每场比赛相互独立请通过计算 说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率 17.【答案】解：(1)由频率分布直方图得，10×(0.005+a+0.030+0.035+0.010)=1,解得a=0.020, 成绩在60,707D,80的频率之比为0.2：03=23，则在60,70中随机抽取了5×2（人），记为a b,在70,80)中随机抽取了5×2-=3（人），记为c,d,e, 从5人中随机抽取2人的样本空间2={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de},共10个样本点 设事件A=“至少有1名学生的成绩在[60,70)内”，则A={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be},有7个样本点，因此 7 P(4)=0,所以至少有1名学生的成绩在60,70)内的概率为 10 (2)若首场甲、乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为×= 323 ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为×××2-名 323327 ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为×号×2×号27 1x2x1x2=2 12213 所以最终甲获胜的概率为+27+2727 第9页，共12页 璃 18.（本小题17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AC⊥BC,M、N分别为PB,PC中点. 力 M B C (I)求证：MNI∥平面ABC; (2)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面PBC所成角的正切值为√5， ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积； ②求BC的最大值」 18.【答案】解：(I)M,N分别为PB,PC的中点，.MN∥BC, 又MN丈平面ABC,BCC平面ABC,∴.MN∥平面ABC; (2)①已知PA=2,AC=m=2,AC⊥BC,BC=n, 因为PA⊥底面ABC,BCc底面ABC,所以PA⊥BC. 又AC⊥BC,PAO AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC 因为PCc平面PAC,所以BC⊥PC.由N是PC中点，PA=AC,则AN⊥PC 在RtPAC中，PC=VPP+AC=V2+2=2V反，所以AN=号PC=V2 因为BC⊥平面PAC,ANc平面PAC,所以BC⊥AN.又AN⊥PC,BCOPC=C,BC,PCc平 面PBC,所以AN⊥平面PBC,则∠AMN就是AM与平面PBC所成的角. 已知an∠AMN=V,AN=E,在RaAN中，乙AMN-=V反，所以W=1 又因为MW∥BC,且M,N分别为PB,PC中点，所以MN=BC,则BC=n=2. 所以三棱锥P-BC的体积V=专8AMBc·PA=司××AC×BGx PA=-有××2×2×2= 11 11 3 ②因为PA⊥底面ABC,AC⊥BC,所以以C为坐标原点，CB,CA的方向分别为x,y轴的正方向，过C 作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系 第10页，共12页 则c00,0,Ba0,0,A0,m,0,P0,m2,M(台受N(0受1） 则CB=(,0,0),CP=(0,m,2),设平面PBC的法向量为i=(x,y,z), 则 7.CB=n2=0 元.CP=mg+2z=0’得x=0,取y=2,则2=-m,则元=(0,2，-m. 设AM与平面PBC所成角为0，因为tan0=V2,所以sin9= V2 = (V2)+12 又=(（台罗)，所以in0=os(ad,升= -2m V2 n2+m2+4 4m 即4+m.V很+m2+-后即2v6m=V4+m2.V2+m2+4, 即24m2=(（4+m2)-(m2+m2+4),所以n2=24m2 4+m2-(4+m2)=244+m3)-96 4+m2 (4+m2) =4-[++m时]≤24-2y+网=4-6v6,当且取自9-4+，即 96 m2=4V6-4时等号成立，所以n≤V24-8V6,即BC的最大值为V/24-8√6. 19.（本小题17分)已知P为圆O:x2+y2=4上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M, N,连接NM并延长至点Q,使得|MO=2,点Q的轨迹记为曲线C. ()求曲线C的方程； (②设曲线C的左顶点为T,当直线1与曲线C交于不同的A,B两点，连结们，B7,,+k:=分，正 明：直线1过定点； (3)若过右焦点F的直线1与曲线C交于不同的A,B两点，且F,B=1AF,,当2∈[2,3]时，求直线1在y 轴上的截距的取值范围， 第11页，共12页 19.【答案】解：()设Q(x,y),P(xo,%),则M(x,O),N(0,),由题意知|MN=2,又|M0F2, X 所以M是QN的中点，所以由OM=,得：6，-x-)=(←，)，所以=立，因为 (%=-y 名+好=4，所以亡+少-1，故曲线c的方程为二+上-1 164 164 (2)设直线1：y=x+m,A(x,)，B(x2,2), 联立方程组 +=1， 164,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, y=kx+m -8km 所以x+x2已+4k2,3=4m-16 =1+4，△=64k3m2-41+4k2X4m2-16=1616k2+4-m2>0, 又T(-4,0),所以kn+kn=.上+为，=+m+@,+m-@+m3+4)+(k+m+4到 x+4'x2+4x+4x2+4 (x+4)(x2+4) =2k+(4k+mx+x)+8m 2k4m2-16 -士C4十+）1+4k282 2m-8k 1 xx2+4(x+x2)+16 1+42+486m 4m2-16 7+4)+16 =m2-8m+16k2=-2' 化简得，m2-8m+16k2+4m-16k=0,即(m-4k)2+4(m-4k)=0, 解得m=4k或m=4k-4,当m=4k时，直线1过定点(-4,0)与点T重合，舍去， 当m=4k-4时，直线1过定点(-4，-4). (xy (3)设直线1：x=y+2W3,A(x1,),B(x2,y2),联立方程组 16*41 x=y+25 -4510,y4=2+4 消去x得，y2+43-4=0,所以%+%=+4 ②， 由QB=1QA得y2=-1y③， 45t -4V3t 0图可得，片+4-'%c+4X2-) 代入②化简得，12=C2+4X2-以，即22-8-_心-2+1=+片-2，由元e2,3]得： 2+4 2 从而直线/在y精上的发距为25e6历，-26u26,6网列 第12页，共12页 雅礼中学2026年下学期第一次质量检测试卷 高二数学 时间：120分钟 分值: 150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M ={1,2}, N ={3,4},则CU(M∪N)=( ) A. {5} B. {1,2} C. {3,4} D. {1,2,3,4} 2.已知z=2-i,则 A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 3.两平行直线x+2y-1=0与2x+4y+3=0的距离为( ) D. 4.已知圆 圆 则圆C₁与圆C₂的公切线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若直线l的一个方向向量为 则直线l的斜率为( ) A. D. 6.已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 则 7.已知圆C: 关于直线 ax+ by+3=0对称,过点P(a,b)作圆C的切线,切点分别为A, B,则cos∠APB的最小值为( ) 8.如图，已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为“果圆”，其中 “果圆”与x轴的交点分别为A₁，A₂，与y轴的交点分别为B₁，B₂，点P为半椭圆C₂上一点(不与A₁重合)，若存在 则半椭圆C₁的离心率的取值范围为( ) 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知直线l₁: x+ ay-a=0和直线l₂: ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是( ) A. l₂始终过定点 B.若l₁∥l₂,则a=-3 C.若l₁⊥l₂,则a=2 D.当a>0时，l₁始终不过第三象限 10.已知椭圆 F₁, F₂分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( ) A.点P 到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B. cos∠F₁PF₂的最小值为 C.若△F₁F₂P为直角三角形, 则△F₁F₂P的面积为 D. 的范围为[2,3] 11.如图，在棱长为2的正方体 中,已知N, Q分别是棱AA₁, CC₁的中点, M, P分别是棱 D₁C₁，BC上的动点，下列结论正确的是( ) A.四面体ADPM的体积为定值 B.不存在动点 M, P,使得PM⊥NQ C.直线CM与平面A₁B₁CD所成角的范围是 D.若 M, P分别是棱D₁C₁, BC的中点,由平面 MNQ分割该正方体，其中截面 MNQ上方的部分为几何体Ω，某球能够被整体放入几何体Ω，则该球半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆 的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为 . 13.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l: x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 . 14.若闭区间[a,b]满足: ①函数f(x)在[a,b]上单调; ②函数f(x)在[a,b]上的值域为[an,bn],n∈N*，则称区间[a，b]为函数f(x)的n次方膨胀区间.函数 的2次方膨胀区间为 ；若函数 存在4次方膨胀区间，则k的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知csinAcosB=asinBsinC. (1)求角 B; (2)若a=3, △ABC 的面积为 ,求b. 16.(本小题15分)已知点M(3,5),圆 (1)若直线 ax-y+4=0与圆C相交于A, B两点,弦AB的长为2 ，求a的值. (2)若过点 M的直线l与圆C相切，求直线l的方程； 17.(本小题15分)某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,制成了频率分布直方图,如图. (1)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从[60，70)和[70，80)两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在[60，70)的概率. (2)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛(比赛没有平局)，先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 18.(本小题17分)如图,在三棱锥P-ABC中, PA⊥底面ABC, AC⊥BC, M、N分别为PB, PC中点. (1)求证: MN∥平面ABC; (2)若PA=2, AC=m, BC=n,且AM与平面PBC所成角的正切值为 ①当m=2时,求三棱锥P-ABC的体积; ②求 BC的最大值. 19.(本小题17分)已知P为圆 上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得|MQ|=2，点Q的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT, 证明：直线l过定点； (3)若过右焦点F₂的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且 当λ∈[2,3]时, 求直线l在y轴上的截距的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $