精品解析：山西现代双语学校学校2027届高三10月月考数学试题

2026-2027学年高三年级上学期10月月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用一元二次不等式求解集合，再应用值域得出集合，最后应用交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：B. 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长求解. 【详解】设母线长为，则，. 4. 已知，，且，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由和基本不等式即可求解. 【详解】已知，，且， 则根据基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立， 此时满足条件，所以的最小值是. 5. 已知则（   ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式得到，利用函数的单调性，得到，利用的单调性得到，即可得出结果. 【详解】因为，， 又函数在定义域上单调递增，，所以， 又易知，，，所以，， 故选：C. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度得到，则（ ） A. 是奇函数，最小正周期为 B. 是偶函数，最小正周期为 C. 是奇函数，最小正周期为 D. 是偶函数，最小正周期为 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简的解析式，再根据图象的平移变换得到的表达式，再逐一判断选项即可； 【详解】函数， ， 所以，是偶函数，最小正周期为. 7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简三角表达式得到，再分别利用在单调递增、在上恰好取得一次最大值 这两个条件列出关于的不等式，联立取交集得到的取值范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合， 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为. 8. 已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件，恒有，运用特殊值法推出函数奇偶性，利用当时，，结合推出函数单调性，结合上述性质对不等式进行化简后构造函数并求导，结合导数分情况讨论得出实数的取值范围. 【详解】已知对于，恒有， 令，则， 令，则，所以为奇函数. 任取，则，已知当时，，则， 又，则， ，故为上的减函数，因， 由可得， 因为上的减函数，故对于恒成立， 令，则对于恒成立. 求导得， 当时，，在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值， 要使恒成立，需使，即， 解得； 当时，，因为对于恒成立，符合题意. 综上，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 是偶函数 D. 曲线的对称中心为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正切函数的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于选项A，由题意得，所以的最小正周期为，故A正确； 对于选项B，令，解得，所以的定义域为，故B正确； 对于选项C，由的定义域为，则的定义域为. 则的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于选项D，令，解得， 所以的对称中心为，故D正确. 10. 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（     ） A. 当时， B. 函数有个零点 C. D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知得是周期为4的奇函数，利用对称性求得时，，再应用奇函数、周期性研究函数性质求函数值并判断对称性，数形结合判断零点个数． 【详解】由关于点对称，则关于原点对称，即为奇函数， 设，则， ，则，A错； ，， ∴函数是以4为周期的周期函数， ，C正确； 由，即， 所以关于点对称，D正确； 函数的零点个数就是函数图象与函数图象的交点个数， 当时，，当时，，当时，， 且在上单调递减，在上单调递增， 又在一个周期内单调递增，值域为， 同一坐标系内作函数与的图象如下： 观察图像知与有3个交点，B正确． 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知，则 __________. 【答案】## 【解析】 【详解】由，得 ． 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题目已知条件表示出离心率，通过勾股定理求出，根据向量运算求出，结合正弦定理得到最终结果. 【详解】由题意得，，， 因此，， 所以， 而在中，，，，且， 则，， 而，则， 由正弦定理得，，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 【答案】（1） 增区间为，减区间为、. （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数后求导，根据导数正负判断函数单调区间； （2）先利用极值点处导数为求出的值，再计算区间内的极值和端点函数值，比较大小得到最小值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得. 令，即，整理得， 解得或. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故的增区间为，减区间为和. 【小问2详解】 对求导得， 因为是的极值点， 故， 代入得，解得. 此时，， 令，解得或，两点均属于区间. 单调性分析： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由单调性可知，最值出现在端点和极值点处，计算如下： ， ， ， ， 比较得最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接，. 因为为线段的中点，所以，. 又，，所以，， 则四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长到点，使，连接. 因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，则，. 因为，所以. 又，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以，即两两垂直. 故以点为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设与平面所成角为， 则. 故与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 由正弦定理可知，即， 所以， 又，所以， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则，即， 所以，② 由②①得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 即，则，即， 则，故的周长的取值范围为 18. 设数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）令，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得出是等比数列，即可得结果； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求出，结合数列单调性即可得结果. 【小问1详解】 由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. 【小问2详解】 因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 【小问3详解】 由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当，时等号成立． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三年级上学期10月月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知，，且，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 5. 已知则（   ）. A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度得到，则（ ） A. 是奇函数，最小正周期为 B. 是偶函数，最小正周期为 C. 是奇函数，最小正周期为 D. 是偶函数，最小正周期为 7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 是偶函数 D. 曲线的对称中心为 10. 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（     ） A. 当时， B. 函数有个零点 C. D. 的图象关于点对称 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 13. 已知，则 __________. 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18. 设数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和； （3）令，记数列的前n项和为，求证：． 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $