精品解析：山西大学附属中学校2026-2027学年高三上学期10月月考（总第四次）数学试题

山西大学附中 2026~2027学年第一学期高三10月月考（总第四次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：张婷 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合化简，结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，所以， 又，所以. 2. 在复平面中，若复数满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的计算化简得到复数，再求模长. 【详解】∵，∴，∴，∴. 故选：D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A. 13 B. 17 C. 15 D. 19 【答案】B 【解析】 【详解】由得. 4. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 5. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 【答案】C 【解析】 【详解】由正态分布的对称性可知，， 所以， 所以， 所以得分在区间内的人数约为. 6. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 8. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是公差为1的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】先结合已知条件求得，，再依次讨论各选项即可得答案． 【详解】因为， 所以，解得，故A正确； 所以，解得， 所以，，故B选项正确； 因为， 所以，故C选项错误； 因为，， 所以， 即数列是公差为1的等差数列，故D选项正确． 10. 在△中，角，，所对的边分别为，，，△的面积为，若，则（　　） A. B. C. 的最大值为1 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算，即可判断A；结合A选项中的结论以及正弦定理即可判断B；由三角形的面积公式可得即可判断C；由余弦定理以及辅助角公式代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，由题意得，即， 由正弦定理可得， 在△中，又因为，即，故A正确； 对于B，在△中，， 由A选项知， 两边同时乘以2得， 即， 由正弦定理可得，故B正确； 对于C，，，因为， 当时，取得最大值为1，但是由， 即，则， 此时，不满足题意，故C错误； 对于D，由余弦定理得，且， 则有， 所以， 其中，则可得的最大值为，故D正确． 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对 A，由 的中心对称性平移得到 的中心对称性，据此确定对称中心处的函数值；对 B，由 求导并结合 推出 的轴对称性，再用赋值法求 ；对 C、D，由中心对称与轴对称关系式推出 、 的周期性，再用整周期分组法求两处和. 【详解】因为函数，及其导函数，的定义域均为， 又，，关于点对称， 所以逐一分析各个选项如下： 对于A：令，则关于点中心对称， 则，即， 则关于中心对称，则，故A正确； 对于B：由，可得， 所以，又， 所以，所以关于中心对称， 则关于轴对称，故，又因为， 令，得，故，故B错误； 对于C：由A可知，关于中心对称，即， 由B可知关于轴对称，即，因此有①， 可推导出②， ②式①式，得，所以是以4为周期的函数．因为， 所以，， ， 故也是以4为周期的函数，则 ， 又，故，又， 因此， 故，故C错误． 对于D：令，则也是以4为周期的函数． 因为关于轴对称，故有， 故由可得， 故有， 因此有． 由B可知，， 由C可知，，则， 故， 因此． 因为为以4为周期的函数，令， 则也是以4为周期的函数． 因为关于轴对称，且，故， 因此 ， ， 所以，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为分子： 分母：，. 所以原式. 已知，两边同时平方可得： ， 所以. 13. 已知函数，若图像上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在函数的区间上的图像上任取点，则点在函数在的图像上，整理可知函数有两个不等的正零点，根据二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】在函数在上的图像上任取点，则，即， 点关于原点对称的点即， 则点在函数的的图像上，即， 所以，整理得， 令，则函数有两个不等的正零点， 所以，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案. 【详解】因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又， 所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即. 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和的正弦公式计算得出，最后应用角的范围求解； （2）应用角平分线结合面积公式计算得出且，最后应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 由题知是的角平分线，则， ，. ， ，即，， 由余弦定理和，得， 即. 的周长. 16. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 取中点，连接，如图， 又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设， ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望 （3）该系统会得到推广，，符合推广要求. 【解析】 【分析】（1）用全概率公式，结合问题清晰、不清晰两种场景的采纳概率计算总采纳概率； （2）判断服从二项分布，计算各取值概率列分布列，用二项分布期望公式求期望； （3）先求个问题采纳次数的期望，推导总得分期望后与阈值比较得结论. 【小问1详解】 记事件为“智能客服的回答被采纳”，事件为“输入的问题表达清晰”，则为“输入的问题表达不清晰”. 由题意得：，所以. 又，. 由全概率公式得： . 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 由（1）知每次回答被采纳的概率，且各次是否被采纳相互独立，故测试个问题中被采纳的次数服从二项分布，即，的可能取值为. ， ， ， . 则的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【小问3详解】 抽取10个问题，设被采纳的次数为，则，总得分. 由期望的性质得：. 因为，满足推广条件，所以该系统会得到推广. 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：， 所以中点轨迹方程为：. 【小问3详解】 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 19. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，并称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，称为r的2次近似值．一般地，在点处作曲线的切线，记与x轴交于点，并称为r的次近似值． （1）若函数，取作为r的初始近似值，求r的2次近似值； （2）若函数，取作为r的初始近似值，点，数列是由，，，…，构成的，记：，．回答以下问题： ①请将的长度用n表示； ②求证：． 【答案】（1） （2）①； ②由题意得：， 由①知：，，， 得， 而，时，， 得，故， 所以，将代入， 得 ，故命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用导数求出曲线的切线方程，即可得r的2次近似值；（2）①在点处的切线方程为，从而得或，由抛物线的定义可得；②利用进行放缩，可证命题. 【小问1详解】 由得，，又，得， 在处的切线的方程为：，令，得到， 所以，得到，所以， 在处的切线的方程为：， 令，得到，故r的2次近似值为； 【小问2详解】 ①由，得， ，，，得，， 同理：在点处的切线斜率为， ，将代入得， 所以或，若，则，，…，重合，与题设矛盾，故舍去， ，故数列是首项为，公比为的等比数列，得到， 由抛物线的定义：，故； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2026~2027学年第一学期高三10月月考（总第四次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：张婷 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 在复平面中，若复数满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A. 13 B. 17 C. 15 D. 19 4. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 5. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 6. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是公差为1的等差数列 10. 在△中，角，，所对的边分别为，，，△的面积为，若，则（　　） A. B. C. 的最大值为1 D. 的最大值为 11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，，则的值为______． 13. 已知函数，若图像上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是___________． 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长. 16. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 18. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 19. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，并称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，称为r的2次近似值．一般地，在点处作曲线的切线，记与x轴交于点，并称为r的次近似值． （1）若函数，取作为r的初始近似值，求r的2次近似值； （2）若函数，取作为r的初始近似值，点，数列是由，，，…，构成的，记：，．回答以下问题： ①请将的长度用n表示； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $