精品解析：山东聊城市教育联盟共同体 2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期第一次学情调研 八年级 数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 在式子，，，，，中，分式的个数是　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】形如：，都为整式，且B中含有字母，这样的代数式是分式，根据分式的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：式子中，分式有： 一共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的定义，掌握“利用分式的定义判断代数式是否是分式”是解题的关键． 2. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 3. 如图所示两个三角形全等，则x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，， ∵两个三角形是全等三角形， ∴， 即． 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【详解】解：由作图知， ∴， ∴，所以利用的条件为． 5. 下列等式从左到右的变形中，一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、不一定成立，不符合分式的性质，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵把和都扩大2倍后，新分式的分子为，分母为， ∴新分式为， ∴分式的值扩大2倍． 7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个锐角大于 B. 有一个锐角小于 C. 每一个锐角都大于 D. 每一个锐角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，首先需要假设原结论不成立，即结论的反面成立，否定结论时需覆盖所有可能的反面情况． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论的反面成立， ∵原命题的结论为“至少有一个锐角小于或等于”， “至少有一个满足条件”的反面为“所有锐角都不满足该条件”， “小于或等于”的否定是“大于”， ∴应假设“每一个锐角都大于”． 9. 如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线的定义，利用角平分线性质和外角性质推导角之间的数量关系即可． 【详解】解：的平分线与外角的平分线交于点， ，， 是的外角， ，即， 又是的外角， ， ， ，即， ． 10. 如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确． 【详解】解：∵， ∴△AEB≌△AFC；（AAS） ∴∠FAM=∠EAN， ∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确） 又∵∠E=∠F=90°，AE=AF， ∴△EAM≌△FAN；（ASA） ∴EM=FN；（故①正确） 由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB； 又∵∠CAB=∠BAC， ∴△ACN≌△ABM；（故④正确） 由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④； 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分） 11. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，连接，根据为和的中点，且即可判定，即可求得，即可解题． 【详解】解：连接，设是和的中点， 为和的中点， ， ， ， ∴， 故， 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 13. 如图，于C，，，，则的长为_________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，，，与相交于点E，与相交于点F，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等得到，再根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关性质． 15. 如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 三、解答题（本题包括8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的乘除进行计算，先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解； （2）先因式分解，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先因式分解，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据非负数的性质求得，，最后代入求解． 【详解】解：原式 ． 由，得，， ∴，． 当，时，原式． 18. 如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】先作出，然后在边上截取得到点，在边上截取得到点，连接，即可得到符合要求的图形． 【详解】略 19. 如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】先证明，进而结合已知条件证明得到，根据全等三角形的对应角相等即可得证． 【详解】略 20. 如图，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，∠B=∠C，求证：BD=CE 【答案】 ∵AD＝AE，∠B=∠C， 又∠A=∠A 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AB=AC． ∴AB-AD=AC-AE ∴BD=CE. 【解析】 【分析】由AAS证得△ABE≌△ACD，得到AB=AC，故可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 21. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 【答案】 （1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABF＋∠BAD＝∠CBE＋∠C， ∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C， ∴∠AEF＝∠AFE； （2）150° 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE； （2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果． 【详解】解：（1）略 （2）∵FE平分∠AFG， ∴∠AFE＝∠GFE， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴FG∥AC， ∵∠C＝30°， ∴∠CGF＝180°−∠C＝150°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题． 22. 如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． （1）【辨析】下列分式中，_________是美好分式（填序号）； ①；②；③；④． （2）【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； （3）【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数?若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①②④ （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）按“美好分式”的两个条件逐条判断：先把分子、分母分别因式分解，再看分子与分母有没有公因式； （2）分子 是一次式不能分解，所以分母 必须能因式分解，且分解结果中不能含因式 ，用十字相乘法对整数 进行讨论； （3）先按分式的除法法则化简，再把结果化成“一个整数加上一个分式”的形式，利用整除条件求出整数 ，最后代回原式检验是否有意义． 【小问1详解】 解：① 分子 可以因式分解，分母 与 没有公因式，不能约分，是美好分式； ② 分子 不能因式分解，分母 可以因式分解，且 与 没有公因式，不能约分，是美好分式； ③ 分母 ，分子 与分母有公因式 ，可以约分，不是美好分式； ④ 分子 可以因式分解，分母 与 没有公因式，不能约分，是美好分式． 美好分式为 ①②④． 【小问2详解】 解： 分子 是一次式，不能因式分解， 分母 要能因式分解，判别式 必须是完全平方数． 设 （ 为非负整数），则 ， 与 同奇偶， 只能 或 ，解得 或 ． 若 ，则分母 ，与分子 有公因式 ，分式可以约分，不合题意； 若 ，则分母 ，与分子 没有公因式，不能约分，符合题意． ． 【小问3详解】 解：原式 ， ． 原式的值为整数， 为整数，即 能整除 ， 或 ，即 ，，，． 检验原式是否有意义： 当 时， 的分母为 ，原式无意义； 当 时，除数 ， 不能作除数，原式无意义； 当 时，除数的分母 ，除数无意义，原式无意义； 当 时，原式 ，是整数，符合题意． 存在整数 ，． 23. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，．求证：． （2）如图，将（1）中的条件改为： ，，，三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么试猜想、、之间的关系并说明理由． 【答案】（1）证明：， ． ，， ， ， ． 在和中， ， ． ，， ； （2），理由如下： ， ． ，，， ． 在和中， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）先证明，进而证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）同（1）的方法证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第一次学情调研 八年级 数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 在式子，，，，，中，分式的个数是　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 3. 如图所示两个三角形全等，则x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. 下列等式从左到右的变形中，一定正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个锐角大于 B. 有一个锐角小于 C. 每一个锐角都大于 D. 每一个锐角都小于 9. 如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分） 11. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 12. 若分式的值为0，则x的值为_________． 13. 如图，于C，，，，则的长为_________． 14. 如图，，，与相交于点E，与相交于点F，则的度数为________． 15. 如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 三、解答题（本题包括8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 19. 如图，，，．求证：． 20. 如图，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，∠B=∠C，求证：BD=CE 21. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 22. 如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． （1）【辨析】下列分式中，_________是美好分式（填序号）； ①；②；③；④． （2）【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； （3）【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数?若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 23. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，．求证：． （2）如图，将（1）中的条件改为： ，，，三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么试猜想、、之间的关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $