精品解析：广西壮族自治区玉林市五校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月高二年级试题 数 学 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．） 1. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线可能是（ ） A. B. C. D. 3. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆外 C. 点P在圆内且不是圆心 D. 点P在圆内且是圆心 4. 已知四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题意的．） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 经过点，且与轴垂直的直线方程是 B. 斜率是，在轴上的截距是7的直线方程是； C. 经过，两点的直线方程是； D. 在轴上的截距是2，且与轴平行的直线方程是 10. 关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（ ） A. 圆心在直线上 B. 其圆心在轴上 C. 过原点 D. 半径为 11. 在棱长为4的正方体中，点为的中点，动点在线段（不含端点）上，动点在正方形内（不含边界），则下列结论正确的有（ ） A. 直线与直线一定是异面直线 B. 当是中点时，与平面所成角的正弦值为 C. 三棱锥外接球球心到平面的距离为 D. 若平面，则直线与所成角的余弦值可能是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线方程为，则该直线的倾斜角为_______. 13. 已知与的夹角为，则__________. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在平面直角坐标系xOy中，点，，. （1）求直线BC的方程； （2）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程； （3）求直线BC与直线l交点的坐标. 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 17. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. （1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； （2）试求经过三点的圆的标准方程； （3）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 18. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 19. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面和平面的夹角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月高二年级试题 数 学 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．） 1. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 2. 直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 3. 点与圆的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆外 C. 点P在圆内且不是圆心 D. 点P在圆内且是圆心 【答案】C 【解析】 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 4. 已知四面体中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， ， 故选：B 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 6. 点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点， 可得，点在圆上， 则，即. 故选：A. 7. 已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设,，然后得到恒成立，进一步转化为最短即为点到直线的距离，计算即可. 【详解】设，则, 恒成立，即，则恒成立， 最短即为点到直线的距离，则，解得或. 故选：D. 8. 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题意的．） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 经过点，且与轴垂直的直线方程是 B. 斜率是，在轴上的截距是7的直线方程是； C. 经过，两点的直线方程是； D. 在轴上的截距是2，且与轴平行的直线方程是 【答案】AD 【解析】 【分析】由所给命题的条件，结合直线的斜率、截距逐项求解即可得方程． 【详解】对于A，过点，且与轴垂直，则直线的方程为，即，故A正确； 对于B，斜率是，在轴上的截距为7，所以直线的方程为，故B不正确； 对于C，经过两点，，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，故C不正确； 对于D，在轴上的截距是2，且与轴平行，则直线的方程为：，故D正确. 故选：AD. 10. 关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（ ） A. 圆心在直线上 B. 其圆心在轴上 C. 过原点 D. 半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，求出其圆心与半径，逐项判断即可. 【详解】若方程表示的圆，则其标准方程为， 所以，，可得，圆心为，半径为， 对于A选项，圆心在直线上，A对； 对于B选项，因为，所以，圆心不可能在轴上，B错； 对于C选项，因为，则该圆过原点，C对； 对于D选项，该圆的半径为，D错. 故选：AC. 11. 在棱长为4的正方体中，点为的中点，动点在线段（不含端点）上，动点在正方形内（不含边界），则下列结论正确的有（ ） A. 直线与直线一定是异面直线 B. 当是中点时，与平面所成角的正弦值为 C. 三棱锥外接球球心到平面的距离为 D. 若平面，则直线与所成角的余弦值可能是 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将正方体中各点的坐标表示出来. 对A项，通过判断 与 是否平行或相交来判断是否异面； 对B项，利用空间向量求直线与平面所成角； 对C项，先求三棱锥外接球球心坐标，再用点到平面距离公式； 对D项，由 平面 得到点 的坐标关系，再判断所给余弦值能否取到. 【详解】以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系. 则 ，，，，，，，，. 对于A项，设 ，其中 . 则 ，. 若两直线平行，则存在实数 ，使 . 由 得 ，而由 得 ，矛盾，故两直线不平行. 再判断两直线是否相交. 设 ，即 . 由第三个坐标得 ，代入第二个坐标得 ，所以 . 再由第一个坐标得 ，这与 矛盾. 因此 与 不相交且不平行， 所以它们一定是异面直线，A项正确. 对于B项，当是的中点时， 此时.平面内有两个不共线向量，. 设平面的法向量为，则 即 解得 取，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 因为，所以B选项错误. 对于C项，设三棱锥 的外接球球心为 . 由 得 ，由 得 ，再由 得 ，故 . 平面 中，，， 所以平面 的一个法向量可取 ，又， 因此球心 到平面 的距离为 ，C项正确. 对于D项，设 ，其中 . 由 平面 ，得 与平面 的法向量 垂直， 所以 ，即 . 若直线 与 所成角的余弦值为 ，则 ，于是 . 将 代入，得 ，解得 或 . 其中 对应 ，在正方形边界上； 不符合 . 因此在题设条件下该余弦值不可能取到，D项错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线方程为，则该直线的倾斜角为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先得到直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由题意，直线斜率为1，设直线的倾斜角为，则. 故答案为：. 13. 已知与的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而根据模的公式计算即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以，故. 故答案为： 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 则曲线上任意点到直线的距离， 结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 且到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在平面直角坐标系xOy中，点，，. （1）求直线BC的方程； （2）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程； （3）求直线BC与直线l交点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求斜率，再写点斜式方程即可； （2）由垂直关系得斜率，再写点斜式方程即可； （3）联立两直线的方程，求解即可. 【小问1详解】 直线的斜率， 故直线的方程为，化简得. 【小问2详解】 因为直线与直线垂直，故，所以， 直线的方程为，化简得. 【小问3详解】 联立，解得，即， 所以直线BC与直线l交点的坐标为. 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 17. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. （1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； （2）试求经过三点的圆的标准方程； （3）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】（1），， （2） （3）轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【解析】 【分析】（1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. 【小问1详解】 由题意知：，，， ，，. 【小问2详解】 设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. 【小问3详解】 由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 18. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线及线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的判定与性质可证明平面，即可得解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，连接，交于点，连接， 由题意可知，分别为，的中点，故， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 又，为的中点，所以，且． 又，，，平面， 所以平面．又平面，所以． 又，且，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于线段的长，即点到平面的距离为． 【小问3详解】 以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设是平面的一个法向量， 则，． 设是平面的一个法向量， 则，． 设平面与平面的夹角为， 则，， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 19. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面和平面的夹角为，求的最大值. 【答案】（1） 证明：连接，如图所示； WSD    为的中位线，则， 而平面，平面，得平面， 由是圆锥底面圆的直径， T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点， 得，得， 而平面，平面，得平面， 又平面， 得平面平面， 而平面，得平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明平面平面即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解； （3）不妨设，则点在圆上运动，设，且且，求出两个平面的法向量，利用空间向量法进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则, 因为圆锥底面，在圆锥底面内，所以， 以O为原点，分别以所在直线为轴，过O垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设，则， 得， 设平面的法向量为， 得，令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 以O为原点，分别以所在直线为轴，过O垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 　 不妨设，则点在圆上运动， 设，且且， 而， 则， 设平面的法向量为， 得， 令，得， 设平面的法向量为， 得， 令，得， 因为平面和平面的夹角为， 则 ， 令，则，则，即， 则， 由，得， 则当时，即时，取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $