精品解析：河北张家口市高新技术产业开发区2026－2027学年度九年级第一学期教学效果反馈(一) 数学(北师版)

2026~2027学年度 九年级第一学期教学效果反馈（一） 数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷或答题卡的相应位置． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将方程用配方法化为的形式，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 四条边都相等的四边形是正方形 3. 如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A. 1 B. 4 C. D. 1或4 6. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 若实数，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，正方形的边长为6，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．点的坐标是________． 14. 用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在边的点处，则的长为________． 16. 如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点分别在和上，那么的度数为________． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，并说明作图理由） 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 20. 如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． （1）求证：； （2）连接，分别交，于点，．求证：． 21. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 22. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是_______________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 23. 小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． （1）如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）如图1，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，求证：，； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． （2）试探索与的数量关系，并说明理由． （3）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度 九年级第一学期教学效果反馈（一） 数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷或答题卡的相应位置． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将方程用配方法化为的形式，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 四条边都相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 平行四边形的性质为对角线互相平分，∴A说法正确； ∵ 矩形的性质为对角线相等，∴B说法正确； ∵ 菱形的定义为一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴C说法正确； ∵ 四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，∴D说法错误． 3. 如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求的长． 【详解】解：由勾股定理得， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 5. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A. 1 B. 4 C. D. 1或4 【答案】D 【解析】 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 6. 某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 7. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形和翻折的性质可知，，，可解得，而，解得，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由翻折的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质及得出，，为等边三角形，根据，得出四边形为矩形，根据矩形的性质得出，根据垂线段最短得出当时最小，利用“等积法”求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵菱形的对角线、相交于点，， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 当时最小，即最小， ∵， ∴， ∴最小值为． 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10. 若实数，满足，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 11. 如图，正方形的边长为6，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在正方形四条边、、、上的运动情况，分段讨论的底边和高（点到的距离）的变化，从而确定面积与路程的函数关系及图象特征． 【详解】解：当点在上运动时，即时，、、三点共线，不存在； 当点在上运动时，即时，底边，高为，则，随的增大而增大； 当点在上运动时，即时，底边，高为，则，保持不变； 当点在上运动时，即时，底边，高为，则，随的增大而减小． 综上可知，图象分为四段：先在轴上，再上升，再水平，最后下降，且转折点横坐标依次为、、，故A选项的图象符合题意． 12. 如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点．点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据正方形性质得出，，利用同角的余角相等证得，进而利用证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，最后根据线段的和差关系求出的长，结合点所在象限即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，  ∵，， ，， 四边形为正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 14. 用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在边的点处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，，利用折叠性质得出，，在中利用勾股定理求出，进而求出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿着折叠，使点恰好落在边的点处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的长为． 16. 如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点分别在和上，那么的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据三角形内角定理可得，进而可得，再根据可得，联立求出x，即可求出． 【详解】解：由题意知菱形和等边的边长相等， ，，，， ，，， 设，则， ， 等边中，， ， 又， ， ，即， ． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵； ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，并说明作图理由） 【答案】 【解析】 【分析】以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，即可解答． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求． 以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，此时垂直平分． 平分 在和中 与互相垂直平分 四边形为菱形． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 20. 如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． （1）求证：； （2）连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是_______________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据倒方程的定义即可解题； （2）将代入其倒方程即可； （3）将代入其倒方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程中，，，， ∴它的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是：， 是一元二次方程的倒方程的解， ∴将代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是， 是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴将代入方程， 得， ． 23. 小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． （1）如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【答案】（1）①② （2）解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 【小问1详解】 ①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． 【小问2详解】 略 24. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）如图1，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，求证：，； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． （2）试探索与的数量关系，并说明理由． （3）若，求的最小值． 【答案】（1）证明：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （2）解：，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （3）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由（2）知：； 又， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $