精品解析：江苏南京外国语学校2026-2027学年度上学期高一10月检测数学试题

南京外国语学校2026级高一年级10月份检测 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，或，或都是的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，，，下列说法正确的是（ ） ①对任意是的子集 ②对任意不是的子集 ③存在不是的子集 ④存在是的子集 A. ①③ B. ①④ C. ① D. ①③④ 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求） 9. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 10. 定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，记非空集合中元素的个数为.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知实数，满足，，，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合，，若，则______． 13. 已知实数，且满足，则的最大值是___________． 14. 已知集合，若集合有个元素，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某企业计划加大对研发的投入．据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元．是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入．若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知正实数、满足 （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最大值. 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校2026级高一年级10月份检测 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，或，或都是的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形可知阴影部分表示，利用补集的概念和运算求出， 结合交集的概念和运算即可得出结果. 【详解】图中阴影部分表示， 因为或，所以， 所以或. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，， 因为，所以，， 则，即，故A错误； 对于B选项，， 因为，所以， 则，即，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，，， 因为，所以，即，故D错误. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，，判断充分性成立；由，，判断必要性成立即可. 【详解】，，， ，， 由，通分整理得：， ，，即， ，， ，， 故选：C 4. 已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，命题：，为真命题，分、两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题：，为真命题. ①当时，则，不合乎题意； ②当时，则，令， 则， 所以，当时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5. 设集合，，，下列说法正确的是（ ） ①对任意是的子集 ②对任意不是的子集 ③存在不是的子集 ④存在是的子集 A. ①③ B. ①④ C. ① D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由，则有，再根据时，，即可得出答案. 【详解】由， 则有， 由，得， 则由，不能推出， 所以对任意是的子集，故①正确，②③错误； 当时，， 则存在是的子集，故④正确. 故选：B. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，可得， 即，解得或， 当时，可得， 即，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 7. 关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 8. 设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为“恒成立”，然后根据的正负分类讨论，结合基本不等式求得最值，进而求得的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最小值为， 所以，所以； 当时，只需， 因为 ， 当且仅当，即时取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，， 故选：A. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求） 9. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，用配凑法，将，变形成，用基本不等式即可求解；B选项，用基本不等式公式即可求解；C选项，将，变形成，用基本不等式即可求解；D选项，将，变形成，用基本不等式即可求解. 【详解】对于A选项，， 因为，所以，， 则，当且仅当时，等号成立； 所以，最小值为3，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以最小值为4，故B正确； 对于C选项，， 因为，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，最小值为4，故C正确； 对于D选项，， 因为，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，，， 最小值为4，故D正确. 10. 定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，记非空集合中元素的个数为.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A，结合题意并利用反证法判断B，结合子集与空集的性质判断C，D即可. 【详解】对于A，设，， 此时，满足，不满足，故A错误， 对于B，设互不包含，则存在，， 则，可得是的子集，得到， 而，与不符， 可得或，故B正确， 对于C，若，则A，B的公共子集只有空集， 可得，故C错误； 对于D，若，不妨设，则， ∴，，可得，故D正确． 11. 已知实数，满足，，，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的概念，对已知条件进行换元，再根据一元二次不等式，求出参数范围，判断结果. 【详解】由题意得，解得， 由不等式性质可知，即， 两边同时平方，化简得，解得， 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合，，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 13. 已知实数，且满足，则的最大值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将等式整理为关于的二次方程，由题意得方程存在两个正根，由判别式和两根之和建立方程组，解得的范围，从而得到最大值. 【详解】将原式整理得：，依题意，这个关于的方程有正根． 因为两根之积为1，故有两个正根． 可列不等式组：，解得，结合，可得． 故答案为：. 14. 已知集合，若集合有个元素，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设集合中个连续整数元素为，根据整数的边界约束列不等式求解的取值范围. 【详解】首先集合非空，故，即. 设中个整数元素为，则需满足以下条件： ，， 要使区间与有非空交集， 则，，解得，即： ①当时，两区间为和，两区间的交集为， 此时，，，符合题意； ②当时，两区间为和，两区间的交集为， 此时，，，符合题意； ③当时，两区间为和，两区间的交集为， 即，，，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某企业计划加大对研发的投入．据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元．是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入．若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，． 【解析】 【分析】分别根据两个条件列出关于和的不等式，分离参数后结合的取值范围求解对应函数的最值，即可确定的取值． 【详解】解：存在，求解过程如下： 由技术人员的年人均投入始终不减少得： ，即， 当时，取得最大值， 故． 由调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入可得： ， 即， 整理得， 则， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为7，即． 综上，． 答：存在实数同时满足条件． 16. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）分别计算负指数幂、零次幂，利用对数运算性质合并对数项，再把偶次根式加绝对值化简，最后合并所有项； （2）利用换底公式得到，再代入对数式化简计算得到结果； （3）先根据指数幂的运算变形已知等式，得到，再利用基本不等式求最值，最后结合对数运算求出的最小值． 【详解】（1） ； （2）已知，，解得，， 则， 所以； （3）由得， ， 因为，由基本不等式得：， 当且仅当，即，时等号成立， 此时，即， 则， 所以的最小值为． 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）分集合和，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 【小问1详解】 ， 所以， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，此时，得；满足“，”； 当时， “，”是真命题，则为假，也就是不成立， 先求成立时的范围，再取补集. ，解得，取其补集为， 综上，即实数的取值范围为． 18. 已知正实数、满足 （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最大值. 【答案】（1）9. （2）8 （3）6. 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换结合基本不等式即可求解. （2）方法一：通过“双不等式法同时取等”的方法求解；方法二：利用“平均值不等式法”求解；方法三：由变形为，利用基本不等式得到，再将变形为，利用二次函数求最值即可；方法四：由变形得，令，进而有，利用基本不等式结合二次函数求最值即可. （3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由，代入消元得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值. 【小问1详解】 当,即时等号成立，有最小值9. 【小问2详解】 方法一（双不等式法同时取等）： （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 所以当，时，有最小值8. 方法二（平均值不等式法:调和平均值不超过平方平均值）： （当且仅当时等号成立）， 所以当，时，有最小值8. 方法三（配完全平方法）： . ∵，当且仅当，时等号成立. ， 当时，有最小值8. 方法四（消元法）： ， 令（由得），则， 则 ，当时时等号成立，所以有最小值8. 【小问3详解】 方法一（整体代入转化）： ， 原式， 当时，即，时等号成立，有最大值6. 方法二（整体代入消元法）： 由， 所以 （当且仅当时等号成立）. 方法三（乘1法）： 原式. 当时，即，时等号成立，有最大值6. 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集 为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解 集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将原不等式整理为标准二次不等式，分二次项系数为和不为两种情况，结合恒成立条件求的取值范围； （2）对不等式左边因式分解，根据的不同取值比较对应方程两根大小，分类求解不等式解集； （3）代入整理方程，利用韦达定理将所求代数式转化为关于参数的函数，结合正根条件确定的范围，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意对任意恒成立，整理得恒成立： ① 当时，不等式为，恒成立，符合条件； ② 当时，需满足，解得. 综上，实数的取值范围. 【小问2详解】 不等式因式分解得，分类讨论： ① 当时，，解集为； ② 当时，不等式化为，解得，解集为； ③当时，，解集为； ④当时，不等式化为，解集为； ⑤当时，，解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，原方程整理为， 设两根为，由韦达定理得，， 因方程有两个正实根，恒成立， 故只需满足，即，解得. 所求代数式变形为 ， 代入韦达定理结果得， 令（），则，代入得， 由基本不等式得，当且仅当即（舍去）时等号成立， 此时满足，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $