精品解析：四川成都市双流区立格实验学校2026-2027学年度上学期八年级第一次学情自测数学测试

成都市双流区立格实验学校2026～2027学年度上期 8年级第一次质量监测（数学学科） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 在给出的一组数：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. a D. 5. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”在第二象限，距离轴3个单位长度，距离轴5个单位长度，则“兵”的坐标为( ) A. B. C. D. 6. 如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是______，的立方根是______． 10. 若，则点在第______象限． 11. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 12. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、 的面积依次为5、6、20，则正方形的面积是_______． 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是______ 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算 （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：． 15. 已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． （1）求和正数的值； （2）若的整数部分为，求的算术平方根． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出以、、三点为顶点的； （2）求的面积； （3）边上的高是_____． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 18. 已知长方形（对边平行且相等，四个角都是直角）中，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）如图1，当点P是的中点时，求和的长； （2）如图2，将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为______． 20. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是______． 21. 先填写表，通过观察后再回答问题． （1）表格中______，______． （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 22. 如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是______． 23. 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．若，，，则线段的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知求下列各式的值． （1） （2） 25. 定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“完美三角形”． （1）下列三角形一定是“完美三角形”的是______． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 （2）如图1，是“完美三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是7和25，则正方形的面积是______． （3）如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“完美三角形”． （4）若是“完美三角形”，且一条直角边长为，求斜边长． 26. 如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． （2）如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市双流区立格实验学校2026～2027学年度上期 8年级第一次质量监测（数学学科） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 在给出的一组数：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数的类型是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数，然后统计个数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴是无理数；是无理数（不是完全平方数）；是有理数（有限小数）；是无理数（不是完全立方数）；是有理数（分数）；是有理数（循环小数）；是无理数（无限不循环小数）， ∴ 无理数有4个：，， ，． 故选：B． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，，C选项中无意义，不是二次根式； D、，不是最简二次根式． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 4. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. a D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理. 根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 是直角三角形，故选项不符合题意； B、， ，即， 是直角三角形，故选项不符合题意； C、， 不是直角三角形，故选项符合题意； D、， ， 是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”在第二象限，距离轴3个单位长度，距离轴5个单位长度，则“兵”的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据点的坐标表示位置；根据“兵”在第二象限，距离轴3个单位长度，距离轴5个单位长度，即得出“兵”的坐标为，即可求解． 【详解】解：“兵”在第二象限，距离轴3个单位长度，距离轴5个单位长度， 如图所示， ∴“兵”的坐标为 故选：A． 6. 如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 7. 半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出中间空白部分（弓形）的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ， ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为． 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键． 设门对角线长为尺，表示出门高和门宽，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：∵设门对角线长为尺， ∴竿的长度为尺，门高为尺，门宽为尺， 根据题意得：， 故选：A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是______，的立方根是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，直接计算得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根是它的算术平方根． ，且， 的算术平方根是． 根据立方根的定义，若一个数的立方等于，这个数就是的立方根． ， 的立方根是． 10. 若，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴a+2=0，b-3=0， 解得a=-2，b=3， ∴点P（-2，3）在第二象限； 故答案为：二． 【点睛】本题考查了判断点所在的象限，非负数的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 11. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数比较大小，根据无理数的估算方法，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、 的面积依次为5、6、20，则正方形的面积是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， 正方形、、的面积依次为5、6、20， ， ． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=6，然后利用勾股定理计算CE的长． 【详解】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC=90°， AC=AB=BE+AE=1+5=6， 在Rt△ACE中，CE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算 （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） ， 【解析】 【分析】（1）将除法拆分后，化简二次根式再合并计算； （2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式； （3）依次计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和绝对值，再合并计算； （4）整理方程后，用直接开平方法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ∴ 或 ． 15. 已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． （1）求和正数的值； （2）若的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，再代入计算的值； （2）先由立方根的定义求，再估算的范围得到整数部分，最后计算的算术平方根． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出以、、三点为顶点的； （2）求的面积； （3）边上的高是_____． 【答案】（1） 即为所求： （2）的面积为4 （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的绘制、三角形面积的计算（补形法）以及两点间距离公式和三角形面积公式的综合应用，运用了数形结合和转化的思想．解题关键是熟练掌握坐标与图形的关系，灵活运用补形法求三角形面积，以及利用两点间距离公式和三角形面积公式求解高，易错点是补形时对周围三角形的判断和计算易出错，且在运用公式时容易混淆公式中的参数． （1）根据已知点的坐标在平面直角坐标系中描点连线即可画出三角形； （2）通过构造矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积； （3），先利用两点间距离公式求出的长度，再根据三角形面积公式，结合（2）中求出的面积，建立方程求解边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； ； ； ． ． 【小问3详解】 ，， ． 设边上的高为h，由， ， 解得． 故答案为：． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）连接，证明是直角三角形，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：， ， 在中， ，， ， 是中点， ． 【小问2详解】 解：连接， ，是的中点， ， ，， ， ， 是直角三角形， ， 由（1）得， ， 这块空地的面积为， 每平方米草地造价30元， 总费用为元． 18. 已知长方形（对边平行且相等，四个角都是直角）中，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）如图1，当点P是的中点时，求和的长； （2）如图2，将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 【答案】（1）， （2）①证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得， ， ； ； ② 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出；，证明，得到； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，利用等角对等边即可得，设，则，在中，由勾股定理求解即可； ②得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【小问1详解】 解：四边形是长方形， ∴，， 点P是的中点， ∴， ∴； ，，， ， ∴； 【小问2详解】 解：①证明略； 由折叠得，，， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴； ②的周长， ， 当点恰好位于对角线上时，最小，为，此时的周长最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对已知条件变形，得到的整体结果，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：， 两边平方得， 展开并计算得， 整理得， 将代入得 原式． 20. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴得出且，进而判断与的正负性，利用绝对值和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴，， ∴ ． 21. 先填写表，通过观察后再回答问题． （1）表格中______，______． （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】（1），； （2）①；②； 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【小问1详解】 解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，整体代入可得结论． 【详解】解：正方形的面积为， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， ， ，， ， ， 则的值是； 故与的面积差为； 故答案为： 23. 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．若，，，则线段的长为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】构造倍长中线模型，通过全等三角形将分散的线段、、、集中到直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解；需分点在线段上和点在延长线上两种情况讨论． 【详解】 解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， 如图，延长至点，使，连接， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，即； ，即， 又， ， ； 在中，， ， 在中，， ， 设，则， ，， ， 代入上式得， 解得； 当点在的延长线上时，如图， 同理可得， 此时， ， 解得； 综上所述，线段的长为或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据分式的减法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ； 【小问2详解】 解：． 25. 定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“完美三角形”． （1）下列三角形一定是“完美三角形”的是______． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 （2）如图1，是“完美三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是7和25，则正方形的面积是______． （3）如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“完美三角形”． （4）若是“完美三角形”，且一条直角边长为，求斜边长． 【答案】（1）D （2）43 （3） 证明：连接， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴是“完美三角形”； （4）或 【解析】 【分析】（1）设等边三角形的边长为x，再根据新定义即可判断； （2）根据正方形的性质可得，，再根据新定义可求得，进而即可求得面积； （3）连接，根据勾股定理和新定义即可证明； （4）设斜边长为x，根据是“完美三角形”分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设等边三角形的边长为x， 则， ∴等边三角形是“完美三角形”， 直角三角形，等腰三角形和等腰直角三角形的两边的平方和不一定等于第三边平方的2倍； 【小问2详解】 ∵正方形和正方形的面积分别是7和25， ∴，， ∵是“完美三角形”，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：设斜边长为x，则另一边长的平方为， ∵是“完美三角形”， ∴或， 解得，（舍去）或，（舍去）， ∴斜边长为或． 26. 如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． （2）如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） ①证明：， ， ， ， 在和中， ， ， 沿直线翻折，得到， ， ； ②点G到直线的距离为 （2） ，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折得，，， ， ，即， ， ． 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【小问1详解】 ①略 ②解：， ，， ， ，， ， ， ， 由翻折得，，， ， ， ， 点、点、点三点共线， ， 设点到直线的距离为， 则， 即； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $