精品解析：河北保定市第一中学2026-2027学年高二第一学期10月考试数学试题

河北10月高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆C：的焦距为2，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 5. 若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 7. 若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：，下列选项正确的是（ ） A. 当时，的焦点在轴上 B. 的长轴长为 C. 的短轴长与长轴长的平方和为定值 D. 当时，的焦点在轴上 11. 已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D. 若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程表示圆，的取值范围为_____ 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 14. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知两条直线和. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为，，且椭圆经过点； （2）椭圆经过，两点； （3）焦距等于，且椭圆经过点． 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过原点作圆的切线，求直线的方程； （3）求直线被圆所截得的弦长． 18. 设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． （1）当最大时，求点的坐标； （2）求证：直线恒过定点； （3）当最小时，求直线的方程． 19. 已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. （1）设直线，的斜率分别为，，求的值 （2）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北10月高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线经过两点，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 2. 已知椭圆C：的焦距为2，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】设椭圆的半焦距为，由焦距为2得，即． 由于，椭圆的焦点在轴上， 故，即，结合，得． 3. 若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由点在圆的内部，得，即，解得， 所以实数的取值范围为． 4. 若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为， 所以该高线的方程为，整理得. 故选：A 5. 若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 6. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是. 故选：B 7. 若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为 ， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即， 则半径的取值范围是. 8. 如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或. 故选：AC. 10. 已知椭圆：，下列选项正确的是（ ） A. 当时，的焦点在轴上 B. 的长轴长为 C. 的短轴长与长轴长的平方和为定值 D. 当时，的焦点在轴上 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可． 【详解】对于A，时，，的焦点在轴上，故A正确； 对于B，若，则椭圆焦点在轴上， ，长轴长为：，B错误； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，椭圆的焦点在轴上的充分必要条件是，解得， 所以当时得不出椭圆的焦点在轴上，故D错误； 故选：AC． 11. 已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D. 若，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故​最大值为​​，A正确. AI 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得，​ 所以的最小值为，不是，故B错误； AI 对C选项，过斜率为​的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. AI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 14. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知两条直线和. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列式计算即得； （2）利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【小问1详解】 由，可得，解得. 【小问2详解】 由，可得且，解得. 16. 分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为，，且椭圆经过点； （2）椭圆经过，两点； （3）焦距等于，且椭圆经过点． 【答案】（1）​ （2）​ （3）或 【解析】 【小问1详解】 ∵椭圆焦点在轴上，∴可设其方程为，其中，半焦距为， ∵椭圆经过点，∴，又，∴， ∴椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ∵椭圆经过点和，这两点分别为椭圆在轴和轴上的顶点，且， ∴椭圆的长轴在轴上，可设其方程为，其中， 代入两点坐标，得，， ∴椭圆的标准方程为． 【小问3详解】 ∵椭圆的焦距为，∴半焦距，由得，即， 焦点可能在轴上，也可能在轴上，故设椭圆方程为或， ∵椭圆经过点，两种情形均有，即，解得或． 由，舍去，得，， ∴椭圆的标准方程为或． 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过原点作圆的切线，求直线的方程； （3）求直线被圆所截得的弦长． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据求得参数，进而得到圆的标准方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据直线与圆相切求得直线的方程； （3）根据直线与圆相交，几何法求解弦长； 【小问1详解】 设圆心，，， 解得，∴圆心，半径， ∴圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线恰与圆相切； 当直线斜率存在时，设，即． 由圆心到直线的距离，可得， 则，即． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， ． 18. 设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． （1）当最大时，求点的坐标； （2）求证：直线恒过定点； （3）当最小时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）直线恒过定点为 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，最大，得直线的方程为：与直线的方程联立即可求出点的坐标； （2）由，得点在以为直径的圆上，求出圆的方程与圆的方程联立，相减得直线的方程，进而求出定点即可得证； （3）由，即当时，取最小值，即取最小值，利用（1）和（2）求出直线的方程即可. 【小问1详解】 由直线的斜率为， 当时，最大， 所以直线的方程为：， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 设点， 由，所以点在以为直径的圆上， 所以的中点为，半径为， 所以圆的方程为， 化简整理得：， 由，两式相减得：， 即直线的方程为：， 又，令，即，解得， 所以直线恒过定点为； 【小问3详解】 由题意得：，， 所以， 又， 所以当时，取最小值，即取最小值， 由（1）得当时，点， 由（2）得点，此时直线的方程为：， 所以，代入得， 所以直线的方程为. 19. 已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. （1）设直线，的斜率分别为，，求的值 （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②，得， 所以； 【小问2详解】 由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点F为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $