河北保定市第一中学2026-2027学年高二第一学期10月考试数学试题

河北10月高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 杯 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 中 的指定位置。 御超 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答，字体工整，笔迹清楚。 长 深 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 年 1.已知直线l经过A(0,一1)，B(1,0)两点，则直线1的倾斜角为 A B. C. D晋 郑 2.已知椭圆C+苦=1(。>E)的焦距为2，则a= A.3 B.5 C.2 D.3 3.若点M(1,a)在圆C:x2+y2=2的内部，则实数a的取值范围是 中 A.（-√2，√2) B.(-1,1) K报 C.(-o,-1)U(1,+o) D.(-∞，-√2)U(2,+∞) 4.若△ABC的三个顶点为A(1,3),B(3,0),C(1,一2)，则BC边上的高所在直线的方程为 A.x+y-4=0 B.x-y+2=0 C.2x+y-5=0 D.x+2y-7=0 槊 5.若圆C,:x2十y2+2x=0与圆C2:x2+(y一m)2=1无公共点，则实数m的取值范围是 A.(-∞，-√3)U(3,+∞) B.(-√5,5) 毁 C.(-o,-1)U(1,+∞) D.(-1,1) 当 6.一束光线从点A(1,0)出发，经直线x一y十1=0反射后又经过点B(4,0),则光线从点A到 点B走过的路程为 A.5 B.V29 C.6 D.√35 【高二数学第1页（共4页）】 HB 7.若圆(x一3)2+(y+5)2=2上至少有3个点到直线4x一3y=2的距离等于1，则半径r的取 值范围是 A.(4,6) B.（4,+∞) C.[6,+∞) D.(0,4) 8,如图，直线1分别交椭圆E:等+号-1于A,B两点，分别交x轴正半轴，y轴正半销于C,D 两点，且|AC=|DB引则直线l的斜率为 A-司 B-分 c- D.、3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.到直线3x一4y十1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程为 A.3x-4y-14=0 B.3x-4y+4=0 C.3x-4y+16=0 D.3x-4y-16=-0 10.已知糟周c云十。产m1,则下列说法正确的是 A,当m=时，椭圆C的焦点在y轴上 B.椭圆C的长轴长为4√m C,椭圆C的短轴长与长轴长的平方和为定值 D.当m<子时，椭圆C的焦点在x轴上 11.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2一6x一4y+12=0上运动，则下列结论正确的是 A兰的最大值为3 B.x一y的最小值为√2一1 C.若过点P且斜率为的直线与y轴交于点Q,则线段PQ长度的取值范围为[4,8] D.苦A(-1,0),B(1,0),则|PA2+|PB|2的最小值为30-4√13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若方程x2十y2十4x一2y十5m=0表示圆，则实数m的取值范围为 13.已知直线1经过点(1,1)且在y轴上的截距是其在x轴上的截距的2倍，则直线L的方程 为一.一 【高二数学第2页（共4页）小 HB 14,设E,R,分别是椭圆E芳+卡=1(0>6>0)的左右焦点，过点R,的直线分别交椭圆E 于P、Q两点，且PF⊥PQ,|PF2|=3|QF2|,则椭圆E的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知两条直线l1:(a一1)x十y一1=0和2：2x+ay一2=0. d1)皆L1⊥l2,求实数a的值； (2)若L1∥L2,求实数a的值. 16.(本小题满分15分) 分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为（一3,0），(3,0)，且椭圆经过点(0,4)； (2)椭圆经过(0，一1)，(W5,0)两点； (3)焦距等于2√5，且椭圆经过点P(√2，一√2). 17.(本小题满分15分) 已知圆C经过点A(2,1)和B(0,3),且圆心C在直线x一2y十4=0上 (1)求圆C的标准方程； (2)过原点O作圆C的切线l,求直线1的方程； (3)求直线y=2x一5被圆C所截得的弦长IMN. 【高二数学第3页（共4页）】 HB P8.本小题满芬17分) 已知圆O:x2+y2=4,直线l:2x十y十5=0，点P为直线l上的一个动点.过点P作圆O的 两条切线PA,PB,切点分别为A,B. 年 (1)当∠APB最大时，求点P的坐标； (2)求证：直线AB恒过定点； (3)当|PO·|AB|最小时，求直线AB的方程. 帐 河 19.(本小题满分17分) 已知椭圆E:等+苦-1的左焦点为F,直线)=k红(>0)分别与椭圆E相交于A,B两点， 点A在第一象限，直线BF与椭圆E的另一个交点为C,且点C关于原点O的对称点为 当 点D. (1)设直线BC,AC的斜率分别为k,k2,求1·2的值： (2)求△BCD的面积的最大值. 斑 些 【高二数学第4页（共4页）】 HB 河北10月高二数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B A 1 B 题号 7 8 9 10 11 答案 Q D AC AC ACD 1.C【解析】因为直线1经过A(0,-1),B(1,0)两点，可得斜率为=0二二1卫=1，设直线1的倾斜角为 1-0 0(0≤0<)，则tan0=1,得日=平，即直线L的倾斜角为于.故选C 2.D【解析】因为a>√2，所以a2>2,椭圆的长轴在x轴上，长半轴长为a,短半轴长为√瓦.设椭圆的半焦距为 c,则c2=a2一2.因为椭圆的焦距为2，即2c=2.解得c=1.代人c2=a2-2得a2=3,可得a=√3.故选D. 3.B【解析】由点M(1,a)在圆C内，得1+a2<2,解得一1<a<1,即a∈(-1,1).故选B. 4,A【解析】由题意可知直线BC的斜率为kc一已号-1，则BC边上的离所在直线的斜率为-1，所以该离 所在的直线的方程为y一3=一1(x一1)，整理得x十y一4=0.故选A. 5.A【解析】圆C1:x2+y2+2x=0化为标准式：(x十1)2+y2=1,圆心C(-1,0),半径n=1,圆C2:x+ (y一m)2=1,圆心C2(0,m),半径n=1,若两圆无公共点，即两圆外离或内含，圆心距d=|CC2|= √(0+1)2+(m-0)z=√m+I,若两圆外离，则d>n+n=2,即√1十m>2,解得m>5或m<-√5；若 两圆内含，则d<ln一r2|=0,无解.因此两圆无公共点时，实数m的取值范围是(-∞，一√)U(√5，十∞). 故选A. 6.B【解析】可设人射光线所在直线与直线x一y十1=0交于点P,由题意可得点A(1,0)关于直线x一y十1=0 -1 的对称点C在反射光线所在直线上，设点C(x,y),则 -+1=0 解得x一1 得{y=2,即C(-1,2),故光线 、2 从点A到点B所经过的路程是|AP1+|PB|=|CP+|PB|=ICB|=√(4+1)2+(O-2)严=√29.故选B. x-y+l=0 7.C【解析】圆的方程为(x一3)2十(y十5)2=，圆心坐标为(3，一5)，直线方程为4x一3y=2,即4x-3y-2=0, 圆心（3，-5)到直线4红-3y-2=0的距腐为d=4X33XX一5)-2=12+15-2L=25-5,因为圆上至 √4+(-3)2 √16+95 少有3个点到直线的距离等于1，所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即r≥d+1,即r≥5十 1=6,则半径r的取值范围是[6，十∞).故选C. 8.D【解析】设A(,y),B(x2,h),C(m,0),D(0,n),将A(,y1),B(x,2)代入椭圆方程可得 ∫+兽- ,两式相减，可得=+2+-)+2=0，即二2十兴=- +兽- 3 （x1-x2)(x1十x2) 4,因 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 HB 为的二受=一品牛老=品所以一品=-是则直线1的斜率为一品=-停放选D x0一x2 9.AC【解析】设该直线为3x一4y十6=0，则有1-=3，化简得12-1川=15，则t=16或=一14，故该直 √32+42 线为3x一4y一14=0或3x一4y十16=0.故选AC. 10.AC【解析】设椭圆C的长轴长2a,短轴长为2b. 对于A,当m=合时，4m=2<6-4m=4,椭圆C的焦点在y轴上，故A正确， 对于B,若0<4m<6一4m,则椭圆C的焦点在y轴上，即a2=6一4m,长轴长为：2a=2√6-4m,故B错误； 对于C,因为a2+b2=4m十6-4m=6,所以(2a)2+(2b)2=24,故C正确； 4m>0 对于D,椭圆C的焦点在x轴上的充分必要条件是6一4m>0,解得子<m<,所以当m<子时不能得 、4m>6一4m 出椭圆C的焦点在x轴上，故D错误.故选AC. 11.ACD【解析】对圆C方程配方得(x一3)2十(y一2)2=1，即圆心C(3,2),半径r=1. 对于A,令k=之-8表示点P(,》与原点连线的斜率，即直线)=z与圆有交点.所以圆心C8,2》到 直线)y=k红的距离2=13-≤r=1,即13一21≤√1+尽，平方整理可得：8一12十3≤0，解得 √1+ 3<<3斗，放兰最大值为3，放A正确： 对于B,设=x一y,即x一y一t=0,即直线x一y一t=0与圆C有公共点，所以圆心C(3,2)到直线x一y一=0 的距离山，=3-2-≤=1，即11-1<2，解得1-厄≤≤1+E,所以x-y的最小值为1-厄，故B √2 错误； 对于C,设P(x,),则过P(x,%)且斜率为√5的直线方程为y一y%=3（x一x),令x=0,可得 Q(0,y%-√5x),有|PQ|=√(-0)2+[yo-(y0-5x)]=√4=2|x0|,因为点P(x,y0)在圆C 上，所以xo∈[2,4]，可得|PQ|∈[4,8]，故C正确； 对于D,设P(x,y),A(-1,0),B(1,0),所以|PA|2+|PB|2=(x十1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+ 2=21OPI2+2,因为1OPI2=x2+y2,10C=√32+2z=√13，所以|0Pln=√13-1,1OP|mw=√13+1，则 (x2+y2)io=(√13-1)2=14-2√/13，所以(1PA|2+|PB|2)la=2(14-2√13)+2=30-4√13，故D 正确.故选ACD. 12.（一∞，1)(5分，结果正确均得分) 【解析】因为方程x2十y十4x一2y十5m=0表示圆，所以42+（一2）2一4×5m>0,化简得m<1.所以实数 m的取值范围为（一∞，1）. 13.y=x或y=一2x十3(5分，结果正确均得分) 【解析】由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线L的方程为y一1=(x一1)，令x=0,解得y=一k十1； 令y=0,解得x=一冬+1，可得2(-合+1)=一+1，解得=1或为=一2，所以直线1的方程为y=x或 y=一2x+3. 14受（5分，结果正确均得分) 【解析】设|QF2|=m(m>0),则lPFz|=3m,lPQl=4m,根据椭圆定义有|PF|=2a-3m,|QF11=2a-m,又 因为PF1⊥PQ,所以在Rt△PFQ中，lPF2+|PQ12=|QF11,即(2a-3m)2+(4m)2=(2a-m)2,解得 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 HB m=子a,则Pr=a,PR=a,则在Rt△PRR中，lPE,+PR,I=F,F,即a2+a2=(2c2,所 以e一宁=合，故椭圆E的离心率e=受， 2 15.【答案(1)a=号(2)a=-1 【命题意图】考查利用直线间关系求参数 【试题分析】(1)若⊥2，则2(a-1)+1Xa=0,解得a= 3 (6分) (2)若6∥a,则2会2=日≠二员 0………… (9分) 当公2-合时，即。2-a-2=0,解得a=2或a=-1, (11分) 又≠二是，所以≠2. 综上，a=一1. (13分) 16.【答案1层+若-1(2号+y-13)号+苦=1或若+号-1 【命题意图】考查椭圆定义及其标准方程。 【试题分析】1)椭圆焦点在x轴上，可设其方程为：答+芳=1(a>6>0),… (1分) 椭圆过点(0,4)，b=4,又c=3,a2=十c2=25,……(4分) 椭圆标准方程为行十者l.… (5分) (2):1-11<W51,∴椭圆长轴为x轴，可设其方程为若+芳=1(@>6>0)， (7分) 则a=5,6=1,椭圆标准方程为号+y=1.… (10分) (3)椭圆焦距为2√5，C=√3，… (11分) 设椭圆方程为：三 (12分) 椭圆过点P厄，一②)心层十名写-1，解得：公2=1（含去）或2=6… (14分) 六椭圆标准方程为号+号-1或苦+号=1 ……(15分) 17.【答案】(1)(x-2)2+(y-3)2=4(2)x=0或5x-12=0(3)45 5 【命题意图】考查直线和圆典型问题、 【试题分析】(1)设圆心C(2a一4，a), :1CA1=|CB|,.√(2a-6)2+(a-1)z=√(2a-4)2+(a-3)F, (2分) 解得a=3,.圆心C(2,3),半径r=|CA|=2,… (4分) .圆C的标准方程为(x一2)2十(y一3)2=4.…(5分) 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 HB (2)当直线1斜率不存在时，直线l:x=0恰与圆C相切. .......e。 (6分) 当直线L斜率存在时，设直线l:y=kx,即kx一y=0.…(7分) 由圆心到直线红一y=0的距离d=2-2,可得k-品， 5 √1+ 则直线1y=是，即5x-12y=0, 综上所述，直线1的方程为x=0或5x一12y=0.… (10分) (3)圆心C(2,3)到直线2x一y-5=0的距离为d=4 (12分) 5 5 …(15分） 18.【答案】(1)P(-2,一1)(2)详见解析(3)2x+y十4=0 【命题意图】考查直线与圆综合 【试题分析】(1)由直线：2x十y十5=0的斜率为k1=一2， 可知当OP⊥L时，∠APB最大， …(2分) 1 所以直线OP的方程为：y=乞x, 1 联立方程有 y=立x (x=一2 ,解得 2x+y+5=0 y=-1 所以P(-2,-1). (4分) 2x+y+5=0 (2)设点P(a,-2a-5), 由OA⊥AP,OB⊥BP,所以点A,B均在以线段OP为直径的圆上， 又因为线段0P的中点为（号，-20士），半径为R=l12=之中28+5可，… 2 (5分) 所似以线段0P为直径的圆的方程为(e-号)°+(+2士)°=[c+(2a+5)]门 化简整理得：x2十y一ax十(2a十5)y=0,…(7分) |x+y-az+(2a+5)y=0 联立方程，有2十y=4 ,两式相减得ax一(2a+5)y一4=0， 即直线AB的方程为：ax一(2a十5)y-4=0, (10分)》 8 又a(x-2y)-(5y十4)=0，令x-2y=0,即 |x-2y= 5y+4= 。,解得 y=■ 4 所以直线AB恒过定点，该定点为（一号，一号） (12分) (3)由题意得：|AO|=2,PA⊥AO, 所以|PO·lAB|=4 SAPAO-=4X2|PA|·IAO=4|PA,… (13分) 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 HB 又IPA|=√TPO2-4, 所以当OP⊥L时，|PA|取最小值，即|PO·|AB引取最小值，…(14分) 由(1)得当OP⊥l时，点P(一2，一1)，… (15分) 由(2)得点P(a,一2a一5)，此时直线AB的方程为：ax一(2a十5)y-4=0,…（16分) 所以a=一2，代人ax-(2a十5)y-4=0得2x十y+4=0, 所以直线AB的方程为2x十y十4=0. (17分) 19.【答案11)-是（(23 【命题意图】考查椭圆综合 【试题分析11)由题意知，F(-1,0),若B(-1,-号)，此时直线BC的斜率不存在，不符合要求，舍去， ………（(们分） 设B(,y),C(x2,y2),1≠一1，此时x1≠x2,x1≠一x2, 则A(-,-),k2=业士头，k1=2二4， (3分) x2十x1 x2一x1 又尊+普-10浮+普=1@， 由0-②可得普-是， (5分) x2一x 所以·k会会×尝二名一游-景 …(7分)》 (2)由题意可知，△BCD的面积等于△OBC的面积的2倍，…(8分) 已知椭圆左焦点为F(一1,0)，可设直线BC方程为x=my一1， …(9分） (x=my-1 联立方程，有〈 ,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0, 6m -9 故y十y2三3m2十423m2十4"w" (11分) 所以△OBC的面积为Sc=号1OF1·lb一%l=合l一%=号√n+次)-42 。36=6m+巨_6m+五 3(m+1)+13√m++ 一，…（14分） 1 √m2+1 令=√m2+1,则≥1， 由对勾函数性质可得y=3+上在[1，十。)上单调递增， 故y=3+≥4，当且仅当=1时取得最小值， 所以S△oc= 6 √2十工十1一≤分，当且仅当√m2+1=1,即m=0时等号成立， √m2+1 故△OBC的面积的最大值为号，所以△BCD的面积的最大值为3.…… (17分) 【高二数学参考答案第5页（共5页）】 HB