河北石家庄市部分校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学测评试题

高二数学测评参考答案 1.A2.D3.C4.A5.D6.B7.C8.D 9.AB 10.ABD 11.ACD 12.713.125m14.4 15.解：1)因为41，所以m-5+4m=0, …4分 解得m=1.…。 …6分 (2)由(1)可得：-4x+4y+1=0 …7分 1 令x=0,得 4 …9分 X= 令y=0,得 4 ,…1分 1111 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为24“432 …13分 16.解：(1)如图，连接CM,则 -B+8wW=B+号丽-B+(c+列)-}C西+C 3分 C A cw=cc+om=-c+c西+ 3 …6分 (2)根据直三棱柱的性质可得CC1底面ABC, 所以CG1CA,且C℃·CA=0 。。。。。。。。。。。。 …8分 因为∠ACB=60°，CA=CB=4,所以 B.CA=CBC☑cos60°=4×4×=8 …10分 cw.a-(cc+mt号ci--CGc.a+号d …13分 =0+?×8+3×16=40 2 3 3 3 …15分 17.解：(1)（方法一）依题可知l的斜率存在，设l的方程为y=x+b …】分 则k(x-4)+b+3=+b,则3-4k=0,3分 、3 3 所以4，即1的斜率为4.… …4分 (方法二)设M(化，)为直线1上任意一点，则M'(x+4,y+3)也在直线1上，…2分 k=y+3-y3 所以直线1的斜率x+4-x4 …4分 3 2)(1)依题意得直线1的方程为”=4+3 y= ,即3x-4y+12=0 …5分 (i)如图，直线1过点P和4(-4,0)」 设直线m与直线l,x轴围成的等腰三角形为△ABP, 若BA=PA=V32+(←4=5，则B(-9,0)或B1,0), 即B或B, …7分 x+y=1 当点B的坐标为（9,0)时，直线m的方程为93，即 x-3y+9=0 …8分 x+y=1 当点B的坐标为，0)时，直线m的方程为13-，即3x+y-3=0 …9分 若PB=P4=5,则B(4,O),即B, …10分 x+y=1 此时直线m的方程为43，即3x+4y-12=0 11分 若AB=|BP, 过点B作BH⊥AP,垂足为H,则H为AP的中点 5 AB AH ￥A=2 由△ABH∽△AP0,得MPAO,即5=4，解得 ，…12分 0B=4-25=7 B7】 所以 88.则8即Be…13分 3 此时直线m的方程为8 ,即24x-7y+21=0 …l4分 综上，直线m的一般式方程为x-3y+9=0或3x+y-3=0或3x+4y-12=0或24x-7y+21=0」 …15分 18.(1)证明：连接AC,与BD交于点O,则O为BD的中点. 连接BO.由EB=ED,得E0LBD.…l分 因为底面ABCD为矩形，BC=8,CD=6,所以BD=10,OB=OC=OD=5,E0=12,2分 所以E02+0C2=EC2,则E010C.3分 因为0C∩BD=0,所以E01平面ABCD.4分 因为EOC平面EBD,所以平面EBD⊥平面ABCD …5分 (2)证明：由EC=2FA,得ECIIFA.因为FA文平面ECD,ECC平面ECD,所以FAW平面 ECD, …6分 同理可证AB∥平面ECD.因为AB∩FA=A,所以平面FAB∥平面 …7分 因为BHc平面FAB,所以BHI∥平面ECD,则直线BH到平面ECD的距离即为点B到平面ECD的 距离. …8分 分别取BC,CD的中点M,N,连接OM,ON.以O为坐标原点，OM,ON,OE所在直线分别 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示 ECD.z↑ 根据思意可得E(0,012),C(3,4,0,D(-3,4,0）,B(3,-4,0).BC=(08,0).EC=(3,4-12) CD=(-6,0,0) …9分 n-EC=3x+4y-12z=0, 设平面ECD的法向量为n=(x,八，2)，则nCD=-6x=0, 令y=3,则n=(03,1) …10分 d、 BC.n2424 所以点B到平面ECD的距离 m9+1 =8 ),故直线BH到平面ECD的距离小于8.12 分 (3)解：由(2)可得 历-网+而=c+c-得0-0 BD=(-6,8,0) …13分 mF历= 2a+10b-6c=0, 设平面FBD的法向量为m=(a,b,c),则m:BD=-6a+8b=0, 令a=4,则m=(4,3,6) 。。。。。。。。。。。。。。。 …14分 由(2)知平面FAB/平面ECD,所以”=(0,31)是平面FAB的一个法向量。 cos(m,n)= mm_15 3610 因为 mn√61×0122 …16分 3v610 且由图可知二面角A-FB-D的平面角为锐角，所以二面角A-FB-D的余弦值为122.17分 19.(1)证明：因为AB上AB,DB1CD,所以AB⊥PA,CD⊥PD …1分 因为ABIICD,所以AB⊥PD …2分 又PA∩PD=P,所以AB⊥平面PAD.…3分 (2)解：过点P作PO⊥AD,垂足为O,过点O作OF∥AB,交BC于点F. F(G 因为平面PADL平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.…4分 以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、Y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 在△PAB中，PA=V32-2=5,在PAD中，P02+ A02=5,P02+(3-A0)}2=8,则A0=1,P0=0D=2,…6分 所以P(0,0,2),A(0,-1,0) 为cBC所以点G与点重合网G20.0 …7分 i设E(a,2,0),0≤1≤2，则PE=(22,-2) …8分 PE·AG cos(PE,AG) 2+2 因为4G=(2,10）,所以 PE AG V2+8√5 …9分 2λ+2 2 2 2+855V-12+8 2.9 令元+l=∈[L,3],则 t 12 …10分 11s1 1-29「4 因为1≤t≤3，所以3t,则t23,8Λ …l1分 22+2 √1015 √105 所以V2+8V5 105 则所求取值范围为10’了 …12分 (3)解：设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O,半径为R, 易知矩形ABCD对角线的交点为 …13分 000.)004- 9 …5分 闲为o60-0-2-9 …6分 ,G+R=6+4 所以G与Q两点之间的距离的最大值为 …17分 高二数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 3．若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则 A． B． C． D． 4．若，则 A． B． C． D． 5．在正四棱台中，，，则 A． B． C． D． 6．已知直线与直线都经过点，记点，，则直线的方程为 A． B． C． D． 7．把边长为2的正六边形纸片沿对角线折成直二面角，忽略纸片的厚度，则翻折后点到直线的距离为 A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是 A．是的一个法向量 B．是的一个单位法向量 C．若是的一个法向量，则 D．若直线，则是的一个方向向量 10．如图，，，，，为线段上的动点，则 A．点的坐标为 B．直线在轴上的截距为 C．直线与直线可能垂直 D．直线绕点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角可能为锐角 11．定义集合是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若，，，，，且，，则．在正方体中，，，．若，则 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，三点共线，则 ▲ ． 13．已知是圆柱的母线，在底面圆上，，，，则该圆柱的体积为 ▲ ． 14．在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知直线与直线垂直． （1）求的值； （2）求与两坐标轴围成的三角形的面积． 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，． （1）以为空间的一个基底表示向量； （2）若，，求． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，将直线先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得直线与自身重合． （1）求的斜率． （2）设过点． （ⅰ）求的一般式方程； （ⅱ）若过点的直线与，轴围成等腰三角形，求直线的一般式方程． 18．（17分） 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）若为上的动点，证明：直线到平面的距离小于8． （3）求二面角的余弦值． 19．（17分） 如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． （1）证明：平面． （2）若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． （3）设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $