精品解析：湖南省长沙市望城区长郡月亮岛学校2024-2025学年八年级上学期数学第一次作业自查 试卷

2024年秋八年级上册数学第一次作业自查 （满分120分 时间：120分钟） 一、选择题（共12小题 分） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （﹣3，2） D. （﹣3，﹣2） 3. 如图,，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 6. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是高，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，的角平分线交于点D，于点E．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 10. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（分） 13. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为________． 15. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是________． 16. 如图，已知与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为________． 17. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为__________． 18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 三、解答题（共8小题） 19. 如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°． （1）求∠B的度数． （2）求∠ACD的度数． 20. 如图，在△ABC与△DEF中，如果AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF；求证：AC∥DF． 21. 如图，在直角坐标系中，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 22. 在四边形中，，，点、分别在边、上，且平分． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 23. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 24. 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”． （1）下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图1，在中，，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； （3）如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，设，求的度数． 25. 人教版初中数学教科书八年级上册第83页第12题告诉我们，两个共顶点的不重合等边三角形，分别连接对侧顶点构成的两个三角形会全等． （1）如图1所示，，都是等边三角形，请证明； （2）如图2，在第（1）问条件下，设，交于，连接，求的值； （3）将共顶点的等边三角形改为共直角顶点等腰直角三角形后，如图3，等腰直角三角形与等腰直角三角形共直角顶点B，连接、，，为上一点，，连接，为上一点，，连接，过作于，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋八年级上册数学第一次作业自查 （满分120分 时间：120分钟） 一、选择题（共12小题 分） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握这一知识点是解题的关键． 【详解】解：A：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； B：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； C：可以找到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形； D：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （﹣3，2） D. （﹣3，﹣2） 【答案】D 【解析】 【详解】根据两个点关于x轴的对称点的坐标特征.横坐标不变，纵坐标互为相反数.故选D. 3. 如图,，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得∠A=∠D=50°，再利用三角形内角和可求得∠E． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠D=50°， ∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-50°-100°=30°． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应角相等． 4. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 6. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 7. 如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：依题意，在和中，， ∴ 故选：A． 8. 如图，在中，，是高，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．首先在中根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中再次利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到． 【详解】解：是高， ， 又， ， ， ， 在中，， 在中，． 故选：C ． 9. 如图，中，，的角平分线交于点D，于点E．若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题是对角平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵中，，的角平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴的面积为：，故A正确． 故选：A． 10. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，根据，得出，继而得出． 【详解】设，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】，， ， ． 故选：B． 12. 如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解． 【详解】解：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°， 所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°， 如图，延长正五边形的两边相交于点O， 则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°， 360°÷36°=10， ∵已经有3个五边形， ∴10-3=7， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形． 二、填空题（分） 13. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，考虑等腰三角形的两种可能情况，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，并计算周长． 【详解】解：当腰长为2，底边为5时，∵，不满足三角形三边关系，故无效； 当腰长为5，底边为2时，∵，，满足三边关系， ∴周长为， 故答案为：12． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称的性质，直接利用关于轴对称的性质得出关于的方程组进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得： ∴， 故答案为：． 15. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据三角形的内角和为，可得只能为顶角，从而可求出底角． 【详解】解：∵， ∴为三角形的顶角， ∴底角为：． 故答案为：35． 16. 如图，已知与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】可以是，根据可证明，从而得到答案． 【详解】解：， 理由是： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的方法有：、、、、是解题的关键． 17. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行、内错角相等可得，从而得到，根据等角对等边的性质可得，同理可得，进而得到的周长，最后代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 故答案为：14． 18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点作于点，交于点， 过点作于点， 平分， ， ． 中，，，，，， ， ， ． 即的最小值是4.8， 故答案为：4.8 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和． 三、解答题（共8小题） 19. 如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°． （1）求∠B的度数． （2）求∠ACD的度数． 【答案】（1）48°；（2）83°． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由DF⊥AB，在Rt△BDF中可求得∠B； （2）由（1）求出∠B，再由∠ACD=∠A+∠B可求得. 试题解析：（1）∵DF⊥AB， ∴∠B+∠D=90°， ∴∠B=90°-∠D=90°-42°=48°； （2）∠ACD=∠A+∠B=35°+48°=83°． 20. 如图，在△ABC与△DEF中，如果AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF；求证：AC∥DF． 【答案】 证明：∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 在和中， ， ∴， ∴， ∴AC∥DF. 【解析】 【分析】根据三角形的全等判定及平行线的判定定理进行求解即可. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形的全等判定及平行线的判定，熟练掌握相关判定定理及证明方法是解决本题的关键. 21. 如图，在直角坐标系中，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 为所作： ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-对称性变换．掌握轴对称的性质是解决问题的关键． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积． 22. 在四边形中，，，点、分别在边、上，且平分． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质， （1）如图，过点作于，由角平分线的性质可得，证明，得，可得结论； （2）由直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，即可求解； 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 23. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； （2） 解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”． （1）下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图1，在中，，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； （3）如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，设，求的度数． 【答案】（1）②③ （2） 证明：∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“华益三角形”； （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）根据“华益三角形”的定义进行判断即可； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）由角平分线的定义，得，，利用三角形外角定理，得，，进而得到，根据是“华益三角形”，分情况列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：①顶角是的等腰三角形的底角度数为：， 三个内角度数分别为：，，，不存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴顶角是的等腰三角形不是“华益三角形”； ②等腰直角三角形的三个内角分别为，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴等腰直角三角形是“华益三角形”； ③有一个角是的直角三角形的三个内角分别为：，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴有一个角是的直角三角形是“华益三角形”； 综上分析可知：是“华益三角形”的有②③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵平分的内角，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ①当或时， ∴或， 解得，或； ②或时， ∴或， 解得； ③或时， ∴或， 解得或， 综上所述：或或或或． 【点睛】本题为几何变换综合题，新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 25. 人教版初中数学教科书八年级上册第83页第12题告诉我们，两个共顶点的不重合等边三角形，分别连接对侧顶点构成的两个三角形会全等． （1）如图1所示，，都是等边三角形，请证明； （2）如图2，在第（1）问条件下，设，交于，连接，求的值； （3）将共顶点的等边三角形改为共直角顶点等腰直角三角形后，如图3，等腰直角三角形与等腰直角三角形共直角顶点B，连接、，，为上一点，，连接，为上一点，，连接，过作于，若，，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ∴； （2）1 （3）10 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）在上截取，连接，由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可求解； （3）过点作，交的延长线于，在上截取，连接，过点作，交的延长线于，过点作于，先求出，由“”可证，可得，，可证，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，在上截取，连接， ∵， ，，， 又，， ∴， ，， ， ， ∴是等边三角形， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点作，交的延长线于，在上截取，连接，过点作，交的延长线于，过点作于，设与的交点为， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ∴， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 又， ， 又，， ， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $