精品解析：陕西省西安市西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

数学试卷（四） （分值：120分 时间120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的左视图为（　　）． A. B. C. D. 2. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 3. 在中，，如果，，那么等于（    ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C ，，， D. ，，， 5. 如图，在中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使成为菱形，下列给出的条件不正确的是 ( ) A AB=AD B. AC⊥BD C. ∠BAC=∠DAC D. AC=BD 6. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随的值增大而增大 C. 方程的一个解的取值范围是 D. 图象的对称轴是直线 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若线段a、b满足，则的值为_____． 10. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是___________． 11. 如图，抛物线与直线交于点，若，则的取值范围为___________． 12. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线表达式是___________． 13. 如图，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为___________． 14. 如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为__________． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解不等式组： 17. 先化简，再从的范围内选取一个你喜欢的整数代入求值． 18. 如图，在中，已知，请用尺规作图法在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练． （1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是_________； （2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率． 20. 如图，延长平行四边形的边．作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，若．求证：四边形是菱形． 21. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为___________；的取值范围是__________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 22. 已知二次函数图象的对称轴是直线，且经过点． （1）求这个二次函数与轴的另一个交点坐标及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围． 23. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走到点，此时从点到垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，、、在同一水平线上．求大树的高度约为多少米？（参考数据：，） 24. 如图，在是边上的中线，过点作，垂足为点，若． （1）求的面积； （2）求的正切值． 25. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 26. 问题探究 （1）如图，在中，，，分别为，，边上的点，，交于点，求证：； （2）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，且．若，求的长； 问题解决 （3）如图是某公园中的一个矩形花园，米，米．园林设计师想在矩形的左侧扩建一个三角形区域种植玫瑰花．按照设计要求，在的延长线上，点在边上，且满足，连接、，与相交于点，为方便游客休息，设计师想在处修建一个亭子，从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷（四） （分值：120分 时间120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的左视图为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图．根据左视图的定义，结合图形判断即可，实物中存在的线条，视图中无法看到的用虚线表示． 【详解】解：卯的左视图为． 故选：C． 2. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“如意”球的频率稳定在左右进行求解即可． 【详解】解：设口袋中“如意”球有x个，根据题意，得：， 所以估计口袋中“如意”球有个． 则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为个． 故选：D 3. 在中，，如果，，那么等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据直角三角形中三角函数的定义，利用的正弦值求解斜边即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列各组线段中，成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据积是否相等进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、∵，∴选项A不成比例； B、∵，∴选项B成比例； C、∵，∴选项C不成比例； D、∵，∴选项D不成比例． 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 5. 如图，在中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使成为菱形，下列给出的条件不正确的是 ( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. ∠BAC=∠DAC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及判定即可得出结果． 【详解】解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，，所以A项正确， 对角线互相垂直的平行四边形的菱形，，所以B项正确， 菱形对角线平分每组对角，∠∠，所以C项正确， 对角线相等的平行四边形是矩形，所以D项错误． 故选：D 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质以及判定，掌握菱形的性质以及判定是解题的关键． 6. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 7. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质确定二次项、一次项系数、常数项的符号是关键． 根据二次函数图象得到，再根据一次函数，反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象开口向下，对称轴直线，函数图象与轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴A选项的图象符合题意， 故选：A ． 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随的值增大而增大 C. 方程的一个解的取值范围是 D. 图象的对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题，能用待定系数法求出二次函数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键． 详解】解：把带入函数解析式， 可得， 解得， 二次函数的解析式为． ， 抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． ， 当时，随的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令得，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为和． 方程的一个解的取值范围是． 故C选项符合题意． 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 故D选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若线段a、b满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由可得b=2a，然后代入求值. 【详解】解:由可得b=2a， 所以 =， 故答案为. 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握比例的性质是本题的解题关键. 10. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金比例的计算，根据黄金比例的计算方法列式求解即可． 【详解】解：∵点为的黄金分割点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴（不符合题意，舍去），， 故答案为： ． 11. 如图，抛物线与直线交于点，若，则的取值范围为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图像的性质，由图形求不等式的解集，掌握图像的性质是关键． 根据图像的交点，确定不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意，抛物线与直线交于点， ∴的解集为或， 故答案为：或 ． 12. 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，先将原函数化为顶点式，再分别应用向右和向上平移． 【详解】解：原函数 配方得顶点式 ， 利用“左加右减，上加下减”，向右平移个单位，再向上平移个单位， 得到抛物线表达式是 ． 故答案为：． 13. 如图，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数的性质是关键． 设，结合题意得到，点的横坐标为，则，由图形面积得到，，根据，代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴设， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，点的横坐标为， ∴当时，，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 14. 如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设，，，则，，由比例可得，即可求得的最小值． 【详解】解：作交于， ∵，， ∴，， 则， ∵， ∴， 由三角形外角可知，， ∴， ∴， ∴， 设，，，则，， ∴，整理得：，即：， ∵， ∴， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形，二次函数等知识，根据，得，再证是解决问题的关键． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的性质，二次根式化简以及负指数幂的性质，直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简得出答案，熟记特殊角的三角函数值并熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式， ， ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，需分别解每个不等式，再求交集．解题核心思路是将每个不等式转化为简单不等式，注意系数化时的不等号方向变化，最后在数轴上找公共部分．关键点在于正确移项、合并同类项，以及处理分母时不等号的方向是否改变． 【详解】解第一个不等式：， 化简得，即， 解得； 解第二个不等式：， 两边乘得，即， 解得； 两个不等式解的交集为， 所以不等式组的解集为． 17. 先化简，再从的范围内选取一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】，4 【解析】 【分析】根据分式的化简步骤即可求出最简分式，将其范围内的有意义的的值代入即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 由，x为整数，得，0，1，2． ，，， 且且， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键在于熟练掌握分式的化简步骤． 18. 如图，在中，已知，请用尺规作图法在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查作图－复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作线段的垂直平分线，垂足为点，以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 根据作图可得， ∴． 19. 李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练． （1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是_________； （2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式，直接求解即可； （2）画出树状图，展示所有等可能结果，在利用概率公式即可求解． 【详解】解：（1）根据题意：取走的是写有“自我暗示”的概率=1÷4=， 故答案是：； （2）画树状图如下： ∵一共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的情况有6种， ∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率=6÷12=． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，画树状图，展示等可能的结果数，是解题的关键． 20. 如图，延长平行四边形的边．作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，若．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质和判定， 根据平行四边形的性质得，进而得出，然后说明，即可得出最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴四边形是菱形． 21. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为___________；的取值范围是__________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 【答案】（1）； （2）当为时，矩形花园的面积为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． （1）利用矩形的性质可得到，即可得到的表达式，再根据大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为． 22. 已知二次函数图象的对称轴是直线，且经过点． （1）求这个二次函数与轴的另一个交点坐标及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）另一个交点坐标为，顶点坐标为； （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要有二次函数的对称性、函数表达式以及函数的单调性等． （1）根据二次函数图象的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再利用对称轴公式和已知点坐标求出函数表达式，进而得到顶点坐标． （2）先根据对称轴和开口方向确定函数的单调性，再结合给定的的取值范围求出的取值范围． 【小问1详解】 二次函数图象的对称轴是直线，且经过点， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 二次函数的对称轴是直线， ，解得， 函数经过点， ，解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为， 答：二次函数与轴的另一个交点坐标为，顶点坐标为． 【小问2详解】 对于二次函数，， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， ， 当时，随的增大而减小，的取值范围是， 当时，随的增大而增大，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 答：当时，的取值范围是． 23. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走到点，此时从点到垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，、、在同一水平线上．求大树的高度约为多少米？（参考数据：，） 【答案】大树的高度约为14米 【解析】 【分析】本题主要考查仰角和俯角、坡度解直角三角形的运用，理解仰角和俯角、坡度的计算，正确列式求解是关键． 根据题意，，如图所示，过点作，由坡度的计算得到米，设米，则米，米，由此列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 如图所示，过点作， ∴四边形是矩形， ∴米，， ∵斜坡的坡比为， ∴，则米， 设米，则米，米， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴大树的高度约为14米． 24. 如图，在是边上的中线，过点作，垂足为点，若． （1）求的面积； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出，的长度． （1）设，，所以，，由可求出，从而可求出答案． （2）过点作于点，由于是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值． 【小问1详解】 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 过点作于点， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 由（1）可知：， ， ， ． 25. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2）不会，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 解：工人头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 26. 问题探究 （1）如图，在中，，，分别为，，边上的点，，交于点，求证：； （2）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，且．若，求的长； 问题解决 （3）如图是某公园中的一个矩形花园，米，米．园林设计师想在矩形的左侧扩建一个三角形区域种植玫瑰花．按照设计要求，在的延长线上，点在边上，且满足，连接、，与相交于点，为方便游客休息，设计师想在处修建一个亭子，从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，米 【解析】 【分析】（1）由可得，，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论； （2）由正方形的性质可得，，从而可证得，利用相似三角形对应边成比例可得，据此即可求出的长度； （3）过点作于，交于，交于，设，则，可证得，，根据相似三角形对应边成比例可得，从而可得，利用勾股定理可得，利用完全平方数的非负性可知时有最小值米． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ； （2）解：， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：这样的点存在，的最小值为米，理由如下： 如图，过点作于，交于，交于， ， 设，则， 由（1）可知：， ， ， 设，则， 四边形为矩形，且米，米， 米，米，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理，得：， 当时，为最小，最小值为， 的最小值为：米， 答：从点到点处修一条小路（亭子大小忽略不计），且满足点到点的距离最小，这样的点存在，的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，利用相似三角形的性质找到边之间的关系是解题的关键． 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