精品解析：江苏南京市金陵中学2026-2027学年高一上学期10月适应性调研数学试卷

2026级金陵中学高一适应性调研 数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，或. 当时，不成立； 当时，即时，合题意. 综上，实数的值为. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3. 若，都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，都成立，等价于恒成立，求出最小值即可求出的取值范围. 【详解】令， 因为，都成立，所以， 又因为二次函数对称轴为直线，开口向上，且， 所以， 所以的取值范围为. 4. 已知集合内的元素个数为2，则（ ） A. 0或1 B. 1或2 C. 0或4 D. 1或8 【答案】C 【解析】 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 5. 集合或，，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将表示为的形式，通过比较系数求出，再利用不等式同向可加的性质，分别求出两部分的取值范围后相加即可. 【详解】设 比较系数得： 解得， 所以 由已知： 所以： 两式相加得： 即 所以的取值范围是. 7. 若区间中的元素是整数的恰有5个，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析可得5个整数元素为，列不等式求解即可. 【详解】若区间中恰有5个整数元素，则，解得； 此时，， 所以区间中的最小整数元素为2，最大整数元素可以是6或7， 因为区间中恰有5个整数元素，所以只能是， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 8. 已知关于x的不等式的解集为．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得是方程的唯一解，由韦达定理得到与关系，结合基本不等式可得. 【详解】由不等式的解集为，， 所以且是方程的唯一解，故， ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，取，，满足，，而，故C错误； 对于D，，，即，故D正确. 10. 已知集合中恰有个整数，从中任取个数求和，所得的所有和构成的集合为，则集合中一定有下列元素（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】不妨设这个整数由小到大为，可得个整数的和，列出方程即可求解. 【详解】因为从个整数中任取个数求和，所得的所有和构成的集合为， 则这个整数都不相同，不妨设这个整数由小到大为， 设这五个整数的和为， 所以，所以. 因为，所以， 则集合中一定有下列元素、. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，将变形为，利用基本不等式求解；对B，利用基本不等式求解；对C，由条件可得，可得，根据二次函数求最值判断；对D，利用“1”代换结合基本不等式求解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由，，得，则， 所以，当，时取等号，故C正确； 对于D，由，， 得，当且仅当，即时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】 【详解】. 13. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手：既参加了测量又参加了计算的有8人，既参加了测量又参加了绘图的有6人，既参加了计算又参加了绘图的有4人，其中三项工作都参加的有3人．则这支测绘队有________人． 【答案】45 【解析】 【详解】设集合， 根据三集合的容斥原理，测绘队总人数为三集合并集的元素个数， 所以 即这支测绘队有45人. 14. 若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数根的分布的性质，结合对称轴，顶点纵坐标及特殊点函数值得到不等式组，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 要想函数的两个零点都在区间内，需满足， 解得，故实数m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在实数范围内解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），（2） 【解析】 【小问1详解】 ， 解得或或， 所以方程的解集为. 【小问2详解】 由题可得，解得， 又，得，由，得， 所以. 由，平方得， 化简得，平方化简得，解得或， 又，故. 所以方程的解集为. 16. 已知集合，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，代入方程求得，代回检验即可； （2）求出方程的判别式，按照，，讨论求解. 【小问1详解】 ，， ，必有，所以，解得； 故. 【小问2详解】 方程的判别式， 当时，，所以，满足； 当时，，不满足； 当时，，集合有两个元素，若，则必有， 所以，反之，时确有； 综上，实数的取值范围为. 17. 已知关于x的不等式的解集为A． （1）解上述关于x的不等式； （2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）按照和分类讨论求解含参数的不等式. （2）求出集合，利用充分不必要条件，结合包含关系及（1）的结论列式求解. 【小问1详解】 由， 当时，不等式变为，解得； 当时，不等式为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，原不等式为，无解； 当时，，解得； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 不等式，可化为，解得，所以； 由是的充分不必要条件，得是的真子集， 由（1）知，则或或， 解得或或，即， 所以实数的取值范围是. 18. 如图1，长方形的周长为16． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题： （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）8；（ii）面积存在最大值，此时. 【解析】 【分析】（1）设，，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（i）证明，得，进而可求得的周长；（ii）设，在中，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由长方形的周长为16，得，又，则， 设，在中，由点在线段上，得，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. 【小问2详解】 （i）折叠后可得，，， 所以，所以， 所以的周长为. （ii）设，由及，得，， 设，则， 在中，由勾股定理得，解得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积存在最大值，此时，最大值为. 19. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若时，且，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由不等式可利用韦达定理得出方程组，解出即可； （2）代入条件后分离参数，根据二次函数单调性求出最小值即可； （3）由条件得出，，分情况讨论和，即可用均值不等式求出最小值． 【小问1详解】 的解集为， 故，的解为，， 故，解得，故； 【小问2详解】 若，则，使得不等式成立， 即，即成立， 设，则，， 设，在上单调递增，故的最小值在处取得， 则，则的取值范围为 【小问3详解】 若时，则，即，因，则， ， 当时，， 当且仅当时取等，即，化简为，解得，可以满足； 当时，， 当且仅当时取等，即，化简为，解得，可以满足. 故最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级金陵中学高一适应性调研 数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合内的元素个数为2，则（ ） A. 0或1 B. 1或2 C. 0或4 D. 1或8 5. 集合或，，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若区间中的元素是整数的恰有5个，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式的解集为．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合中恰有个整数，从中任取个数求和，所得的所有和构成的集合为，则集合中一定有下列元素（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的值为________． 13. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手：既参加了测量又参加了计算的有8人，既参加了测量又参加了绘图的有6人，既参加了计算又参加了绘图的有4人，其中三项工作都参加的有3人．则这支测绘队有________人． 14. 若函数的两个零点都在区间内，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在实数范围内解下列方程： （1）； （2）． 16. 已知集合，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 已知关于x的不等式的解集为A． （1）解上述关于x的不等式； （2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 18. 如图1，长方形的周长为16． （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题： （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 19. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若时，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $