精品解析：福建莆田市秀屿区毓英中学2026-2027学年 八年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年毓英八年级上第一次月考试卷 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 在下列四组线段中，不能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 9. 如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点F．则下列说法错误的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤若，则是的高． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，，，，则的长是 _______ ． 12. 如图，，垂足为E，，，则________． 13. 如图，在中，，平分，交于点D，，，则点D到的距离为______． 14. 如图，在中，垂直平分垂直平分，若，则__________． 15. 如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为______． 16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三．解答题（9小题，共86分） 17. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 18. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 19. 已知的两边长a和b满足． （1）若第三边长为c，求c的取值范围． （2）若是等腰三角形，求的周长． 20. 如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 21. 如图，在中，，． （1）请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若，求的面积． 22. 如图，平分． （1）求证：； （2）若，试求的长． 23. 如图，，，，，交于点，连接.求证： （1）； （2）平分. 24. 【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 25. 【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年毓英八年级上第一次月考试卷 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形． 根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 在下列四组线段中，不能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两条较短线段的长度之和是否大于较长的线段的长即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故选D． 3. 如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的对应角是． 故选：C． 4. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知，，，， ∴， ∴． 5. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中线角平分线高的定义逐一判断选项，结合三角形面积公式区分对错． 【详解】解：A、是中线，则为中点，故，不符合题意； B、是角平分线，则，不符合题意； C、是高， 为直角三角形，故，不符合题意； D、​与的高相同，但底边 ，故面积不相等，符合题意． 6. 已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，， 无法得到，故选项不一定成立． 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 8. 如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比． 【详解】∵点O是三条角平分线的交点， ∴点O到AB，AC的距离相等， ∴△AOB、△AOC面积的比=AB：AC=8：6=4：3． ∵△ABO的面积为20， ∴△ACO的面积为15． 故选B． 【点睛】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 9. 如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线可得，同理，再根据四边形内角和即可得的度数． 【详解】解：方法一： 、分别平分、， ， 、分别平分三角形的两个外角、 ， 方法二： 、分别平分、， ， 、分别平分三角形的两个外角、 ， 同理可得： 在四边形中，根据内角和为 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练运用角平分线是解题关键． 10. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点F．则下列说法错误的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤若，则是的高． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】当点D为中点时，即可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可求出．再结合三角形外角性质即得出，可判断②；在上截取，连接，易证，从而可得出，进而易证，得出，进而得出，可判断④；在④基础上作于点M，于点N，由角平分线的性质可知，再根据全等三角形的性质结合三角形面积公式即可得出，可判断③；延长至点K，使，连接，易证，得出．再证明，即得出，即是的高，可判断⑤． 【详解】解：当点D为中点时，由题意无法确定是否为中点，故①错误； ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 如图1，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 如图1，作于点M，于点N， ∵ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，故③正确； 如图2，延长至点K，使，连接， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是的高，故⑤正确． 综上可知错误的有1个． 故选A． 【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，，，，则的长是 _______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 12. 如图，，垂足为E，，，则________． 【答案】22 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：22． 13. 如图，在中，，平分，交于点D，，，则点D到的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是利用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”． 将点到的距离转化为的长度即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，且， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离为． 故答案为：3． 14. 如图，在中，垂直平分垂直平分，若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：垂直平分垂直平分，， ， ， 故答案为：8． 15. 如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据中线与面积的关系可得、即可求解． 【详解】解：∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ ∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ 故答案为：3 【点睛】本题考查三角形的中线与面积的关系．熟记相关结论即可． 16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三．解答题（9小题，共86分） 17. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 18. 如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 已知的两边长a和b满足． （1）若第三边长为c，求c的取值范围． （2）若是等腰三角形，求的周长． 【答案】（1），（2）22． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b，再根据三角形三边关系确定c的取值范围； （2）对腰进行分类讨论求周长，注意能否构成三角形． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 第三边长为c，求c的取值范围是：， 即． （2）由（1）得，，， 是等腰三角形，当a为腰时，的周长为：9+9+4=22， 当b为腰时，4+4＜9，不能构成三角形，舍去． 【点睛】本题考查了三角形三边关系和不等式，以及非负数的性质，解题关键是熟知三角形的三边关系和非负数的性质，灵活运用它们解题． 20. 如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质；首先根据可得，再由，可得，然后再利用定理可判定， 可得． 【详解】略 21. 如图，在中，，． （1）请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若，求的面积． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）16 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径，画弧分别交，于点，再以为圆心，大于长为半径画弧，交内一点P，连接，交于点D． （2）过点D作，由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作，如图所示： 由作图可知：平分， ∵，， ∴， ∴． 22. 如图，平分． （1）求证：； （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：过C作于F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）过C作于F，根据角平分线的性质得出，根据证明，得出，然后结合邻补角定义即可得证； （2）根据证明，得出，结合已知可求出，根据，可得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，，，，，交于点，连接.求证： （1）； （2）平分. 【答案】（1） 证明：， 在和中， （2） 证明：如图：过点作于点，于点 ， 在和中， ， 又，， 平分 【解析】 【分析】（1）由得，再由，，利用，即可判定； （2）首先作于点，于点，由，可得，即可证得平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质以及角平分线的判定，此题难度适中，注意掌握辅助线的做法，注意掌握数形结合思想的应用，解题关键是证明三角形全等． 24. 【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 【答案】（1）间的距离为； （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）证明：在上截取， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴， （2）略 （3）略 25. 【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【答案】 解：（1）直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ∴，， ∵， ∴． （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $