精品解析：福建省莆田市荔城区莆田第八中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年上八年数学第二次月考试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. 9x2-6x+1 B. x2+x+1 C. x2+2x-1 D. x2-9 3. 一个长方形的面积是，长是8m，则宽是（　　） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，（ ）是因式分解． A. B. C. D. = 5. 下列计算中，正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若，，则的值为（ ） A. 11 B. 10 C. D. 7. 已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A. 一定为负数 B. 一定为正数 C. 可能为正数，也可能为负数 D. 可能为零 8. 已知，那么下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　） A. 2 B. 5 C. 20 D. 9 10. 有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若，则________． 12. 当时，则=_____ 13. 若，，则________． 14. 定义新运算：，则 ___________________． 15. 若x2﹣mx+36是﹣个完全平方式，则m的值为_________. 16. 如图是杨辉三角． 结合图形，观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据前面各式规律，写出展开式的第4项：______． 三、解答题（共86分） 17 化简与计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 若关于x的多项式的展开式中不含和常数项，求，的值． 21. （1）若，，求的值． （2）已知，，求的值． 22. 如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． （1）求改造后的长方形池塘的面积； （2）改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 23. （1）已知，求值． （2）已知，求的值． 24. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：___________； （2）若，则的最小值为___________； （3）已知，求的值． 25. 在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形． （1）【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式： ； ②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ； （2）【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； （3）【拓展升华】 如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上八年数学第二次月考试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. 9x2-6x+1 B. x2+x+1 C. x2+2x-1 D. x2-9 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A. 9x2-6x+1 ，故该选项正确，符合题意； B. x2+x+1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项不符合题意； C. x2+2x-1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项不符合题意； D. x2-9，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项不符合题意； 故选A 【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 3. 一个长方形的面积是，长是8m，则宽是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵一个长方形的面积是，长是8m， ∴宽为 故选：B 【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下列由左边到右边的变形，（ ）是因式分解． A. B. C. D. = 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； B、符合定义，是因式分解，选项说法正确，符合题意； C、，右边不是积的形式，选项说法错误，不符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，此为易错点． 5. 下列计算中，正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以单项式，单项式的除法同底数幂的除法，幂的乘方运算法则是解题关键． 【详解】解：①，运算正确； ②，运算正确； ③，运算错误； ④，运算错误； 正确的个数为2， 故选：B． 6. 若，，则的值为（ ） A. 11 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 7. 已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A. 一定为负数 B. 一定为正数 C. 可能为正数，也可能为负数 D. 可能为零 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式是解题的关键．先利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断． 【详解】解：， ，，为一个三角形的三边长， 即． 故选：A． 8. 已知，那么下列因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法，分解因式的应用，利用整式乘法运算法则将右边的式子展开，根左边对比，等号成立则正确，等号不成立则错误，据此解答即可． 详解】解：， ； A、，左边不等于右边，故本选项错误，符合题意； B、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； C、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； D、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 9. 若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　） A. 2 B. 5 C. 20 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式将a2+2ab+b2﹣c2＝10的左边因式分解得到＝10，再将a+b+c＝5整体代入即可求解． 【详解】解：a2+2ab+b2﹣c2＝10， ＝10， ＝10， ∵a+b+c＝5， ∴＝10， 解得a+b﹣c＝2． 故选：A． 【点评】考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，注意整体思想的应用． 10. 有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b， 由图1可得，（a+b）2-4ab=35， 即a2+b2=2ab+35①， 由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102， 即a2+b2=51②， 由①②得，2ab+35=51， 所以ab=8， 即长方形的面积为8， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法． 二、填空题（每题4分，共24分） 11 若，则________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵2x+y-2=0， ∴52x•5y=52x+y=52=25． 故答案：25． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 12. 当时，则=_____ 【答案】64 【解析】 【分析】先将8改成，再用幂的乘方公式将化为，最后将代入计算即可；也可以利用求出m，代入计算． 【详解】解法一：∵， ∴． 解法二：∵， ∴， ∴． 故答案为：64． 【点睛】本题考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式是解题的关键．由于数字的特殊性导致m的值可求，但解法一适用范围更广更需掌握． 13. 若，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形得出，将，代入即可； 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：9 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的变形得出是解题的关键 14. 定义新运算：，则 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的新定义运算的方法列出所求算式，计算即可得到结果． 【详解】 故答案为 【点睛】考查整式的混合运算，读懂题目中定义的运算，列出式子是解题的关键. 15. 若x2﹣mx+36是﹣个完全平方式，则m的值为_________. 【答案】±12 【解析】 【详解】∵x2﹣mx+36=x 2 -mx+6 2 ， ∴-mx=±2x×6， 解得m=±12． 故答案为12或-12． 16. 如图是杨辉三角． 结合图形，观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据前面各式规律，写出的展开式的第4项：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了杨辉三角在多项式展开式系数中应用，明确杨辉三角的展开式的原理，是解题的关键．根据展开式的系数规律，可知的展开式的各项系数，按照a降幂b升幂排列，即可得解． 【详解】解：依题意得：第7行的数依次为，将各项展开，得到： 故展开式的第4项为：． 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 化简与计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． （1）根据乘法公式展开后，进行合并即可求解； （2）根据积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）先分组，然后根据平方差公式，提公因式法因式分解，即可求解； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 20. 若关于x的多项式的展开式中不含和常数项，求，的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法，先按照多项式与多项式的乘法法则展开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解：原式， ∵展开式中不含和常数项， ∴，， 解得，． 21. （1）若，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查同底数幂的乘法的逆运算，完全平方公式，此题难度适中，注意掌握公式的逆运算是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可； （2）将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：（1）； （2）∵，， ∴ ． 22. 如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． （1）求改造后的长方形池塘的面积； （2）改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【答案】（1） （2）变小了，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将改造后池塘的长与宽分别用代数式表示出来，即可计算出长方形的面积； （2）将改造前后的面积作差，即可判断出大小． 【小问1详解】 由题可得，改造后池塘的长为（2a+3）m，宽为（2a-3）m， ∴改造后的面积为：． 【小问2详解】 原来的面积为：， ∵＞0， ∴改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了． 【点睛】本题考查了列代数式、整式的乘法及平方差公式等知识，能够根据题意列出代数式并根据公式法则进行运算是解题关键． 23. （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，多项式乘多项式，单项式乘多项式， （1）根据已知得，再将化简，再整体代入即可； （2）根据已知得，，然后整体代入即可； 整体代入法的灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ， ∴的值为； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 24. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：___________； （2）若，则的最小值为___________； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）类比例题求的最小值即可； （3）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案． 本题主要考查配方法的运用、公式法分解因式，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，， 【小问2详解】 解： ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：， ， ， 又，，， ，，， ，， 25. 在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形． （1）【理解探究】 ①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到之间的等量关系式： ； ②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ； （2）【类比应用】 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； （3）【拓展升华】 如图4，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，，使，设，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若，的面积等于，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】（1）①② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，完全平方公式变形求值； （1）①利用等面积法求得结论即可；②利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）设，根据题意得，再结合，令，得出，整体思想求出结果即可． 【小问1详解】 解：①根据图2可得 ②根据图3可得阴影部分的面积为或 ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∴， ； 【小问3详解】 解：设，则， ， ， ∵， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$