第3章代数式典型例题+易错精练-2026-2027学年人教版数学七年级上册

第3章代数式典型例题+易错精练-2026-2027学年数学七年级上册人教版 典型例题 1．（2025秋•游仙区期末）某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收1.5元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨1.5元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨0.65元收取． （1）某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ （2）若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 2．（2026春•天宁区校级期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知a2﹣2＝﹣3b，求2a2+6b﹣7的值． 解：∵a2﹣2＝﹣3b， ∴a2+3b＝2， ∴2a2+6b﹣7＝2（a2+3b）﹣7＝2×2﹣7＝﹣3． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知x2﹣2y﹣3＝0，求3x2﹣6y+1的值； （2）已知a2+2a﹣8＝0，求a（a+2）2﹣a（a﹣3）（a﹣1）+3（5a﹣2）的值． 易错精练 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•让胡路区校级同步）下列代数式中符合书写要求的是（　　） A．ab2×4 B．6xy2÷3 C． D． 2．（2026•土默特左旗开学）当直角三角形的一条直角边的长度一定时，它的面积与另一条直角边（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能确定比例关系 3．（2026春•让胡路区校级同步）用字母表示的代数式是具有一定意义的，赋予4a实际意义的例子中错误的是（　　） A．若a表示一个正方形的边长则a表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则4a表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则4a表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则4a表示这辆汽车行驶4小时的路程 4．（2026春•永寿县校级期末）轮船由A地到达B地顺流航行40km，然后又返回A地，已知水流速度为每小时2km，设轮船在静水中的速度为每小时xkm，则轮船往返共用的时间为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•淮北校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．a是代数式，1不是代数式 B．表示a，b，的积的代数式为 C．代数式的意义是a与4的差除b的商 D．a与﹣4的差是a﹣（﹣4） 6．（2026春•高邮市校级期中）如图，长方形公园ABCD，长AB＝a，宽BC＝b．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（　　） A．ab﹣a﹣2b+1 B．ab﹣a﹣2b+2 C．ab﹣2a﹣2b+1 D．ab﹣a﹣2b 7．（2026春•让胡路区校级同步）如果代数式a2+a的值是3，则代数式2a2+2a+1的值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（2026春•盂县期末）按如图所示的程序运算，若开始输入x的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的x的值为（　　） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 二．填空题（共6小题） 9．（2026•湘潭开学）已知a、b是两种相关联的量（a，b均不为0），如果，那么a和b成_____ 比例关系． 10．（2026春•秦淮区期末）图中梯形的面积为____________________ ．（用含a，b的代数式表示，结果需化简） 11．（2026春•成都校级期末）若m2﹣4n＝n2﹣4m，且m≠n，则代数式m+n的值为_______ ． 12．（2026•科尔沁区校级三模）将x克盐放入水中，得到y克盐水，已知y＞x＞0，再往杯中加入n（n＞0）克盐，生活经验告诉我们盐水变咸了，这是因为盐水中含盐的浓度变大了．请你用含x，y和n的数量关系式表示“盐水中含盐的浓度变大”的事实：____________________ ． 13．（2026•丛台区校级一模）“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为________ ． 14．（2026•建瓯市模拟）用《九章算术》中记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：168﹣72＝96； 第二步：96﹣72＝24； 第三步：72﹣24＝48； 第四步：48﹣24＝24． 如果继续操作，可得24﹣24＝0，因此，经过上述四步运算，求得的结果24是168和72的最大公约数． 若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的2倍，则这两个正整数分别为_______________ ．（用含a的代数式表示） 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•二道区期末）如图，四边形ABCD是一个长方形． （1）根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S； （2）当a＝5，b＝4，c＝3时，求S的值． 16．（2025秋•潮南区期末）已知有理数a、b互为相反数，且a≠0，c、d互为倒数，有理数e是绝对值最小的数，求的值． 17．（2026•正定县一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入x＝2，计算输出的y值； （2）若输出的y＞10，求输入的最大整数x的值． 18．（2025秋•衡阳期末）某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款_________________ 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_________________ 元．（用含x的代数式表示） （2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 19．（2025秋•东川区期末）在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：a2+2a＝1，求代数式2a2+4a+4的值． 解：2a2+4a+4 ＝2（a+2a）+4 ＝2×1+4 ＝6 在解决上而问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知a2+2a的形式，再将已知a2+2a＝1代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： （1）当x2﹣4x＝1，求2x2﹣8x﹣1的值； （2）当x2+2x﹣1＝0，求4﹣4x﹣2x2的值． 典型例题解析 1．（2025秋•游仙区期末）某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收1.5元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨1.5元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨0.65元收取． （1）某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ （2）若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 【解答】解：（1）10月份应交水费1.5×6+0.65×6＝12.9（元）； 11月份应交水费1.5×10+2×10+0.65×20＝48 （元）． （2）当用水量不超过10吨时，应交水费为2.15x（元）， 当用水量超过10吨时，应交水费为1.5×10+2（x﹣10）+0.65x＝（2.65x﹣5）元． 2．（2026春•天宁区校级期中）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知a2﹣2＝﹣3b，求2a2+6b﹣7的值． 解：∵a2﹣2＝﹣3b， ∴a2+3b＝2， ∴2a2+6b﹣7＝2（a2+3b）﹣7＝2×2﹣7＝﹣3． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知x2﹣2y﹣3＝0，求3x2﹣6y+1的值； （2）已知a2+2a﹣8＝0，求a（a+2）2﹣a（a﹣3）（a﹣1）+3（5a﹣2）的值． 【解答】解：（1）∵x2﹣2y﹣3＝0， ∴x2﹣2y＝3， ∴原式＝3（x2﹣2y）+1 ＝3×3+1 ＝9+1 ＝10； （2）∵a2+2a﹣8＝0， ∴a2+2a＝8， ∴原式＝a（a2+4a+4）﹣a（a2﹣4a+3）+15a﹣6 ＝a3+4a2+4a﹣a3+4a2﹣3a+15a﹣6 ＝8a2+16a﹣6 ＝8（a2+2a）﹣6 ＝8×8﹣6 ＝64﹣6 ＝58． 易错精练解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•让胡路区校级同步）下列代数式中符合书写要求的是（　　） A．ab2×4 B．6xy2÷3 C． D． 【解答】解：选项A正确的书写格式是4ab2，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是2xy2，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2026•土默特左旗开学）当直角三角形的一条直角边的长度一定时，它的面积与另一条直角边（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不能确定比例关系 【解答】解：直角三角形两直角边可以看作底和高，三角形面积÷另一条直角边＝这条直角边÷2（一定）， 当直角三角形的一条直角边的长度一定时，它的面积与另一条直角边成正比例． 故选：A． 3．（2026春•让胡路区校级同步）用字母表示的代数式是具有一定意义的，赋予4a实际意义的例子中错误的是（　　） A．若a表示一个正方形的边长则a表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则4a表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则4a表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则4a表示这辆汽车行驶4小时的路程 【解答】解：A选项，正方形的周长公式为“边长×4”，若a表示正方形的边长，则其周长为4a，该选项正确； B选项，工作量的计算公式为“工作效率×工作时间”，工程队平均每天铺设管道长度a千米（工作效率），4天（工作时间）完成的工作量为a×4＝4a，该选项正确； C选项，两位数的表示方法为“十位数字×10+个位数字”，若十位数字是4，个位数字是a，则这个两位数应为4×10+a＝40+a，而非4a，该选项错误； D选项，路程的计算公式为“速度×时间”，汽车行驶速度是a千米/小时（速度），行驶4小时（时间）的路程为a×4＝4a，该选项正确． 故选：C． 4．（2026春•永寿县校级期末）轮船由A地到达B地顺流航行40km，然后又返回A地，已知水流速度为每小时2km，设轮船在静水中的速度为每小时xkm，则轮船往返共用的时间为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设轮船在静水中的速度为每小时xkm， 根据题意得，轮船往返共用的时间为：（h）． 故选：D． 5．（2026•淮北校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．a是代数式，1不是代数式 B．表示a，b，的积的代数式为 C．代数式的意义是a与4的差除b的商 D．a与﹣4的差是a﹣（﹣4） 【解答】解：A错误：用运算符号连接数或字母的式子叫代数式；单独一个数、单独一个字母都是代数式．所以a是代数式，1也是代数式； B错误：代数式里带分数要化成假分数．，正确写法是，不能写； C错误：“除”和“除以”不一样．：a与4的差除以b的商；“a与4的差除b”列式是； D正确：a与﹣4的差，就是a减去（﹣4），a﹣（﹣4），该说法正确． 故选：D． 6．（2026春•高邮市校级期中）如图，长方形公园ABCD，长AB＝a，宽BC＝b．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（　　） A．ab﹣a﹣2b+1 B．ab﹣a﹣2b+2 C．ab﹣2a﹣2b+1 D．ab﹣a﹣2b 【解答】解：由题知，种草部分可平移组成一个长为（a﹣2×1），宽为（b﹣1）的长方形， 则该公园小草的面积为：（a﹣2）（b﹣1）＝ab﹣a﹣2b+2． 故选：B． 7．（2026春•让胡路区校级同步）如果代数式a2+a的值是3，则代数式2a2+2a+1的值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【解答】解：当a2+a＝3时，原式＝2（a2+a）+1＝2×3+1＝7． 故选：B． 8．（2026春•盂县期末）按如图所示的程序运算，若开始输入x的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的x的值为（　　） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 【解答】解：由题知， 因为经过一次运算后输出的结果大于31， 所以5x+1＞31， 解得x＞6， 所以满足条件的x的值为大于6的数． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•湘潭开学）已知a、b是两种相关联的量（a，b均不为0），如果，那么a和b成　反　 比例关系． 【解答】解：∵交叉相乘得ab＝8×7＝56， ∵a，b均不为0，二者乘积是固定不变的定值， ∴a和b成反比例关系． 故答案为：反． 10．（2026春•秦淮区期末）图中梯形的面积为　　 ．（用含a，b的代数式表示，结果需化简） 【解答】解：根据梯形的面积公式，得 ． ∴图中梯形的面积为． 故答案为：． 11．（2026春•成都校级期末）若m2﹣4n＝n2﹣4m，且m≠n，则代数式m+n的值为　﹣4　 ． 【解答】解：m2﹣4n＝n2﹣4m， m2﹣n2+4m﹣4n＝0， （m﹣n）（m+n）+4（m﹣n）＝0， （m﹣n）（m+n+4）＝0， ∵m≠n， ∴m﹣n≠0， ∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4． 故答案为：﹣4． 12．（2026•科尔沁区校级三模）将x克盐放入水中，得到y克盐水，已知y＞x＞0，再往杯中加入n（n＞0）克盐，生活经验告诉我们盐水变咸了，这是因为盐水中含盐的浓度变大了．请你用含x，y和n的数量关系式表示“盐水中含盐的浓度变大”的事实：　　 ． 【解答】解：将x克盐放入水中，得到y克盐水，且y＞x＞0，此时的浓度为：， 再往杯中加入n（n＞0）克盐，此时的浓度为， ， ∵y＞x＞0，n＞0， ∴0， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2026•丛台区校级一模）“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面可以排列组合，按需设席．如图，给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x，则一张小桌的面积为　2x2 ． 【解答】解：由图可得， 小桌的长＝小桌的宽的2倍， ∵长桌的宽为x，每张桌面的宽都相等， ∴小桌的宽为x，长为2x， ∴一张小桌的面积为2x•x＝2x2， 故答案为：2x2． 14．（2026•建瓯市模拟）用《九章算术》中记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：168﹣72＝96； 第二步：96﹣72＝24； 第三步：72﹣24＝48； 第四步：48﹣24＝24． 如果继续操作，可得24﹣24＝0，因此，经过上述四步运算，求得的结果24是168和72的最大公约数． 若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的2倍，则这两个正整数分别为　4a，a或5a，2a ．（用含a的代数式表示） 【解答】解：令较大的数为x，较小的数为y，则x＞2y， ∴x﹣y＞y， 第一步，x﹣y＝x﹣y，此时剩x﹣y和y； 第二步，（x﹣y）﹣y＝x﹣2y，此时剩x﹣2y和y； 第三步： ①当x﹣2y＞y时，x﹣2y﹣y＝a，此时y＝a， 解得，x＝4a，y＝a， ②当x﹣2y＜y时，y﹣（x﹣2y）＝a，此时x﹣2y＝a， 即， 解得，x＝5a，y＝2a， 综上得，这两个正整数分别为4a，a或5a，2a． 故答案为：4a，a或5a，2a． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•二道区期末）如图，四边形ABCD是一个长方形． （1）根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S； （2）当a＝5，b＝4，c＝3时，求S的值． 【解答】解：（1）根据图形可知， 阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S△BEFab2c ； （2）当a＝5，b＝4，c＝3时， ． 16．（2025秋•潮南区期末）已知有理数a、b互为相反数，且a≠0，c、d互为倒数，有理数e是绝对值最小的数，求的值． 【解答】解：∵a、b互为相反数， ∴a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴1， ∵c、d互为倒数， ∴cd＝1， ∵有理数e是绝对值最小的数， ∴e＝0， ∴2cd+e21﹣2+0+0＝﹣3． 17．（2026•正定县一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入x＝2，计算输出的y值； （2）若输出的y＞10，求输入的最大整数x的值． 【解答】解：（1）当x＝2时， [2×（﹣4）+3]÷2 ＝﹣5÷2 ＝﹣2.5， ∴输出的y值为﹣2.5； （2）根据题意得，， 解得， ∴输入的最大整数x的值为﹣5． 18．（2025秋•衡阳期末）某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款　（200x+10000）　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款　（160x+11200）　 元．（用含x的代数式表示） （2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 【解答】解：（1）700×20+200（x﹣20）＝200x+10000（元）， （700×20+200x）×80%＝160x+11200（元）； 故答案为：（200x+10000）；（160x+11200）； （2）方案一：当x＝40时，原式＝200×40+10000＝18000（元） 方案二：当x＝40时，原式＝11200+160×40＝17600（元） ∵18000＞17600 ∴按方案二购买较为合算 （3）按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉． 总金额为：20×700+20×200×80%＝17200（元） 19．（2025秋•东川区期末）在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：a2+2a＝1，求代数式2a2+4a+4的值． 解：2a2+4a+4 ＝2（a+2a）+4 ＝2×1+4 ＝6 在解决上而问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知a2+2a的形式，再将已知a2+2a＝1代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： （1）当x2﹣4x＝1，求2x2﹣8x﹣1的值； （2）当x2+2x﹣1＝0，求4﹣4x﹣2x2的值． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝1， ∴原式＝2x2﹣8x﹣1 ＝2（x2﹣4x）﹣1 ＝2×1﹣1 ＝1； （2）∵x2+2x﹣1＝0， ∴x2+2x＝1， ∴原式＝4﹣4x﹣2x2 ＝4﹣2（x2+2x） ＝4﹣2×1 ＝4﹣2 ＝2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $