第14章全等三角形典型例题+易错精练-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章全等三角形典型例题+易错精练-2026-2027学年数学八年级上册人教版 典型例题 1．（2025春•榆中县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，已知点P在线段BC上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段BP和CP的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且△BPD和△CPQ恰好全等，求出相对应的a和t的值． 2．（2026春•雨花区校级期末）如图，点A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF＝5，分别过点E，F作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD且AB＝CD．连接BD交AC于点G． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）若EF＝6，求AG的长． 3．（2026春•广元期末）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥AC于点F． （1）求证：PE＝PF； （2）连接AP，若∠ABC＝40°，求∠APC的度数． 易错精练 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•玄武区期末）已知△ABC≌△DEF，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝EF B．BC＝DF C．∠A＝∠D D．∠B＝∠F 2．（2025秋•南平期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由△BMN≌△FPQ得到∠ABC＝∠EFG，判断这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 3．（2025秋•丰泽区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AD＝3cm，DE＝1cm，则AC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 4．（2026春•河南校级期末）如图，某同学做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．（2025秋•柘城县期末）如图，在△ABC和△BDE中，点D在线段BC上，若BC＝DE，AC＝BE，AB＝BD，∠ABC＝55°，则∠BFD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．（2025秋•崂山区期末）如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，AO＝5，那么点A的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 7．（2026春•牡丹区校级期末）下列三角形中，一定全等的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不全等 8．（2026春•山亭区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 二．填空题（共6小题） 9．（2026春•三元区校级期中）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长是15，那么△ABC的周长是_______ ． 10．（2026秋•伊通县校级月考）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE＝CD，添加一个条件 ____________________ ，使△ABE≌△ACD（填一个即可）． 11．（2025秋•开州区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是___________ ． 12．（2026•钦北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝________ ． 13．（2026春•会宁县期末）如图，在△ABC中，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝8cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为__________ ． 14．（2025秋•碑林区校级同步）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为_______ ． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•惠城区期末）如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．求证：△ABE≌△CDF． 16．（2025秋•泸州校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接AE，EA平分∠DEF． （1）求证：AD＝AF （2）若BF＝9，DE＝4，求CE的长． 17．（2026秋•杭州月考）已知：如图，在△ABC中，∠B＝α，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线． （1）若α＝80°，∠AFC的度数为_________ ． （2）请用含α的代数式表示∠AFC． （3）若α＝60°，AD＝6，CE＝4，求AC的长． 18．（2025秋•翁牛特旗期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量哪些量？为什么？ 19．（2026春•宝鸡校级期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 典型例题解析 1．（2025春•榆中县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，已知点P在线段BC上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段BP和CP的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且△BPD和△CPQ恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【解答】解：（1）由题意得，BP＝2t（厘米）， CP＝BC﹣BP＝8﹣2t（厘米）． （2）∵点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒， ∴BP＝2t厘米，CP＝（8﹣2t）厘米，CQ＝at厘米， ∵点D是AB的中点， ∴（厘米）， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 当△BPD≌△CPQ时， 则BP＝CP，BD＝CQ， ∴2t＝8﹣2t，6＝at， ∴t＝2，a＝3； 当△BPD≌△CQP时， 则BD＝CP，BP＝CQ， ∴6＝8﹣2t，2t＝at， ∴t＝1，a＝2 综上，t＝2，a＝3或t＝1，a＝2． 2．（2026春•雨花区校级期末）如图，点A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF＝5，分别过点E，F作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD且AB＝CD．连接BD交AC于点G． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）若EF＝6，求AG的长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， 即AF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）． （2）解：∵Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴BF＝DE， 在△BFG和△DEG中， ， ∴△BFG≌△DEG（AAS）， ∴FG＝EGEF6＝3， ∵AE＝CF＝5， ∴AE＝AE+EG＝5+3＝8． 3．（2026春•广元期末）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥AC于点F． （1）求证：PE＝PF； （2）连接AP，若∠ABC＝40°，求∠APC的度数． 【解答】（1）证明：过P作PK⊥BC于K， ∵PB平分∠CBD，PE⊥BD， ∴PE＝PK， 同理：PF＝PK， ∴PE＝PF； （2）解：∵PE⊥AD，PF⊥AC，PE＝PF， ∴AP平分∠BAC， ∴∠CAP∠BAC， ∵CP平分∠BCH， ∴∠PCH∠BCH， ∵∠PCH＝∠CAP+∠APC， ∴∠BCH∠BAC+∠APC， ∵∠BCH＝∠BAC+∠ABC， ∴（∠BAC+∠ABC）∠BAC+∠APC， ∴∠APC∠ABC40°＝20°． 易错精练解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•玄武区期末）已知△ABC≌△DEF，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝EF B．BC＝DF C．∠A＝∠D D．∠B＝∠F 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF，BC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E， 故A、B、D不符合题意，C符合题意． 故选：C． 2．（2025秋•南平期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由△BMN≌△FPQ得到∠ABC＝∠EFG，判断这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【解答】解：由尺规作图的痕迹可知，BM＝BN＝FP＝FQ，MN＝PQ，符合根据SSS判定三角形全等． 故选：C． 3．（2025秋•丰泽区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AD＝3cm，DE＝1cm，则AC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝1cm， ∵AD＝3cm， ∴AC＝AD+CD＝4（cm）． 故选：A． 4．（2026春•河南校级期末）如图，某同学做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AE是∠PRQ的平分线， ∴过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，此角平分仪的画图原理是SSS． 故选：B． 5．（2025秋•柘城县期末）如图，在△ABC和△BDE中，点D在线段BC上，若BC＝DE，AC＝BE，AB＝BD，∠ABC＝55°，则∠BFD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（SSS）， ∵∠ABC＝55°， ∴∠ABC＝∠BDE＝55°， ∴∠BFD＝180°﹣（∠ABC+∠BDE）＝70°， 故选：C． 6．（2025秋•崂山区期末）如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，AO＝5，那么点A的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（﹣4，3） 【解答】解：过A作AH⊥OD于H， ∵OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C， ∴AH＝AC＝3， ∵AO＝5， ∴OH4， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 故选：D． 7．（2026春•牡丹区校级期末）下列三角形中，一定全等的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．都不全等 【解答】解：由图可知，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠D＝40°，∠C＝∠F＝60°， 但BC≠DF，AB≠DE， ∴无法利用SAS或AAS证明△ABC和△DEF全等； 同理可得，无法利用SAS或AAS证明△DEF和△HIG全等； 在△ABC和△HIG中， ， ∴△ABC≌△IGH（ASA）， ∴一定全等的是甲和丙． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 8．（2026春•山亭区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图所示： ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD＝3， ∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3， ∵△ABC的面积是50， ∴S△OAB+S△OBC+S△OAC＝50， ∴AB•OEBC•ODAC•OF＝50， ∴3AB+3BC+3AC＝100， ∴AB+BC+AC， ∴△ABC的周长为． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2026春•三元区校级期中）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长是15，那么△ABC的周长是　15　 ． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， ∴△ABC的周长＝△DEF的周长． ∵△DEF的周长为15， ∴△ABC的周长为15． 故答案为：15． 10．（2026秋•伊通县校级月考）如图，点D在AB上，点E在AC上，BE＝CD，添加一个条件 　∠B＝∠C（或∠AEB＝∠ADC）　 ，使△ABE≌△ACD（填一个即可）． 【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，BE＝CD， ∴当添加∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC时，△ABE≌△ACD（AAS）． 故答案为：∠B＝∠C（或∠AEB＝∠ADC）． 11．（2025秋•开州区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是　1＜AD＜4　 ． 【解答】解：如图，AD是BC边上的中线，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB， ∵AB＝5，AC＝3， ∴AB﹣AC＜AE＜AB+AC，即2＜AE＜8， ∴1＜AD＜4． 故答案为：1＜AD＜4． 12．（2026•钦北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝　55°　 ． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝20°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， 由作图得：∠α的顶点是∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点， ∴∠α＝90°70°＝55°， 故答案为：55°． 13．（2026春•会宁县期末）如图，在△ABC中，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝8cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为　12cm2 ． 【解答】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， ∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，OM⊥AB，OP⊥AC， ∴OM＝OP， ∵OC平分∠ACB，ON⊥BC，OP⊥AC， ∴ON＝OP， ∴OM＝ON， ∵， ∴， ∴OM＝3cm， ∴ON＝3cm， ∵BC＝8cm， ∴． 故答案为：12cm2． 14．（2025秋•碑林区校级同步）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为　10　 ． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB， ∴AD＝DE＝4， ∴． 故答案为：10． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•惠城区期末）如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．求证：△ABE≌△CDF． 【解答】证明：∵BE⊥AC于点E， ∴∠AEB＝90°． ∵DF⊥AC于点F， ∴∠DFC＝90°， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， ∴AE＝CF． 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 16．（2025秋•泸州校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接AE，EA平分∠DEF． （1）求证：AD＝AF （2）若BF＝9，DE＝4，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴AD⊥DE， ∵EA平分∠DEF， ∴∠AED＝∠AEF， 又∵AF⊥EF， ∴AF＝AD； （2）解：∵∠D＝90°，BE⊥AC于点F， ∴△ABF和△ACD是直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABF≌△Rt△ACD（HL）， ∴BF＝CD， ∵BF＝9，DE＝4， ∴CD＝9， ∴CE＝CD﹣DE＝9﹣4＝5． 17．（2026秋•杭州月考）已知：如图，在△ABC中，∠B＝α，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线． （1）若α＝80°，∠AFC的度数为　130°　 ． （2）请用含α的代数式表示∠AFC． （3）若α＝60°，AD＝6，CE＝4，求AC的长． 【解答】解：（1）∵AE为△ABC的角平分线， ∴∠FAC∠BAC， ∵CD为△ABC的角平分线， ∴∠FCA∠BCA， ∵∠B＝α＝80°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝100°， ∴， 故答案为：130°； （2）∵AE为△ABC的角平分线， ∴∠FAC∠BAC， ∵CD为△ABC的角平分线， ∴∠FCA∠BCA， ∵∠B＝α， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣α， ∴； （3）在AC上截取AG＝AD，连接FG． ∵AE、CD为△ABC的角平分线． ∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE， ∵α＝60°， ∴由（2）得， ∴∠AFD＝∠CFE＝60°， 在△ADF与△AGF中， ， ∴△ADF≌△AGF（SAS）， ∴∠AFD＝∠AFG＝60°， ∴∠GFC＝∠CFE＝60°， 在△CGF与△CEF中， ， ∴△CGF≌△CEF（ASA）， ∴CG＝CE＝4， ∴AC＝AG+GC＝10． 18．（2025秋•翁牛特旗期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量哪些量？为什么？ 【解答】解：只要测量A′B′就可以， 理由：连接AB，A′B′，如图， ∵点O分别是AA′、BB′的中点， ∴OA＝OA′，OB＝OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）． ∴A′B′＝AB． 19．（2026春•宝鸡校级期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝AB﹣AP＝5， ∴BP＝AC， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C+∠APC＝90°， ∴∠APC+∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ， 可得5＝7﹣2t，t＝xt 解得x＝1，t＝1； ②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP， 可得5＝xt，t＝7﹣2t， 解得：，． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为1或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $