第25-26章阶段复习卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25-26章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•常宁市期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 2．（2025秋•开鲁县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 3．（2026秋•丰南区校级月考）关于x的一元二次方程3x2+3x+1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．（2025秋•肃州区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2026秋•红桥区月考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0时，通过配方可以将其化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m，n的值分别为（　　） A．﹣3，8 B．3，8 C．﹣3，10 D．3，10 6．（2025秋•黔南州校级期末）把抛物线y＝5x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就得到抛物线（　　） A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x﹣3）2﹣2 C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x+3）2+2 7．（2025秋•隆昌市校级期末）某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为45m），其他边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏）、若车棚的占地面积为384m2，则车棚的长BC为（　　） A．48m B．24m C．20m D．16m 8．（2025秋•昌都市期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3，下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，y1＞y2 B．当y1＞y2时，m＞5 C．当y1＜y2时，m＞﹣1 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 9．（2026秋•同步）若小明将如图所示的两条水平线AB，CD中的一条当成x轴，且向右为正方向；两条铅垂线AC，BD中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数y＝2（x﹣1）2的图象，则坐标原点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 10．（2026•无锡）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•红桥区月考）设x1，x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为_____ ． 12．（2026秋•灞桥区校级同步）关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是____________ ． 13．（2026秋•南开区校级月考）已知一条抛物线的开口大小与y＝4x2相同，且顶点坐标是（2，3），则该抛物线的关系式是_________________ ．（结果用一般式表示） 14．（2026•鲁山县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 ________ ． 15．（2026秋•同步）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于____________________ ． 16．（2026秋•萨尔图区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④；⑤b＞c．其中正确结论有________ （填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（共8小题） 17．（2025秋•陵水县期末）解方程： （1）x2﹣9＝0； （2）x2﹣4x﹣12＝0． 18．（2025秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根是x＝﹣2，求方程的另一个根及m的值． 19．（2026秋•裕安区校级同步）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）． （1）求b，c的值． （2）求当﹣5≤x≤﹣3时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值． 20．（2025秋•成华区期末）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片.2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元．随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． （1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； （2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片？ 21．（2026秋•金山区校级月考）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 22．（2026•雁塔区校级一模）如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，是古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2，测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 23．（2026•铁东区三模）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是AB的中点，平行四边形CDEF的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点D的横坐标是﹣2，点E在第三象限，平行四边形CDEF的面积是13，求点F的坐标； （3）如图（2），若点F在抛物线上，连接DF，求证：直线DF过一定点． 24．（2026春•市中区期末）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________ ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 第25-26章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•常宁市期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 【解答】解：A、y﹣2x＝0，方程中有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B、x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C、x2﹣5x＝0，是一元二次方程，故选项C符合题意； D、2x3﹣2＝0，方程中未知数的最高次数是3，此方程不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．（2025秋•开鲁县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 故选：A． 3．（2026秋•丰南区校级月考）关于x的一元二次方程3x2+3x+1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【解答】解：∵Δ＝32﹣4×3×1＝﹣3＜0， ∴一元二次方程3x2+3x+1＝0没有实数根． 故选：A． 4．（2025秋•肃州区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，，得b＞0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项符合题意； B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知a＞0，由直线可知a＜0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知a＜0，，得b＜0，由直线可知a＜0，b＞0，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．（2026秋•红桥区月考）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0时，通过配方可以将其化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m，n的值分别为（　　） A．﹣3，8 B．3，8 C．﹣3，10 D．3，10 【解答】解：x2﹣6x+1＝0， 移项得x2﹣6x＝﹣1， 配方得x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8， ∵用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0时，通过配方可以将其化成（x+m）2＝n（m，n为常数）的形式， ∴m＝﹣3，n＝8． 故选：A． 6．（2025秋•黔南州校级期末）把抛物线y＝5x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就得到抛物线（　　） A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x﹣3）2﹣2 C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x+3）2+2 【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的平移规律可知： 把抛物线y＝5x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就得到抛物线y＝5（x﹣2）2+3， 故选：A． 7．（2025秋•隆昌市校级期末）某小区为实现“人车分离”，在小区入门处搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的围墙（长为45m），其他边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏）、若车棚的占地面积为384m2，则车棚的长BC为（　　） A．48m B．24m C．20m D．16m 【解答】解：设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m）， 由题意得：x（72﹣3x）＝384， 整理得：x2﹣24x+128＝0， 解得：x1＝16，x2＝8， 当x1＝16时，72﹣3x＝72﹣3×16＝24＜45，符合题意； 当x2＝8时，72﹣3x＝72﹣3×8＝48＞45，不符合题意，舍去， 即车棚的长BC为24m， 故选：B． 8．（2025秋•昌都市期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3，下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，y1＞y2 B．当y1＞y2时，m＞5 C．当y1＜y2时，m＞﹣1 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x2， ∵m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3， ∴当m＝1时，﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4， ∴点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要大， ∴y1＜y2．故A错误； 当y1＞y2时，点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要小， ①m﹣3≥2时，满足题意，此时m≥5； ②时，满足题意，此时m＝3， 故B错误； 当y1＜y2时，点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要大， ①m﹣3≥2时，不合题意； ②3﹣m≥m+3，满足题意，此时m≤0， 故C错误； 当m＜﹣1时，m+3＜2， ∴A（x1，y1）和B（x2，y2）在对称轴的左侧，y1＜y2，故D正确． 故选：D． 9．（2026秋•同步）若小明将如图所示的两条水平线AB，CD中的一条当成x轴，且向右为正方向；两条铅垂线AC，BD中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数y＝2（x﹣1）2的图象，则坐标原点可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【解答】解：∵函数y＝2（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，0），∴直线CD为x轴，AC为y轴，∴坐标原点可能是C， 故选：C． 10．（2026•无锡）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 【解答】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•红桥区月考）设x1，x2是方程x2+4x﹣3＝0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为　1　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣3， ∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2） ＝﹣3﹣（﹣4） ＝1． 故答案为：1． 12．（2026秋•灞桥区校级同步）关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0　 ． 【解答】解：已知关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根， 则Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0且a≠0， 解得：a≤1且a≠0． 13．（2026秋•南开区校级月考）已知一条抛物线的开口大小与y＝4x2相同，且顶点坐标是（2，3），则该抛物线的关系式是y＝4x2﹣16x+19　 ．（结果用一般式表示） 【解答】解：∵抛物线的开口大小与y＝4x2相同，且顶点坐标是（2，3）， ∴设抛物线的解析式为：y＝4（x﹣2）2+3， 即：y＝4x2﹣16x+19． 故答案为：y＝4x2﹣16x+19． 14．（2026•鲁山县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 m≤9　 ． 【解答】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为（﹣4，9）， 当x＝﹣4时，函数有最小值为：y＝9， 由题意可得： ∴抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝m有交点， ∴m≤9； 故答案为：m≤9． 15．（2026秋•同步）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于　　 ． 【解答】解：∵c＝a+x（b﹣a）， ∴c﹣a＝x（b﹣a）， ∴c﹣a＝bx﹣ax， ∴c＝bx﹣ax+a， ∴﹣c＝﹣bx+ax﹣a， ∴b﹣c＝﹣bx+ax﹣a+b， ∴b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a）， ∵， ∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2， ∵b＞a， ∴b﹣a≠0， ∴x2+x﹣1＝0， ∴x． 故答案为：． 16．（2026秋•萨尔图区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④；⑤b＞c．其中正确结论有　①③⑤　 （填写所有正确结论的序号）． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴， 即b＝﹣2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意； ②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x＝2时，y＜0， 即4a+2b+c＜0，故②错误，不符合题意； ③∵对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上， ∴当x＝1时，函数取得最小值， ∵x＝0时，y＝c，且﹣2＜c＜﹣1， ∴， ∴， ∵a＞0， ∴4ac﹣b2＜﹣4a，故③正确，符合题意； ④∵抛物线过点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即c＝﹣3a， ∵﹣2＜c＜﹣1， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴，故④错误，不符合题意； ⑤∵b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴b﹣c＝﹣2a﹣（﹣3a）＝a， ∵a＞0， ∴b﹣c＞0， 即b＞c，故⑤正确，符合题意； 故答案为：①③⑤． 三．解答题（共8小题） 17．（2025秋•陵水县期末）解方程： （1）x2﹣9＝0； （2）x2﹣4x﹣12＝0． 【解答】解：（1）由题意得，（x+3）（x﹣3）＝0， x﹣3＝0或x+3＝0， x1＝3，x2＝﹣3； （2）由题意得，（x+2）（x﹣6）＝0， x﹣6＝0或x+2＝0， x1＝6，x2＝﹣2． 18．（2025秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根是x＝﹣2，求方程的另一个根及m的值． 【解答】解：（1）根据题意得m≠0且[2（m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0， 解得； （2）∵方程有一个根是 x＝﹣2， ∴4m+2（m+1）×（﹣2）+m﹣1＝0， 解得m＝5， 原方程为5x2+12x+4＝0， （5x+2）（x+2）＝0， 5x+2＝0或x+2＝0， 所以x1，x2＝﹣2， 即方程的另一个根是，m的值是5． 19．（2026秋•裕安区校级同步）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）． （1）求b，c的值． （2）求当﹣5≤x≤﹣3时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）代入， 得， 解得， ∴b，c的值分别是﹣2，﹣8； （2）∵二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∵1＞0， ∴二次函数图象的开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵﹣5≤x≤﹣3， ∴当x＝﹣5时，二次函数y＝x2+bx+c有最大值，最大值为y＝（﹣5﹣1）2﹣9＝36﹣9＝27． 20．（2025秋•成华区期末）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片.2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元．随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． （1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； （2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片？ 【解答】解：（1）设2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为x， 根据题意得：2000（1﹣x）2＝1620， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 答：2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为10%； （2）设购进m万颗甲种芯片，则购进（100﹣m）万颗乙种芯片， 根据题意得：1620m+1300（100﹣m）≤142800， 解得：m≤40， 答：最多购进40万颗甲种芯片． 21．（2026秋•金山区校级月考）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为x＝1， 设另一个交点为（x0，0），则有， 解得x0＝﹣1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），A（3，0）， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3）， 又∵抛物线过点B（0，3）， 代入x＝0、y＝3有3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∵点C为顶点，即xC＝1代入有y＝﹣12+2×1+3＝4， 故C（1，4）． 综上，C（1，4），y＝﹣x2+2x+3； （2）记对称轴与AB交于点M， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵直线AB过点A（3，0），B（0，3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， 令x＝1，则y＝﹣1+3＝2， ∴M（1，2）， ∴CM＝yC﹣yM＝2， ∴S△ABC＝S△BMC+S△AMC ＝3． 22．（2026•雁塔区校级一模）如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，是古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2，测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 【解答】解：（1）∵熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米， ∴可知抛物线的顶点为（40，32）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣40）2+32， 根据图象可知抛物线经过原点（0，0）， ∴a（0﹣40）2+32＝0， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由题意得：熏炉套盒最左侧在x轴的横坐标为x＝40﹣8÷2＝36，将x＝36代入， 可解得：y＝31.68， ∵31.68÷6＝5.28（厘米）， ∴这一列最多能叠放5个套盒． 23．（2026•铁东区三模）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是AB的中点，平行四边形CDEF的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点D的横坐标是﹣2，点E在第三象限，平行四边形CDEF的面积是13，求点F的坐标； （3）如图（2），若点F在抛物线上，连接DF，求证：直线DF过一定点． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴分别相交于A，B两点， ∴0＝x2﹣2x﹣6， ∴x1＝1，x2＝1， ∵点A在点B的左侧， ∴点B（1，0），点A（1，0）， ∵C是AB的中点， ∴点C坐标为（1，0）； （2）∵点D在抛物线y＝x2﹣2x﹣6上， ∴y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣6＝2， ∴点D（﹣2，2）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把C（1，0），D（﹣2，2）代入得： ，解得：， ∴直线CD的解析式为， 如图（1），过点E作EG⊥x轴交直线CD于点G，连接CE， 设点E（a，a2﹣2a﹣6），则点G， ∴EG， ∵平行四边形CDEF的面积是13， ∴， ∵， ∴， 解得：a＝﹣1或（舍去）， ∴点E（﹣1，﹣3）， ∵点D（﹣2，2）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点C（1，0）， ∴点E（﹣1，﹣3）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点F（2，﹣5）； （3）设直线DF的解析式为y＝mx+n， 联立得：， 整理得：x2﹣（2+m）x﹣n﹣6＝0， ∴xD+xF＝2+m， ∵四边形CDEF为平行四边形， ∴xC﹣xD＝xF﹣xE，yC﹣yD＝yF﹣yE， ∴xE＝xF+xD﹣xC＝2+m﹣1＝m+1， yE＝yF+yD﹣yC＝mxF+n+mxD+n＝m（xF+xD）+2n＝m（2+m）+2n， ∵点E在抛物线上， ∴m（2+m）+2n＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣6， 解得：n， ∴直线DF的解析式为y＝mx﹣mm（x﹣1）， ∴直线DF过定点． 24．（2026春•市中区期末）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $