精品解析：天津市南开大学附属中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段检测数学试卷

南开大学附中26—27学年上学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出向量的坐标，利用空间向量的减法运算可得答案． 【详解】， 故选：A 2. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求得直线的斜率，再根据点斜式即可得出答案. 【详解】解：因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率为， 所以过点且方向向量为的直线方程为， 即. 故选：A. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由，求得的坐标，再根据模的运算公式求得. 【详解】∵，∴，∴ ∴，， 故选：C. 4. 下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为2 D. 向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据面对称点性质可判断；对于B，利用空间向量判断线面关系；对于C，应用点面距离的向量求法判断；对于D，根据向量投影坐标公式计算后判断. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A为假命题； 对于B，，所以，则或，故B为假命题； 对于C，，所以，则到的距离为2，故C为真命题； 对于D，根据向量投影坐标公式向量在向量上的投影向量的坐标是，故D为假命题. 故选：C 5. 若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得，则. 故选：A 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得参数值，进而判断充分必要性. 【详解】由可知，解得或， 当时，，，成立， 当时，，即，与重合， 所以若则， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 7. 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ） A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B， ，所以，B错误 对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：B. 8. 如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，则用，，表示向量的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合平行六面体的结构特征求出. 【详解】在平行六面体中，， 由是的中点，得，由点是上的点，且， 得， 所以. 9. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 10. 如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示，    由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 12. 与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果． 【详解】圆，即 所以所求圆的圆心坐标为，半径为 所以圆的方程为． 故答案为：． 13. 在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可． 【详解】取，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 14. 直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论，当截距不为零时，利用待定系数法求解即可. 【详解】当截距均为零时，直线过原点， 则直线方程为即； 当截距不为零时，设在轴上的截距为， 则直线方程可设为， 又直线过点，故， 解得， 故直线方程为， 故答案为：或. 15. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则______． 【答案】. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出AP的长. 【详解】由题意， 如图建立直角坐标系： 则 ，直线方程为 即， 三角形重心为 即 设 , 关于直线对称点为 解得 由光的反射可知 四点共线， 直线斜率为 , 直线方程为 过重心， 即 ， 解得 舍去， ， ∴， 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，，，求： （1）所在直线的方程； （2）三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式方程求得所在直线的方程即可. （2）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积即可. 【小问1详解】 因为， 所以直线的两点式方程为，化简得； 【小问2详解】 设到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得 又的底边长为， 所以的面积为. 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．已知，，． （1）用，，表示； （2）求的长； （3）求． 【答案】（1） . （2） . （3） . 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底，结合平行六面体的结构特征表示. （2）（3）利用空间向量的数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在平行六面体中，，为与的交点， 则. 【小问2详解】 由，得， 而，则. 【小问3详解】 ，则， 所以． 18. 根据下列条件，求圆的方程： （1）圆经过，两点，且圆心在直线上； （2）圆经过，，三点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的中垂线方程，联立方程组求出圆心坐标，计算圆的半径，从而得出圆的方程； （2）利用待定系数法求出圆的方程． 【小问1详解】 的中点为，直线的斜率为， 线段的中垂线方程为，即． 联立方程组，解得，，即所求圆的圆心， 圆的半径， 圆的方程为． 【小问2详解】 设圆的方程为， 圆过点，，， 解得，，， 圆的方程为． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，再由二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 【小问2详解】 由正弦定理，所以； 【小问3详解】 由余弦定理， 所以， ， 所以. 20. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面， ，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由平面平面，交线为，为矩形得出，故平面， 以为原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 为中点，故， 向量， 设平面的法向量为， 则，令，则， ，故， 又平面，故平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明直线的方向向量与该法向量垂直，结合线不在平面内证出线面平行； （2）求出直线方向向量与平面的法向量，利用线面角向量公式计算线面角的正弦值； （3）设线段比例参数表示点坐标，求出两个平面的法向量，借助面面夹角的向量公式列方程求解参数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，平面内向量， 设平面的法向量为，则 ，令，则， ． 【小问3详解】 设，则， 平面内向量， 设平面的法向量，则， 令，则， 已知两平面夹角为，故法向量夹角余弦值为， 化简整理得，解得（舍去）或， 故存在点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附中26—27学年上学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 4. 下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为2 D. 向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 5. 若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ） A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 8. 如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，则用，，表示向量的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 10. 如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 12. 与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________． 13. 在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为___________． 14. 直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是______． 15. 如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则______． 三、解答题：本题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，，，求： （1）所在直线的方程； （2）三角形的面积． 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．已知，，． （1）用，，表示； （2）求的长； （3）求． 18. 根据下列条件，求圆的方程： （1）圆经过，两点，且圆心在直线上； （2）圆经过，，三点. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 20. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面， ，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $