精品解析：安徽省太和中学2026-2027学年高一上学期普通班第一次质量检测数学试题

太和中学2026—2027学年高一上学期第一次质量检测 数学试卷 （考试范围：北师大版必修第一册第一章—第二章第2节《函数的表示法》） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 定义：表示不大于x的最大整数，即取整函数.则不等式−成立的一个充分不必要条件是（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 14. 某校共有40人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中21人选择参加足球，17人选择参加排球，20人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有12人，则三项都参加的学生数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 16. （1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 17. 已知集合，集合，． （1）求集合，； （2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 18. 设二次函数. （1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 19. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学2026—2027学年高一上学期第一次质量检测 数学试卷 （考试范围：北师大版必修第一册第一章—第二章第2节《函数的表示法》） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：A 2. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的交集运算的结果，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得，解得， 由，得且，解得且且且， 即且且且， 由，得，因此，即，则或（舍去）， 所以实数的值为. 故选：C 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定规则为：将存在量词改为全称量词， 保持量词对应的取值范围不变，同时否定原命题的结论， 原命题为“”的否定是“”， 则选项D正确. 4. 设，，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，又，则，即，充分性成立， 若，取特殊值，此时，代入得， 不满足，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 5. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 6. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的条件及分式有意义可知，进而求出，代入集合验证可求出的值，进一步计算即可. 【详解】根据集合相等的条件及分式有意义可知， 则， 代入集合得， 则，得 因此 故选： 7. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由题设有对一切实数恒成立， 若，恒成立， 若，则，故， 综上，. 8. 定义：表示不大于x的最大整数，即取整函数.则不等式−成立的一个充分不必要条件是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合二次不等式求法先求出的范围，然后结合已知定义即可求解． 【详解】由不等式−，可得， ，，只需寻找的真子集即可，B选项满足题意. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 10. 不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据解集和韦达定理得到，再一一分析即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，所以AC错误， 则，，故BD正确． 故选： BD． 11. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A，∵，∴，当且仅当时，即，时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确； 对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误． 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 14. 某校共有40人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中21人选择参加足球，17人选择参加排球，20人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有12人，则三项都参加的学生数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入计算公式解出即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以， ， 即， 解得， 三项都参加的有3人， 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 16. （1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【解析】 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 17. 已知集合，集合，． （1）求集合，； （2）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 当时，； 当时，； 当时，． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由不等式可得，分类讨论与的关系，即可得到结果 （2）根据实数分类讨论，结合区间左右边界，保证集合中有且仅有一个整数，即可得到结果. 【小问1详解】 由，解得或，所以或． 又， 当时，； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 由于，且集合中有且仅有一个整数. 当时，，则，舍； 当时，，此时， 中仅有整数，则，即； 当时，，中仅有整数， 则，即． 综上，实数k的取值范围为或． 18. 设二次函数. （1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得； （2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 对任意实数，恒成立， 即，恒成立， 即可得，所以 【小问2详解】 存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 19. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【小问1详解】 因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. 【小问2详解】 分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $