精品解析：福建省厦门双十中学思明分校2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测

2026—2027学年（上）初三年第一次阶段练习试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（　　） A. 8 B. C. 10 D. 2. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元．若设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表，下列结论错误的是（ ） … 0 1 2 … … 0 4 6 6 4 … A. 对称轴是直线 B. 这个函数的最大值大于6 C. 抛物线开口向下 D. 当时，随的增大而增大 9. 二次函数在的范围内有最小值4，则的值是（　　） A. 7 B. 12 C. 3 D. 9 10. 已知抛物线y＝﹣ax2+2ax+c（a＞0）经过A（m，y1）、B（m+1，y2）、C（1﹣m，y3）、D（2﹣m，y4），下列结论中一定正确的是（　　） A. 若y1y2＞0，则y3y4＜0 B. 若y1y3＞0，则y2y4＞0 C. 若y2y4＜0，则y1y3＞0 D. 若y1y4＞0，则y2y3＜0 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 方程的解为________． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是______． 13. 二次函数的顶点坐标为__________． 14. 小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险． 15. 阅读下列材料： 早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172． 由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000． 所以（x+17）2 = 71000 + 172． 所以（x+17）2 = 71289． 直接开方可得正根x = 250． 依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ． 16. 若二次函数的图象上只有两个点到x轴的距离等于m，则m的取值范围为__________． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根． 20. 九年三班的一位男生进行投掷实心球测试，已知实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．函数图象如图所示． （1）求该实心球出手时的高度； （2）根据初中毕业升学体育考试评分标准：男生掷出11米可得满分，请你判断该男生投掷实心球的成绩能否得满分，并说明理由． 21. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 22. 有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 23. 如图，抛物线与x轴、y轴分别交于点A、B、C． （1）求出点A、B、C的坐标？ （2）判断的形状并证明． （3）M为二次函数图象上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N构成的四边形是平行四边形时，求点N的坐标（直接写出答案）． 24. 关于的一元二次方程． （1）试说明无论取何值，此方程始终有实数根； （2）若且此方程的两个根是和，直线经过点，当时函数的最大值与最小值之差是2，求的值． 25. 已知：抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第四象限的抛物线上，点E在y轴上，，，求点D的坐标； （3）如图2，已知点，将抛物线C向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，得到抛物线．直线交抛物线于M，N两点（M在N的左边），直线交抛物线于另一点Q，求证：点M与点Q关于y轴对称． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）初三年第一次阶段练习试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为（　　） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，通过移项将右边常数项变号后移到左边即可得出答案． 【详解】解：∵将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1， ∴一般形式为，常数项为10． 故选：C． 2. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把四个选项中的点代入函数解析式，看看是否满足解析式，满足符合题意，不满足不符合题意，从而可得答案． 【详解】解：把代入可得： ∴不在函数图象上，在函数图象上，故A不符合题意，C符合题意； 把代入可得： ∴不在函数图象上，故B不符合题意； 把代入可得： ∴不在函数图象上，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，掌握“二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式”是解本题的关键． 3. 用配方法解方程，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程配方的步骤进行计算即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即：． 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意在配方的过程中首先要把二次项的系数化为1，配方时配的是一次项系数一半的平方． 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：C． 5. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、∵， ∴，不符合题意； 故选：C． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线为顶点式， ∴ ， ∴ 其对称轴为直线． 7. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元．若设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设该校今明两年在实验器材投资的年平均增长率是x， ∵去年对实验器材的投资为2万元， ∴今年投资额为万元，明年投资额为万元， ∵今明两年的投资总额为8万元， ∴. 8. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表，下列结论错误的是（ ） … 0 1 2 … … 0 4 6 6 4 … A. 对称轴是直线 B. 这个函数的最大值大于6 C. 抛物线开口向下 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质对各选项一一判断即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，故A选项不符合题意； ∵在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∴抛物线的开口向下，则，抛物线开口方向向下，故C选项不符合题意； ∵抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，可知最大值大于6，故B选项不符合题意； ∵抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点是解题的关键，也是本题的突破口． 9. 二次函数在的范围内有最小值4，则的值是（　　） A. 7 B. 12 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，求出二次函数的对称轴是解题的关键． 找出二次函数的对称轴，根据在的范围内有最小值，得到当时，有最小值4，即可解答． 【详解】解：函数对称轴，开口向下， ∵在的范围内有最小值4，，即， ∴当时，有最小值4， 即， 解得． 故选B． 10. 已知抛物线y＝﹣ax2+2ax+c（a＞0）经过A（m，y1）、B（m+1，y2）、C（1﹣m，y3）、D（2﹣m，y4），下列结论中一定正确的是（　　） A. 若y1y2＞0，则y3y4＜0 B. 若y1y3＞0，则y2y4＞0 C. 若y2y4＜0，则y1y3＞0 D. 若y1y4＞0，则y2y3＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据A、B、C、D的坐标可知，A（m，y1）与D（2﹣m，y4），B（m+1，y2）与C（1﹣m，y3）关于直线x＝1对称，则y1＝y4，y2＝y3，，对四个选项进行判断即可． 【详解】解：∵y＝﹣ax2+2ax+c（a＞0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1， ∵抛物线y＝﹣ax2+2ax+c（a＞0）经过A（m，y1）、B（m+1，y2）、C（1﹣m，y3）、D（2﹣m，y4）， ∴A（m，y1）与D（2﹣m，y4），B（m+1，y2）与C（1﹣m，y3）关于直线x＝1对称， ∴y1＝y4，y2＝y3， ∴若y1y2＞0，则y3y4＞0，故A错误； 若y1y3＞0，则y2y4＞0，故B正确； 若y2y4＜0，则y1y3＜0，故C错误； 若y1y4＞0，则y2y3＜0或y2y3＞0，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得到A（m，y1）与D（2﹣m，y4），B（m+1，y2）与C（1﹣m，y3）关于直线x＝1对称是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵ ∴， 解得，． 12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，即可求解． 【详解】解：依题意，将代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：． 13. 二次函数的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，根据顶点式的特点直接得到顶点坐标． 【详解】解：对给定二次函数配方， 二次函数的顶点式为，对应顶点坐标为，对比可得，， 因此顶点坐标为． 14. 小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险． 【答案】会 【解析】 【分析】由题意把代入即可求得s的值，与80比较即可判断． 【详解】解：在中，当时， 则此时刹车会有危险． 【点睛】本题考查二次函数的应用是初中数学的重点和难点，因而是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握． 15. 阅读下列材料： 早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172． 由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000． 所以（x+17）2 = 71000 + 172． 所以（x+17）2 = 71289． 直接开方可得正根x = 250． 依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中例题及配方法求解即可得． 【详解】解：第一步：“构造” 内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； 第二步：“推理” ， ∵，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用配方法解一元二次方程的应用，理解题中例题及配方法是解题关键． 16. 若二次函数的图象上只有两个点到x轴的距离等于m，则m的取值范围为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求得该二次函数的顶点坐标和开口方向，结合图象上只有两个点到x轴的距离等于m可得结论． 【详解】解：当时，， 解得， 此时该二次函数的图象上只有两个点到x轴的距离等于0，符合题意； 当时， 由得二次函数的图象开口向上，顶点坐标为， ∴顶点到x轴的距离为4， ∵该二次函数的图象上只有两个点到x轴的距离等于m， ∴， 综上所述，或． 三、解答题（9小题，共86分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【小问1详解】 ∵， ∴ ， 解得 ； 【小问2详解】 ， ， ， ∴ ， 解得 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程是关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根． 【答案】（1）m≤4 （2）m的值为-5，,方程的另一根为5 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根于系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， ∴， 解得， ∴m的值为-5，方程的另一根为5． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活应用一元二次方程的相关知识点是解答本题的关键． 20. 九年三班的一位男生进行投掷实心球测试，已知实心球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．函数图象如图所示． （1）求该实心球出手时的高度； （2）根据初中毕业升学体育考试评分标准：男生掷出11米可得满分，请你判断该男生投掷实心球的成绩能否得满分，并说明理由． 【答案】（1）2 （2）解：能，理由： 由（1）知时，或， ∴该男生可掷出米， ∵， ∴实心球推出的距离超过， ∴该男生投掷实心球的成绩能得满分． 【解析】 【分析】（1）当时，求出y值，即可解答； （2）令，解关于x的一元二次方程，求出方程的正数解，即可判断实心球推出的最大距离． 【小问1详解】 解：当时，， ∴该实心球出手时的高度为米； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 22. 有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 【答案】（1）； （2）根据题意得：， 解得：，（舍）， ∵为正整数， ∴第二轮传染后会有人患病的情况发生． 【解析】 【分析】（1）一个人患流感，则经过一轮传染后患病的总人数为人，然后每个人又传染人，表示出第二轮传染上流感的人数即可； （2）因进入第二轮传染之前，有名患者被及时隔离（未治愈），则第二轮后共有人患流感，而此时患流感的人数为人，根据这个等量关系列出方程，若能求出正整数解，则会有人患病的情况发生． 【详解】解：（1）根据题意：第二轮被传染上流感人数是：， 故答案为：； （2） 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有四位患者被及时隔离（未治愈）列出方程并求解． 23. 如图，抛物线与x轴、y轴分别交于点A、B、C． （1）求出点A、B、C的坐标？ （2）判断的形状并证明． （3）M为二次函数图象上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N构成的四边形是平行四边形时，求点N的坐标（直接写出答案）． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3），，，． 【解析】 【分析】（1）分别将代入二次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B、C的坐标； （2）由（1）得到边的长，利用勾股定理得到边的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）设，点在抛物线上，分类讨论：①当为平行四边形对角线时，②当为平行四边形的边，且点N在点C的右侧时，③当为平行四边形的边，且点N在点C的左侧时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A、C两点， ∴，即． 解得， ∴． 将代入，得， 得B点的坐标为； ∴A，B，C三点的坐标分别为； 【小问2详解】 解：如图1，连接， ∵A，B，C三点的坐标分别为； ∴， 在中，， 由勾股定理得， 在中，， 由勾股定理得， 在中， ∵， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：设，点在抛物线上， ①当为平行四边形对角线时，如图 ， 中点坐标为，即， 平行四边形对角线互相平分， 、中点也是， 在轴上，纵坐标为， 点纵坐标为， 把代入抛物线解析式： ， 整理得， 解得（即为点，舍去），， ， 由中点公式：， 解得， ； ②当为平行四边形的边，且点N在点C的右侧时，如图 有，此时， ， ，横坐标平移规律：到向右平移个单位， 向右平移个单位得到， ； ③当为平行四边形的边，且点N在点C的左侧时，如图， 此时点的中点与的中点重合， ∴ 解得， 把代入抛物线解析式， ， 整理得， 解得， ∴当， 根据平行四边形对角线中点相同， 当， ， 解得， ， 当， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为，，，． 24. 关于的一元二次方程． （1）试说明无论取何值，此方程始终有实数根； （2）若且此方程的两个根是和，直线经过点，当时函数的最大值与最小值之差是2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ 一元二次方程为 ∴ 判别式 ∵ ∴ 无论取何值，此方程始终有两个不相等的实数根，即始终有实数根. （2） 【解析】 【分析】（1）写出一元二次方程的系数，代入判别式公式计算得到，因为恒大于 0，所以无论取何值方程都有实数根． （2）先把一元二次方程因式分解求出两根和，结合确定，代入直线解析式得到；再分和两种情况讨论一次函数在的最值差，求出，回代检验，舍去，保留符合的． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： 对因式分解： 解得． 已知，． 比较大小：， ∴． ∴． 点坐标为． 直线经过点， 将代入解析式： 一次函数，在自变量范围时，最大值减最小值等于 2． 一次函数增减性由决定： ① 当时，随增大而增大． 时取最大值； 时取最小值． 最大值减最小值：． 由题意最大值与最小值之差是 2，得． ② 当时，随增大而减小． 时取最大值； 时取最小值． 最大值减最小值：． 由题意最大值与最小值之差是 2， 得． 现在把和分别代入检验： 当： ， ， ， ，满足题目的条件． 当： ， ， ， ，不满足，舍去． 综上，． 25. 已知：抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第四象限的抛物线上，点E在y轴上，，，求点D的坐标； （3）如图2，已知点，将抛物线C向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，得到抛物线．直线交抛物线于M，N两点（M在N的左边），直线交抛物线于另一点Q，求证：点M与点Q关于y轴对称． 【答案】（1）； （2） （3）证明：， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 设，，， 联立， 整理得， ∴， 设直线的解析式为， 联立整理得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点M与点Q关于y轴对称． 【解析】 【分析】（1）把抛物线解析式设成顶点式，然后根据抛物线解析式为进行求解即可； （2）过点D作轴于G，轴于H，证明，得到，设，则，，则，即，由此进行求解即可； （3）平移后的抛物线的解析式为，设，，，联立，整理得，则，设直线的解析式为，联立，整理得，则，则可以得到，再由，即可得到，即，由此求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于，轴于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 设， ∴，， ∴， 即， 解得或（舍去） 则， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $