精品解析：北京市海淀实验中学2026-2027学年上学期10月学情自测九年级数学试题

海淀实验中学2026-2027第一学期九年级10月学科展示数学试卷 时长：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共20小题，1-10每小题2分，11-20每小题3分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解方程，其中根的判别式的值是（ ） A. B. C. 12 D. 8 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 4. 若，是一元二次方程的两个根，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 6. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ） A. 0 B. 5 C. D. 5或 7. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则的值为（　　） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 8. 把方程“”转化为“”的形式，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽应满足的方程是（ ）. A. B. C. D. 10. 方程和所有实数根的和是（　　） A. 3 B. 5 C. 1 D. 2 11. 已知，是方程的两个根，则代数式的值等于　　 A. B. 3 C. 5 D. 12. 已知实数，则代数式的值为　　 A. B. 7 C. 或7 D. 以上全不正确 13. 曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 15. 对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（ ） A. 3或 B. 或 C. 或 D. 3或 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 17. 已知关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 18. 下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；②若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；④已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有（  ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 19. 若关于的方程有3个不同的实数根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 20. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则关于x的方程的正数解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，21题4分，22题2分，23、24、25每小题3分，共15分． 21. 直接写出下列方程的解： （1）：________． （2）：________． 22. 已知且，则的值是________． 23. 若方程组无解，则的取值范围是________． 24. 已知实数满足 ，且，则的值是_______． 25. 已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________． 三、解答题：本题共5小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 26. 已知关于x的一元二次方程，其中m为常数． （1）若是方程的一个根，求m的值； （2）当时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 27. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 28. 已知：关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0． （1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根； （2）如果该方程有两个不等的整数根，且m为正整数，求m的值； 29. 2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． （1）求2023年、2024年这两年的平均增长率； （2）市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 30. 直线与曲线相交于两个不同的点，，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀实验中学2026-2027第一学期九年级10月学科展示数学试卷 时长：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共20小题，1-10每小题2分，11-20每小题3分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，涉及一元二次方程的一般式、一次项系数及常数项等知识，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是， 故选：B． 2. 用公式法解方程，其中根的判别式的值是（ ） A. B. C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式的确定．代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、∵， ∴，不符合题意； 故选：C． 4. 若，是一元二次方程的两个根，则和的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程中，，，， ，． 5. 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的两根分别为t，，利用根与系数的关系得到，，利用代入消元法得到，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值． 【详解】解：设方程的两根分别为t，， 根据题意得：，， 把代入得， 整理得， 解得：或（舍去）， ∴m的值为1，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 6. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ） A. 0 B. 5 C. D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．将根代入方程，求出k的可能值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解，即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴． 故选：C 7. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则的值为（　　） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的握手问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，列出一元二次方程，求出m的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， ， ， 解得（不符合题意，舍去）． 故选D． 8. 把方程“”转化为“”的形式，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】通过二次项系数化为1，把常数项移到等号的右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，变形即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 9. 如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽应满足的方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得， (40−2x)(70−3x)=40×70×(1−)， 整理，得 ， 故选D. 【点睛】此题考查一元二次方程，解题关键在于实际问题抽象列出一元二次方程. 10. 方程和所有实数根的和是（　　） A. 3 B. 5 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用根的判别式，可得出方程无解、方程有两个不等的实数根，设、是方程的实数根，利用根与系数的关系可得出．此题得解． 【详解】解：在方程中，， 方程无解； 在方程中，， 方程有两个不等的实数根． 设、是方程的实数根， ． 11. 已知，是方程的两个根，则代数式的值等于　　 A. B. 3 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由m,n是方程x2-2x-2=0的根，得出，，进一步整体代入求得答案即可． 【详解】，是方程的两个根， ，， 则原式 ， 故选：． 【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于整体代入． 12. 已知实数，则代数式的值为　　 A. B. 7 C. 或7 D. 以上全不正确 【答案】B 【解析】 【详解】令 ，则原式变为 ， 分解因式得 ， 解得 ， 则有 或 ， 在方程中， ，方程无解， 那么， ， 故选：B. 13. 曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的票房共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题；设每月增长率为，则七月票房为10亿元，八月为亿元，九月为亿元，第三季度总票房为三者之和，列出方程求解. 【详解】解：设每月增长率为， ∵第三季度总票房为33.1亿元， ∴， 化简得： 解得：，（舍去）， ∴增长率为. 故选：A. 14. 已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 15. 对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（ ） A. 3或 B. 或 C. 或 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 17. 已知关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】分一元一次、一元二次方程两种情况，结合整数解条件利用约数性质求解. 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，方程为一元一次方程， 解得或， 时，方程化为，解得，为整数，符合条件； 时，方程化为，解得，为整数，符合条件. ②当时，方程为一元二次方程， 因式分解得， 解得，， 方程的解均为整数，为整数， 是4的整数约数，即， 对应， 结合，代入验证： 时，，非整数，排除； 时，，非整数，排除； 时，，为整数，符合条件； 时，，非整数，排除； 时，，为整数，符合条件. 综上所述，符合条件的整数共个. 18. 下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；②若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；④已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有（  ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对四个说法逐一用一元二次方程根的定义、根的判别式、根与系数的关系验证，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：①∵是方程的根， ∴把代入方程得， 提取公因式得， ∵， ∴，即，故①正确； ②∵是一元二次方程，故， 当， 若，则，可得，即； 若，则，，若，则得，此时， 因此一定大于0，方程一定有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵是一元二次方程，故， ∵， ∴， ∵，，故，方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④对，，两边同除以得， 又，即，故和是方程的两个不相等实数根， ∴，， 则， 故④错误； 综上，正确的说法共3个． 19. 若关于的方程有3个不同的实数根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用的特性，分析的取值范围，转化成二次函数与直线的交点情况，结合根的数量对应关系求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴当时，，函数顶点为，过点， 当时， ，函数顶点为，过点， 下面分析与直线的交点情况， 如图所示， 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有3个交点，符合题意； 当时，直线与二次函数有4个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数没有交点，不符合题意； ∴的值为2． 20. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则关于x的方程的正数解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 解得：，. ∴， ∴，（舍去） 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，21题4分，22题2分，23、24、25每小题3分，共15分． 21. 直接写出下列方程的解： （1）：________． （2）：________． 【答案】 ①. ， ②. ， 【解析】 【详解】解：（1）， ， ， ∴或， 解得 ，； （2）， 令，则， ， 或， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴，． 22. 已知且，则的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用因式分解法求出关于x、y的关系式，进而可求解． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， 且， ， 即的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查求分式的值，利用因式分解法求出关于x、y的关系式是解题的关键． 23. 若方程组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将一次方程变形后代入二次方程，得到关于的一元二次方程，方程组无解对应该一元二次方程无实数根，利用判别式小于0求解的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 将代入②得：， 展开整理得：， ∵方程组无解， ∴该一元二次方程无实数根， ∴判别式， 解得：． 24. 已知实数满足 ，且，则的值是_______． 【答案】7 【解析】 【详解】解：∵实数满足 ，且， ∴是方程的两个根． ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查求代数式的值；一元二次方程根与系数的关系；解题关键是熟练运用根与系数关系求出式子的值，整体代入求值． 25. 已知关于、的方程组的解是整数，则整数的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，根据解为整数得到是的约数，求出的所有可能值后验证是否为整数，即可得到符合条件的． 【详解】解：令，， 得， 得， 整理得，即 ， ∵方程组的解都是整数，是整数， ∴是的约数，的可能取值为，， 分别计算验证： 当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，均为整数，符合条件； 当时，解得，此时，代入②得，解得，不是整数，不符合条件； 综上，整数的值为或． 三、解答题：本题共5小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 26. 已知关于x的一元二次方程，其中m为常数． （1）若是方程的一个根，求m的值； （2）当时，求该方程的根； （3）若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】（1） （2），； （3）；． 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将代入原方程即可求出的值； （2）根据公式法即可求出方程的根； （3）根据根的判别式求求出的取值范围，再代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：是该方程的一个根， ， 解得：； 【小问2详解】 当时，原方程为， ， 或， ，； 【小问3详解】 方程有实数根， ， 解得， 为正整数， ， 原方程为， ， ． 27. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 28. 已知：关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0． （1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根； （2）如果该方程有两个不等的整数根，且m为正整数，求m的值； 【答案】 （1）证明：△=（3m+1）2﹣4×3m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2． ∵不论m为任何实数时总有（3m﹣1）2≥0，即△≥0， ∴不论m为任何实数，此方程总有实数根； （2）m=1 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（3m﹣1）2≥0，由此即可证出：不论m为任何实数，此方程总有实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不等的整数根结合m为正整数，即可求出m的值． 【详解】（1）略 （2）mx2+（3m+1）x+3=0， 即（mx+1）（x+3）=0， 解得：x1=﹣3，x2=﹣． ∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不等的整数根，且m为正整数， ∴m=1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出原方程的解． 29. 2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． （1）求2023年、2024年这两年的平均增长率； （2）市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）2023年、2024年这两年的平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 30. 直线与曲线相交于两个不同的点，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程代入曲线方程，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，，再将代数式中的，，用含，的式子表示，整理代入化简即可． 【详解】解：把代入，得， 整理得， 直线与曲线相交于两个不同的点，， 该方程有两个不相等的实数根，分别为，， ，， ，， ， 原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $