2026-2027学年北师大版数学九年级上册第1-2章阶段专项复习：解答题

2026-2027学年数学九年级上册北师大版第1-2章阶段专项复习：解答题 考点汇总 考点：菱形的性质与判定 考点：矩形的性质与判定 考点： 考点：认识一元二次方程 考点：一元二次方程的解法 考点：一元二次方程的根与系数的关系 考点：一元二次方程的应用 跟踪特训 考点：菱形的性质与判定 1．如图，四边形是平行四边形，． (1)请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形． 2．如图，已知的周长为24，，O为垂足，． (1)求证：是菱形． (2)求的面积． 3．已知：在四边形中，，，点为的中点，连接． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的四个角． 4．综合与实践 在学习了菱形的判定方法后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】如图，在平行四边形中，．用尺规完成基本作图：作出对角线的垂直平分线，交于点，交于点，交于点，连接、． 【问题提出】他们猜想：四边形是菱形． 【问题解决】任务： (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请你完成猜想的证明过程． 考点：矩形的性质与判定 5．如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．求证：四边形是矩形． 7．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 8．【问题情境】已知，是边上的中线，是上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接． (1)如图①，当点与点重合时，求证：四边形为平行四边形； (2)如图②，当点与点不重合时，延长交于点，四边形是什么特殊四边形：__________； （提示：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边） 【深入探究】 (3)如图③，当，时，的延长线交于点，若，，求的长． 考点： 9．如图，正方形的对角线交于点，点，分别在，上，且，，的延长线交于点，，的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，为的中点，求的长． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，为正方形的对角线，，点在对角线上，且横坐标为4．动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，先沿方向运动到点，再沿方向向终点运动．以、为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒． (1)求直线的解析式及点的坐标； (2)当时，求线段的长； (3)当点恰好落在线段上时，求的长； (4)在整个运动过程中，若平行四边形为菱形，求的值． 11．【问题情境】 已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接，恰好垂直于． (1)【基础探究】 如图1，求证：矩形是正方形； (2)【拓展迁移】 如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 12．如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． (1)求点的坐标． (2)求证：四边形为正方形． (3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 考点：认识一元二次方程 13．若是关于的一元二次方程的一个解，求的值． 14．先化简，再求值：，其中． 15．当为何实数时，方程是关于的一元二次方程？ 16．一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 考点：一元二次方程的解法 17．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，； 当时，； 原方程有四个根：． 这一方法利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 19．阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，．当时，，所以，；当时，，所以，．故原方程的解为，，，． (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程． 20．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无实数根，舍去；当时，，解得；原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)用换元法解方程时，新字母设为，则________，原方程化为________，解得________． (2)求方程的解． (3)若三边是，，．若两直角边，满足，斜边，求的周长． 考点：一元二次方程的根与系数的关系 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，，满足，求k的值． 22．阅读理解材料：已知实数m，n满足，且．根据材料，求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：， ． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，求的值． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． 23．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为，，不解方程回答下列问题． ①计算：_________，_________； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 24．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 考点：一元二次方程的应用 25．某超市购进一批坚果，进价为90元/盒．当售价为110元/盒时，每天可售出15盒．经市场调查发现，若每盒坚果降价1元，平均每天可多售出3盒．现该超市计划降价销售，请回答下列问题： (1)当售价为105元/盒时，每天的销售量为______盒，每天盈利______元； (2)当每盒坚果降价多少元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元？ 26．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马月份销量为万件，月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为元/件时，日销量为件．售价每降低元，日销量可增加件．借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到元，则每件应降价多少元？ 27．某园林部门准备在一块长50米、宽40米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图），，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．设小路的宽度为（）米． (1)用含的代数式表示亭子的边长为___________米； (2)若小路的占地面积为180平方米，求小路的宽度． 28．如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． (1)边的长为________；（用含的代数式表示） (2)要使苗圃园的面积为，求的值； (3)对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学九年级上册北师大版第1-2章阶段专项复习：解答题》参考答案 1．(1)如图所示即为所求： (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由（1）得，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．(1)证明：中，， 是菱形． (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形性质求出边长，进而求出对角线的长，利用菱形面积公式即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：是菱形， ，平分， 菱形的周长为， ， ， ， ， ， ， ，， 3．(1)证明：点为的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中点的定义以及，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，结合题意可推出四边形为菱形，为等边三角形，得到，，进而得到，最后根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 四边形为菱形，为等边三角形， ，， ， ， 是菱形的对角线， ． 4．(1) (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）按线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）证明，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 5．(1)证明：∵，， ∴均为直角三角形， ∵M为的中点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，即可求证； （2）求出，再结合三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 6．证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴是矩形． 【分析】由得到，，由得到，因此，从而得出四边形是平行四边形，结合即可证明结论． 【详解】略 7．(1)证明：平行四边形中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； (2)34 【分析】（1）先说明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）由勾股定理求的长，再根据平行四边形的性质求，根据矩形性质即可求周长． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ，， ， 平行四边形中，， 矩形的周长为． 8．(1)证明：，， ，， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； (2)平行四边形 (3) 【分析】（1）证明，得到，再由，即可证明四边形为平行四边形； （2）根据题干的提示可得；则可证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （3）延长交于点，求出，则可得到，据此求出的长，证明四边形为平行四边形，求出的长，再由三角形中位线定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，是边上的中线，， ∴； ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图所示，延长交于点， ，，， ， 为的中点， ， ， ， 由（2）得四边形是平行四边形，， ∴， 又， 四边形为平行四边形， ∴； ， ， ． 9．(1)证明：四边形是正方形， ，，， ． ，， ∴ ， ， ． (2) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点作于点，连接，利用正方形的性质以及等腰三角形三线合一的性质可得，再利用直角三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质可得，利用勾股定理可得，最后再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：如图：过点作于点，连接， 正方形的边长为4， ∴，，， ∵， ∴， 为的中点， ∴， ∵， 为的中点， ． 在中，得， ∴， ∵ ． 10．(1)， (2) (3) (4)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式；然后将代入求出点的纵坐标即可； （2）先求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可； （3）先求出的长，再求出时间的值，进而可得的长，由此即可得； （4）先得出点的坐标、，再分两种情况：①和②，求出点的坐标，进而可得，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵点在对角线上，且横坐标为4， ∴将代入函数得：， ∴点的坐标为． （2）解：由题意得：当时，， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴． （3）解：∵四边形是平行四边形，且点恰好落在线段上， ∴，， ∵， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， ∴，（秒）， ∴， ∴． （4）解：由题意得：；点从点出发，沿方向运动到点所需时间为（秒），再沿方向运动到终点所需时间为（秒）， ∴， ∴， ∵平行四边形为菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ①当时，则点在上运动，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时，则在上运动，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或． 11．(1)证明：四边形为正方形， ，，． ∵四边形为矩形， ． ． ， 即， ， ． ． ． ∴矩形为正方形． (2) 【分析】（1）由四边形为正方形，得，，．由四边形为矩形，得．进而得，进而推导出，得到，则四边形是正方形，即可解答； （2）作于点，由，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，设，得到，，根据勾股定理，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，过点作于点． ， 是等腰直角三角形． ． 设， 由（1）可得，． ． ，． ． 解得． ． ． 12．(1) (2)证明：由（1）可得点的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴矩形为正方形； (3)的大小为定值，恒为 【分析】（1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）由（1）可得，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； （2）略 （3）解：的大小为定值，恒为， 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为定值，恒为． 13． 【分析】把代入方程得到的值，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个解 ∴ 整理得 ∴ ． 14．， 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据化简结果，将已知等式化简代入计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 15． 【详解】解：根据题意得，，， ∴，， ∴， ∴当时，该方程是关于的一元二次方程． 16． 【分析】把代入得出，根据二次根式有意义的条件求出，，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ， 解得：， ∴， ∴， ∴此一元二次方程为． 17．(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1） 解： 移项得 开方得 或 ∴，； （2）解： 因式分解得 或 ∴，； （3）解： 移项得 配方得 即 开方得 ∴，； （4）解： 整理得 提取公因式得 或 ∴，． 18．(1) (2) 原方程的根为，，， 【分析】（1）将看作整体，结合已知方程的根推导所求方程的根； （2）通过换元法把四次方程转化为二次方程，求解后回代得原方程的根； 【详解】（1）解：设， 则方程变形为， ∵一元二次方程有一根为， ∴是方程的一个根， 即， 解得； （2）解：设，则， 原方程可化为， 解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上所述，原方程的根为，，，． 19．(1)换元 (2)原方程的解为， 【分析】（1）利用换元思想解方程； （2）设，则原方程化为，再解方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴方程无实数解，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∴，， 故原方程的解为，． 20．(1)，，6或 (2)， (3)9 【分析】（1）观察方程可得，则，利用因式分解法解方程即可； （2）结合（1）的结论，可得两个关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先利用换元法求出的值，再结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或． （2）解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或， 当时，则，解得，； 当时，则，即， 这个方程根的判别式，没有实数根； 综上，原方程的解为，． （3）解：令，则， 整理得：， 解得或， ∵的斜边， ∴当时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 当时，，满足三角形的三边关系，则此时的周长为； 综上，的周长为9． 21．(1) 证明： 对于一元二次方程， ，，， . ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根. (2) 的值为. 【分析】 （1）计算一元二次方程的判别式，证明其恒大于0，即可得证． （2）利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，代入已知等式求解． 【详解】（1） 解： 略 ． （2）解：∵方程的两实数根为，， ∴由根与系数的关系得： ， ． ∵， ∴， 解得． 22．(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求分式通分后代入计算； （2）先判断m，n是方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，将所求代数式变形后代入计算． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根 ， ∴由根与系数的关系得：， ， ∴． （2）解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∴， 将，代入得：． 23．(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，解不等式即可求出的取值范围； （2）①根据根与系数的关系即可得出答案； ②根据，把①中结果代入，即可得出答案； （3）根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据得出，结合即可求出的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：①∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ②由①可知，，， ∴． （3）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴． 24．(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 25．(1)30；450 (2)当每盒坚果降价4元或11元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“每盒坚果降价1元，平均每天可多售出3盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒坚果降价元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵每盒坚果降价1元，平均每天可多售出3盒， ∴当销售价为105元/盒时，每天的销售量为： （盒）， 每天盈利：（元）； （2）解：设每盒坚果降价元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元， 由题意得：， 整理得， 解得，， ∴当每盒坚果降价4元或11元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元． 26．(1) 该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为 (2) 每件应降价元 【分析】（1）根据月平均增长率的增长规律，结合月与月的销量列一元二次方程求解； （2）利用“日总利润单件利润日销售量”的等量关系列方程，结合尽快减少库存的条件选取符合题意的解． 【详解】（1）解： 设该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为， ∵月份销量为万件， ∴月份销量为万件， 依题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为． （2）解：设每件应降价元， ∵进价为元/件，原售价元/件，原日销量件，售价每降低元日销量增加件， ∴降价后单件利润为元，日销量为件， 依题意得：， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴选择更大的降价幅度，即． 答：每件应降价元． 27．(1) (2)3米 【分析】（1）根据亭子的边长是小路宽度的5倍可得答案； （2）小路的面积可以看成是两个小矩形的面积之和，其中一个矩形的长为，宽为，另一个矩形的长为，宽为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵小路的宽度为米，亭子的边长是小路宽度的5倍， ∴亭子的边长为米； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵， ∴， 答：小路的宽度为3米． 28．(1) (2)的值为10 (3)解：假设能围成面积为的苗圃园， 由题意得， ， ∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的值． ∴不能围成面积为的苗圃园，小丽的结论正确． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再结合三边篱笆总长为即可求解； （2）根据题意可得，进行求解，再结合墙长为取合适的值即可； （3）假设能围成面积为的苗圃园，可得，运用根的判别式即可验证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵三边篱笆总长为， ∴； （2）解：由题意得， 解得，， ∵墙长， ∴， ∴ 解得， ∴的值为； （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $