2026-2027学年北师大版数学八年级上册第1-2章阶段专项复习：解答题

2026-2027学年数学八年级上册北师大版第1-2章阶段专项复习：解答题 考点汇总 考点：勾股定理 考点：勾股数及勾股定理逆定理 考点：勾股定理的应用 考点：实数 考点：平方根与立方根 考点：二次根式 跟踪特训 考点：勾股定理 1．如图，在中，，点在边上，连接，已知，，，求的长． 2．如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． (1)求证：． (2)连接，若，求的长． 3．如图，在Rt中，，点在上，连接，若，求的长． 4．如图，在中，，，是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，是的中点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点：勾股数及勾股定理逆定理 5．如图，在中，于点D，已知，，． (1)求，的长； (2)求证：是直角三角形． 6．如图，在四边形中，，，，，， (1)连接，求的长； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求四边形的面积． 7．如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 8．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数． (1)小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，，；5，12，13中，，；请证明：m，n为正整数，且，若有一个直角三角形斜边长为，有一条直角边长为，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”； (2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值； 考点：勾股定理的应用 9．某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 10．图1、图2均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． (1)在图1中的格点上确定一点D，并作出，使得； (2)在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线． 11．为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 12．认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（、、可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）物体静止在轨道上，其到滑轮的垂直距离为，到滑块的水平距离为．（即，） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 (1)求绳子的总长度； (2)（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 考点：实数 13．把下列各数相应的序号填入对应的括号内：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ ①正有理数集合：{_________…}； ②负整数集合：{_________…}； ③正分数集合：{_________…}； ④非负整数集合：{_________…}． 14．一个正整数若能表示成若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰为1，则称为“金猴数”（例如，，且，22就是一个金猴数）． (1)证明：11、28均为金猴数； (2)证明：若为金猴数，则、也为金猴数； (3)证明：2002也为金猴数． 15．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中画一条长度为的线段； (2)在图②中画一个面积为5的正方形． 16．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 考点：平方根与立方根 17．求下列各式中的x (1) (2) 18．已知正整数的两个相异的平方根分别为，． (1)求的值； (2)求的立方根． 19．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 20．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． (2)如图②，某中学为加强劳动教育，开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种丝瓜和茄子，在和的区域内种辣椒和西红柿，经测量，种辣椒和西红柿区域的面积共有47.5平方米，米，求种丝瓜和茄子区域的面积共有多少平方米？ 考点：二次根式 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： (1) ，的小数部分为 ； (2)若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 23．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)__________． (2)化简． (3)若，求的值． 24．规定：两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． (1)下面各对含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是______（填序号）． ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求有理数的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学八年级上册北师大版第1-2章阶段专项复习：解答题》参考答案 1． 【分析】首先利用勾股定理求出，然后进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．(1)证明：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． （2）先在中用勾股定理算出长度，再借助全等结论得到、的长，求出，最后在中再次利用勾股定理计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：， 由（1）得， ， ， ∵， ∴， 在中， ． 3． 【分析】在中由勾股定理得，得出，在Rt中由勾股定理得的长． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 4．(1)∵， ，， 又是的中点， ， ， ； (2) 【分析】（1）结合平行线的性质，证明，即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理求出，由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 5．(1)； (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理先求解，进一步利用勾股定理求解即可． （2）证明即可． 【详解】（1）解：， ， ． ，， ， ． （2）证明：，，， ． 是直角三角形． 6．(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长； （2）直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）是直角三角形，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形； （3）和都是直角三角形， ． 7．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 8．(1) 见解析 (2) 【分析】（1）本题利用勾股定理结合平方差公式，计算得到另一条直角边，证明三条边都为正整数即可得证，考查勾股定理的应用与整数的性质． （2）先根据勾股定理推导得到a关于b的代数式，再根据二次根式被开方数的非负性得到b的取值范围，结合a、b均为正整数的条件试值，即可得到最终结果． 【详解】（1）证明：∵直角三角形斜边长为，一条直角边长为，，为正整数且． ∴另一条直角边的平方为． 利用平方差公式变形得：． ∴另一条直角边长为． ∵，是正整数， ∴，，都是正整数． ∴该直角三角形三边长都是正整数， 即该直角三角形一定为“整数直角三角形”． （2）解：由勾股定理得： ． 整理得：．． 即． 由边长为正可得：，． 解得，， ∵． ∴是整数， ∴， ∴． 9．(1)气象观测站受台风影响， 过点C作于点D， 、、 ， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 气象观测站受台风影响； (2)受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点C作于点D，利用三角形面积得出的长，进而得出气象观测站受台风影响， （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该气象站持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响， 时，正好影响C气象站， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，， （小时）． 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时． 10．(1) (2) 【分析】（1）利用，结合网格图，找出点； （2）利用勾股定理结合网格图找出线段的中点即可． 【详解】（1）解：由图可知，利用勾股定理得，， 找出格点，利用勾股定理得，， ∴在与中， ， ∴； （2）解：找出格点， ∴，， ∴， ∴为的中线． 11．(1)这条步道最短需要米 (2)该基地总共需要57.6立方米的种植土 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据求出面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 答：这条步道最短需要米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 12．(1)绳子的总长度为 (2)滑块向左滑动的距离为 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用题意求出的值，再根据勾股定理求出的长度，再算出即可． 【详解】（1）解：由题意知：是直角三角形，其中，， ， 绳子总长度为． （2）解：若物体升高，此时， 在中，由勾股定理得，， ． 滑块向左滑动的距离为． 13． ⑤⑥⑦⑨；①③；⑤⑥⑨；②⑦ 【分析】先化简所有给出的数，再根据数的分类定义将序号填入对应集合． 【详解】解：先化简各数：，， 其余数无需化简，根据数的分类定义整理得： 正有理数是大于0的有理数，是无理数，因此正有理数有：⑤⑥⑦⑨ ； 负整数是小于0的整数，因此负整数有：①③ ； 正分数是大于0的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，因此正分数有：⑤⑥⑨ ； 非负整数包含0和正整数，因此非负整数有：②⑦ ． 14．(1) 证明：∵，且， ∴11是金猴数； ∵，且， ∴28是金猴数； (2) 证明：设金猴数可表示为正整数的和，且， ∴； 对于： 取正整数， 则， ， ∴是金猴数； 对于： 取正整数， 则， ， ∴是金猴数； (3) 证明：由（1）得28是金猴数， 根据（2）的结论： ∵28是金猴数， ∴是金猴数； ∵58是金猴数， ∴是金猴数； ∵118是金猴数， ∴是金猴数； ∵245是金猴数， ∴是金猴数； ∵499是金猴数， ∴是金猴数； ∵1000是金猴数， ∴是金猴数． 【分析】（1）根据金猴数定义，构造和为11、28且倒数和为1的正整数组即可； （2）将原金猴数的每个元素乘2，得到和为、倒数和为的数组，再补充和为2（或9），构造新的金猴数； （3）从已知金猴数28出发，多次应用（2）的结论，逐步推导得到2002是金猴数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找一个长3格宽2格的长方形的对角线长即为； （2）根据勾股定理得出边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：如图，， （2）解：如图，正方形边长为，则面积为 16．(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， . 18．(1) (2) 的立方根为 【分析】（1）利用正整数的两个相异平方根互为相反数的性质列方程，求解的值； （2）先根据平方根的定义求的值，再计算的立方根． 【详解】（1） 解：∵正整数的两个相异平方根分别为，， ∴， 即， 解得 ； （2）解：将代入，得， ∵是的平方根， ∴， ∴， ∵， ∴的立方根为． 19．(1)规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 (2)①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 （2）根据（1）中的发现的规律， 20．(1) (2)平方米 【分析】（1）根据完全平方公式代入即可求解； （2）设米，米，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形 ，即可求解． 【详解】（1）解：，而， ， ， ； （2）解：设米，米， 米， ， ，种辣椒和西红柿区域的面积和为平方米， ， ， ， ， ∴种丝瓜和茄子区域的面积共有平方米． 21．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．(1)3， (2)，． 【分析】（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：， ∵，， ∴， ∴，． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）分母有理化，分子分母同时乘，利用平方差化简分母即可算出结果； （2）每一项分别分母有理化，会出现大量互为相反数的项，中间项两两全部抵消，保留首尾两项即可得到结果； （3）先对分母有理化，变形得到，两边同时平方得到，多次整体代入多项式求值即可． 【详解】（1）解：， 分子分母同时乘，， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．(1)①③ (2) 有理数的值为 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）根据新定义得到，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，，； ∴关于9的“和谐二次根式”的是①③； （2）解：由题意，， 即， ， ∴. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $