2026-2027学年北师大版数学九年级上册第1-2章阶段专项复习：填空题

2026-2027学年数学九年级上册北师大版第1-2章阶段专项复习：填空题 考点汇总 考点：菱形的性质与判定 考点：矩形的性质与判定 考点： 考点：认识一元二次方程 考点：一元二次方程的解法 考点：一元二次方程的根与系数的关系 考点：一元二次方程的应用 跟踪特训 考点：菱形的性质与判定 1．已知菱形的边长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为_______________． 2．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 3．如图，在平行四边形中，，将线段向右平移得到线段，点分别在边上．若四边形是菱形，则___________． 4．小明在公园看到一扇由16个大小相同的小菱形构成的景窗（如图）．已知图中小菱形的边长为，则最大菱形的周长为__________． 考点：矩形的性质与判定 5．如图，在矩形中，点是上一点，连接、，若，，则的度数为___________． 6．如图，长方形纸片，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则的长为__________． 7．如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 8．如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连接，，，于点，若，且，下列说法正确的有___________．（只填序号） ①；②；③；④． 考点： 9．如图，在正方形中，，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值为________． 10．如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 11．如图，正方形的边长为8，为等腰直角三角形，，，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为_________． 12．如图，正方形中，点为上的两个动点，连接平分．给出如下几个结论：①；②平分；③；④若为中点，，则．其中正确结论的序号为___________． 考点：认识一元二次方程 13．若是一元二次方程的一个根，则的值为_______． 14．若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 15．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 16．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 考点：一元二次方程的解法 17．若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 18．解下列方程：①；②；③；④．用较简便的方法依次是______；______；______；______． 19．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 20．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 考点：一元二次方程的根与系数的关系 21．已知的两个根分别为、，则______． 22．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 23．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 24．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 考点：一元二次方程的应用 25．决赛开始前，为提升队伍士气，所有队员都相互拥抱了1次．已知所有人共拥抱105次，且所有队员中上场的人数为5，则替补队员的人数为_________． 26．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 27．以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 28．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学九年级上册北师大版第1-2章阶段专项复习：填空题》参考答案 1．5 【分析】已知菱形边长和一个内角，利用菱形邻边相等的性质，可得较短对角线与两邻边构成等边三角形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，边长为， ∴， 设， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是菱形的较小内角，其所对对角线为较短对角线， ∴该菱形较短对角线长为． 2． 【分析】根据、两点坐标求出菱形边长，利用勾股定理在中求出长从而确定点坐标，最后根据菱形对边平行且相等的性质求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点在轴上，且由图可知在轴正半轴， 在中，， ∴， ∴， ∵，在轴上，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为， ∵在的左侧，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 3． 【分析】根据平行四边形性质得到，根据平移性质得到，，根据菱形的性质得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将线段向右平移得到线段，点分别在边上， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 4． 【分析】根据菱形的性质解答即可． 【详解】解：如图： 由题意可知图中的小四边形都是菱形， ，， ， 同理可证， 小菱形的边长为， ， ， 即最大菱形的边长为， 最大菱形的周长为 5． 【分析】先得出，，则可得的度数、，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6． 【分析】连接，设，由四边形是矩形可得，再根据折叠的性质可得，最后在中，利用勾股定理建立关于的方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，设， 四边形是矩形， ，，， ． 纸片沿对折，点与点重合， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 的长为． 7．5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，D是的中点，， ， 根据勾股定理可得． 8． ①② 【分析】利用矩形性质和角平分线定义判定为等腰直角三角形，得出长度，即可判断说法①；利用线段垂直平分线性质判定，设，通过勾股定理建立关于的方程求出的长，进而解得的长度，即可判断说法④；证明为等腰直角三角形，即可判断说法②；计算与的长度比较即可判断说法③． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， 在中，， ∴，故①正确； ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 在中，， ∵是中点， ∴，即， ∴， 在中，， 即，整理可得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∵，， 在中，， ∴， ∴，即，故②正确； 在中，， ∵， ， ∴，故③错误． 9． 【分析】由正方形性质可得关于对称，则，故求的最小值即求的最小值，当三点共线时最小为，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，，是的中点， ∴，关于对称， ∴， ∴的最小值即求的最小值， ∴当三点共线时最小为， 由勾股定理得． 10． 【分析】根据正方形的性质得，由等边对等角知，最后利用三角形内角和定理得． 【详解】解：在正方形中，，， ， 又， ， 在中，， ． 11． 【详解】解：延长到G点，使，交于点K，连接、、，过点作，交于点N，和交于点M，如下图所示： 点H为中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， 正方形的边长为8， ，， ， ， ， ， ， ， （前面已证）， ， 即， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 当最小时，最小，此时也最小，， ， 当B、C、E三点共线时，取得最小值4，此时． 【点睛】利用中点倍长构造全等三角形，全等加旋转思想证等腰直角三角形，最值转化为三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边． 12．①②③ 【分析】过点作，垂足为，从而构造全等三角形，再结合角平分线的性质、全等三角形判定、勾股定理逐一验证四个结论正确性． 【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为， 正方形中，，， ①平分， ． ， ． 在和中， ， ，． 在和中， ， ． 因此，故①正确； ②由①可知，， ， 平分，故②正确； ③由①可知，， ， ， ， 又， 代入得，即，故③正确； ④设，为中点，因此，则正方形边长． ，由①得， ， 在中由勾股定理得，， 代入得，展开化简得， 解得或（舍去），因此，故④错误． 综上：正确的结论为①②③． 13． 【分析】方程的根满足原方程，将代入方程即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 解得. 14． 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再利用整体代入法计算所求式子的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 15． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 16．2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 17．（填大于且小于的实数均正确） 【分析】先解给定的一元二次方程得到三角形两边长，再利用三角形三边关系得到第三边的取值范围，写出范围内任意一个数即可． 【详解】解：整理原方程，得， 移项得， 提取公因式得， 解得：，， 即三角形的两边长为和， 设第三边长为， 由三角形三边关系可得，即，在此范围内任取一个数即可，例如． 18． 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 【分析】根据每个一元二次方程的结构特点，判断最简便的求解方法即可． 【详解】解：①， 移项化简可得，直接开平方即可得到方程的解，因此最简便的方法是直接开平方法； ②， 移项化简可得，一次项系数为偶数，配方过程计算简便，因此最简便的方法是配方法； ③，无法直接开平方，也不易进行因式分解和配方，因此最简便的方法是公式法； ④，移项后可以提取公因式可得，因式分解计算即可，因此最简便的方法是因式分解法． 19．或 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 20． 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 21． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 方程的两个根分别为、， ∴ 由韦达定理可得，， ∴． 22． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 23．2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2021． 24． 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 25．10 【分析】设队员总人数为，两人互相拥抱一次，拥抱总次数公式为，列出方程求出总人数，再减去上场人数得到替补人数． 【详解】解：设总人数为，由题意得， 解得（ 舍去） 则替补队员人数为 ． 26． 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 27． 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【详解】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 28．1 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $